Vibraciones y ondas

Para calcular el número de onda ($k$) utilizamos la relación con la longitud de onda ($\lambda$).

Para calcular la frecuencia ($f$), utilizamos la relación fundamental de las ondas que conecta la velocidad de propagación ($v$), la longitud de onda ($\lambda$) y la frecuencia ($f$). También podemos calcular la frecuencia angular ($\omega$) y luego la frecuencia.

Alternativamente, podemos calcular la frecuencia angular ($\omega$) primero y luego la frecuencia ($f$):

La ecuación general de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $x$ es:

La velocidad de oscilación de las partículas de la cuerda se obtiene derivando la elongación respecto al tiempo:

El valor máximo de la velocidad de oscilación es $v_{y,max} = A\omega$.En el instante inicial ($t=0$) y en el origen de coordenadas ($x=0$), las condiciones dadas son:

Esto implica que $\sin(\phi_0) > 0$, lo que sitúa a $\phi_0$ en el primer o segundo cuadrante.

Nos dicen que la velocidad de oscilación es positiva y equivale a la mitad de su valor máximo:

Igualando las expresiones para $v_y(0,0)$:

Dividiendo por $A\omega$ (que es no nulo):

Esta condición implica que $\phi_0$ está en el segundo o tercer cuadrante.Combinando ambas condiciones:1. $\sin(\phi_0) > 0$ (primer o segundo cuadrante)2. $\cos(\phi_0) < 0$ (segundo o tercer cuadrante)Ambas condiciones se cumplen si $\phi_0$ está en el segundo cuadrante.El ángulo cuyo coseno es $-\frac{1}{2}$ en el segundo cuadrante es:

La potencia sonora emitida por una campana es $P = 10 \text{ mW} = 10 \times 10^{-3} \text{ W}$. La distancia de la campana a la persona es $r = 35 \text{ m}$. Suponiendo que el sonido se propaga uniformemente en todas direcciones, la intensidad sonora $I$ a una distancia $r$ de una fuente puntual se calcula como:

Sustituyendo los valores:

El nivel de intensidad sonora $\beta$ se calcula mediante la fórmula:

Donde $I_0 = 1 \times 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}$ es la intensidad umbral.

El nivel de intensidad sonora percibido es de aproximadamente $58.13 \text{ dB}$.

Si tocan las cuatro campanas a la vez, la potencia sonora total emitida será la suma de las potencias de cada campana:

La distancia a la población es $r' = 100 \text{ m}$. Calculamos la intensidad sonora $I'$ a esta distancia:

Ahora calculamos el nivel de intensidad sonora $\beta'$ a $100 \text{ m}$:

El límite de contaminación acústica en el municipio es de $55 \text{ dB}$. El nivel de intensidad sonora percibido a $100 \text{ m}$ con las cuatro campanas es de aproximadamente $55.03 \text{ dB}$. Este valor es ligeramente superior al límite establecido.Por lo tanto, no podrán tocar las cuatro campanas a la vez sin sobrepasar el límite de contaminación acústica establecido en el municipio.

Primero, calculamos las potencias de cada foco a partir de los niveles de intensidad dados.

Para el foco $F_1$, a $r_1' = 2 \text{ m}$:

La potencia $P_1$ del foco $F_1$ se obtiene de la intensidad a $r_1'$:

Para el foco $F_2$, a $r_2' = 2 \text{ m}$:

La potencia $P_2$ del foco $F_2$ es:

Ahora, calculamos las distancias de cada foco al origen $(0,0)$:

Calculamos la intensidad en el origen debido a cada foco:

La intensidad total $I_{total}$ en el origen, cuando ambos focos emiten simultáneamente, es la suma de las intensidades (asumiendo fuentes incoherentes):

Para sumar, expresamos ambas potencias de diez con el mismo exponente:

Calculando el valor numérico de la intensidad total:

El nivel de intensidad sonora total $\beta_{total}$ en el origen es:

Primero, calculamos la distancia total $d$ entre los focos $F_1(0,3)$ y $F_2(4,0)$:

Sea $r_1$ la distancia desde el punto $P$ al foco $F_1$. Como el punto $P$ está sobre el segmento que une ambos focos, la distancia desde $P$ al foco $F_2$ será $r_2 = d - r_1 = 5 - r_1$.En el punto $P$, las intensidades generadas por ambos focos son iguales: $I_1(P) = I_2(P)$.

Sustituimos las expresiones para $P_1$ y $P_2$:

Simplificamos la expresión:

Tomamos la raíz cuadrada. Como $r_1$ es una distancia y el punto está en el segmento, $r_1 > 0$ y $5-r_1 > 0$, así que tomamos la raíz positiva:

Calculando el valor numérico:

La distancia al foco $F_1$ es aproximadamente $1.20 \text{ m}$.

A partir de la figura, podemos determinar la amplitud y la longitud de onda de la onda transversal. La amplitud $A$ es el desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio, que es $3 \text{ cm}$.

La longitud de onda $\lambda$ es la distancia espacial de un ciclo completo de la onda. Observando la gráfica, desde $x=0$ hasta $x=1.0 \text{ m}$ se completa un ciclo.

El problema indica que el tiempo que tarda el punto situado en $x = 0$ desde que sale de su posición inicial ($t = 0$) hasta que vuelve a la misma es de $0.5 \text{ s}$. Este tiempo corresponde al periodo $T$ de la onda.

La velocidad de propagación $v$ se calcula utilizando la relación entre la longitud de onda y el periodo:

Sustituyendo los valores:

La expresión general para una onda transversal que se propaga en el sentido negativo del eje $x$ es:

Donde $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda, $\omega$ es la frecuencia angular y $\phi_0$ es la fase inicial.Calculamos los parámetros necesarios:1. Amplitud ($A$): Ya determinada, $A = 0.03 \text{ m}$.2. Frecuencia angular ($\omega$): Se relaciona con el periodo $T$:

3. Número de onda ($k$): Se relaciona con la longitud de onda $\lambda$:

4. Fase inicial ($\phi_0$): La determinamos usando la condición inicial en $x=0$ y $t=0$. De la gráfica, en $x=0, t=0$, la elongación es $y(0, 0) = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$.

Sustituyendo todos los valores en la expresión general, la ecuación matemática de la onda es:

Donde $y$ y $x$ están en metros y $t$ en segundos. Alternativamente, usando la identidad trigonométrica $\sin(\alpha + \pi/2) = \cos(\alpha)$:

El número de onda $k$ se relaciona con la longitud de onda $\lambda$ mediante la expresión:

Sustituyendo el valor de la longitud de onda $\lambda = 0,4 \text{ m}$:

La frecuencia $f$ de la onda se puede obtener de la relación entre la velocidad de propagación $v$, la longitud de onda $\lambda$ y la frecuencia:

Despejando $f$ y sustituyendo los valores $v = 200 \text{ m/s}$ y $\lambda = 0,4 \text{ m}$:

La ecuación general de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $x$ es:

donde $A$ es la amplitud, $k$ el número de onda, $\omega$ la frecuencia angular y $\phi_0$ la fase inicial. La frecuencia angular es $\omega = 2\pi f = 2\pi (500 \text{ Hz}) = 1000\pi \text{ rad/s}$.La velocidad de oscilación de un punto de la cuerda es la derivada de la elongación con respecto al tiempo:

El valor máximo de la velocidad de oscilación es $v_{y,max} = A\omega$.Aplicamos las condiciones iniciales en el origen de coordenadas ($x=0$) y en el instante inicial ($t=0$):1. La elongación es positiva: $y(0,0) = A \sin(\phi_0) > 0$. Dado que la amplitud $A$ es siempre positiva, esto implica que $\sin(\phi_0) > 0$. Esto sitúa a $\phi_0$ en el primer o segundo cuadrante.2. La velocidad de oscilación es positiva y equivale a la mitad de su valor máximo: $v_y(0,0) = -A\omega \cos(\phi_0) = \frac{1}{2} A\omega$. Simplificando, $-\cos(\phi_0) = \frac{1}{2}$, lo que significa que $\cos(\phi_0) = -\frac{1}{2}$. Esto sitúa a $\phi_0$ en el segundo o tercer cuadrante.Para que se cumplan ambas condiciones ($\sin(\phi_0) > 0$ y $\cos(\phi_0) = -\frac{1}{2}$), la fase inicial $\phi_0$ debe estar en el segundo cuadrante.El ángulo cuyo coseno es $-\frac{1}{2}$ en el segundo cuadrante es:

Primero, calculamos la intensidad sonora ($I$) emitida por una campana a la distancia especificada. Una fuente puntual de sonido emite ondas esféricas, por lo que la intensidad se distribuye sobre la superficie de una esfera con radio igual a la distancia desde la fuente.

Ahora, calculamos el nivel de intensidad sonora ($eta$) utilizando la intensidad umbral ($I_0$).

Cuando las cuatro campanas tocan a la vez, la potencia sonora total se multiplica por $4$. La nueva distancia a considerar es $r' = 100\text{ m}$.

Calculamos la nueva intensidad sonora ($I'$) a $100\text{ m}$.

Ahora, calculamos el nivel de intensidad sonora ($eta'$) para esta nueva situación.

El límite de contaminación acústica es de $55\text{ dB}$. El nivel de intensidad sonora calculado es de $55.03\text{ dB}$.Dado que $55.03\text{ dB} > 55\text{ dB}$, no podrán tocar las cuatro campanas a la vez sin sobrepasar el límite de contaminación acústica.

Para calcular la intensidad sonora en el origen, primero debemos determinar las potencias de los focos $F_1$ y $F_2$. Utilizamos la definición de nivel de intensidad sonora y la relación entre intensidad y potencia.La intensidad umbral es $I_0 = 1 \cdot 10^{-12} \text{ W} / \text{m}^2$.El nivel de intensidad sonora $eta$ se define como:

La intensidad de un foco sonoro puntual a una distancia $r$ es:

Cálculo de la intensidad $I_1$ a $2 \text{ m}$ del foco $F_1$:

Cálculo de la potencia $P_1$ del foco $F_1$:

Cálculo de la intensidad $I_2$ a $2 \text{ m}$ del foco $F_2$:

Cálculo de la potencia $P_2$ del foco $F_2$:

Distancias de los focos al origen $(0,0)$:

Intensidad sonora de cada foco en el origen:

La intensidad sonora total en el origen es la suma de las intensidades individuales, ya que las fuentes se consideran incoherentes:

El nivel de intensidad sonora total en el origen es:

Calculamos la distancia entre los focos $F_1(0, 3)$ y $F_2(4, 0)$:

Sea $P$ el punto sobre el segmento $F_1F_2$ donde las intensidades son iguales. Sea $r_1'$ la distancia de $F_1$ a $P$ y $r_2'$ la distancia de $F_2$ a $P$. Entonces, $r_2' = L - r_1' = 5 - r_1'$.La condición es $I_1 = I_2$:

Sustituimos los valores de $P_1$ y $P_2$:

Dividimos ambos lados por $1.587 \cdot 10^{-5}$:

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados (considerando que las distancias son positivas):

A partir de la gráfica proporcionada, podemos determinar la amplitud y la longitud de onda de la onda transversal. La amplitud ($A$) es el desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio, que es $3 \text{ cm}$.

La longitud de onda ($\lambda$) es la distancia espacial de un ciclo completo de la onda. Observando la gráfica, un ciclo completo se extiende desde $x = 0$ hasta $x = 1.5 \text{ m}$ (de un pico al siguiente pico).

El tiempo que tarda el punto situado en $x = 0$ en volver a su posición inicial es el periodo ($T$). Según el enunciado, este tiempo es $0.5 \text{ s}$.

La frecuencia ($f$) es la inversa del periodo:

La velocidad de propagación ($v$) de la onda se calcula como el producto de la longitud de onda y la frecuencia, o la longitud de onda dividida por el periodo:

La expresión general de una onda transversal que se propaga es $y(x,t) = A \sin(kx \pm \omega t + \phi_0)$. Dado que la onda se propaga en el sentido negativo del eje $x$, el signo entre $kx$ y $\omega t$ es positivo. Por lo tanto, la ecuación es $y(x,t) = A \sin(kx + \omega t + \phi_0)$. Necesitamos calcular la frecuencia angular ($\omega$), el número de onda ($k$) y la fase inicial ($\phi_0$).Frecuencia angular ($\omega$):

Número de onda ($k$):

Fase inicial ($\phi_0$): Utilizamos la condición inicial en $t=0$ y $x=0$. Según la gráfica, $y(0,0) = 3 \text{ cm}$. Sustituyendo en la ecuación de la onda: