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T3: Vibraciones y ondas
Ondas sonoras, intensidad y decibelios
Problema
2024 · Extraordinaria · Titular
A2
Examen

Dos focos sonoros puntuales F1F_1 y F2F_2 están situados en las posiciones (0,3) m(0, 3) \text{ m} y (4,0) m(4, 0) \text{ m} del plano xyxy. Cuando emiten por separado, el nivel de intensidad sonora debido al foco 11 a una distancia de 2 m2 \text{ m} de este es β1=55 dB\beta_1 = 55 \text{ dB}, mientras que el nivel de intensidad sonora debido al foco 22 es β2=65 dB\beta_2 = 65 \text{ dB} a 2 m2 \text{ m} de este. Halle:

a) La intensidad y el nivel de intensidad sonora en el origen cuando ambos focos emiten simultáneamente.b) La distancia al foco F1F_1 del punto situado sobre el segmento que une ambos focos en el que las intensidades generadas por ambos focos son iguales.

Dato: Intensidad umbral, I0=1⋅10−12 W/m2I_0 = 1 \cdot 10^{-12} \text{ W} / \text{m}^2.

SonidoIntensidad sonoraDecibelios
a) La intensidad y el nivel de intensidad sonora en el origen cuando ambos focos emiten simultáneamente.

Para calcular la intensidad sonora en el origen, primero debemos determinar las potencias de los focos F1F_1 y F2F_2. Utilizamos la definición de nivel de intensidad sonora y la relación entre intensidad y potencia.La intensidad umbral es I0=1⋅10−12 W/m2I_0 = 1 \cdot 10^{-12} \text{ W} / \text{m}^2.El nivel de intensidad sonora etaeta se define como:

β=10log⁡10(II0)\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)

La intensidad de un foco sonoro puntual a una distancia rr es:

I=P4πr2I = \frac{P}{4\pi r^2}

Cálculo de la intensidad I1I_1 a 2 m2 \text{ m} del foco F1F_1:

55 dB=10log⁡10(I1,2m1⋅10−12 W/m2)55 \text{ dB} = 10 \log_{10} \left( \frac{I_{1,2m}}{1 \cdot 10^{-12} \text{ W/m}^2} \right)
5.5=log⁡10(I1,2m1⋅10−12)5.5 = \log_{10} \left( \frac{I_{1,2m}}{1 \cdot 10^{-12}} \right)
I1,2m=105.5⋅1⋅10−12 W/m2=3.162⋅10−7 W/m2I_{1,2m} = 10^{5.5} \cdot 1 \cdot 10^{-12} \text{ W/m}^2 = 3.162 \cdot 10^{-7} \text{ W/m}^2

Cálculo de la potencia P1P_1 del foco F1F_1:

P1=I1,2m⋅4πr2=(3.162⋅10−7 W/m2)⋅4π(2 m)2=1.587⋅10−5 WP_1 = I_{1,2m} \cdot 4\pi r^2 = (3.162 \cdot 10^{-7} \text{ W/m}^2) \cdot 4\pi (2 \text{ m})^2 = 1.587 \cdot 10^{-5} \text{ W}

Cálculo de la intensidad I2I_2 a 2 m2 \text{ m} del foco F2F_2:

65 dB=10log⁡10(I2,2m1⋅10−12 W/m2)65 \text{ dB} = 10 \log_{10} \left( \frac{I_{2,2m}}{1 \cdot 10^{-12} \text{ W/m}^2} \right)
6.5=log⁡10(I2,2m1⋅10−12)6.5 = \log_{10} \left( \frac{I_{2,2m}}{1 \cdot 10^{-12}} \right)
I2,2m=106.5⋅1⋅10−12 W/m2=3.162⋅10−6 W/m2I_{2,2m} = 10^{6.5} \cdot 1 \cdot 10^{-12} \text{ W/m}^2 = 3.162 \cdot 10^{-6} \text{ W/m}^2

Cálculo de la potencia P2P_2 del foco F2F_2:

P2=I2,2m⋅4πr2=(3.162⋅10−6 W/m2)⋅4π(2 m)2=1.587⋅10−4 WP_2 = I_{2,2m} \cdot 4\pi r^2 = (3.162 \cdot 10^{-6} \text{ W/m}^2) \cdot 4\pi (2 \text{ m})^2 = 1.587 \cdot 10^{-4} \text{ W}

Distancias de los focos al origen (0,0)(0,0):

r1,org=(0−0)2+(0−3)2=3 mr_{1,org} = \sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2} = 3 \text{ m}
r2,org=(0−4)2+(0−0)2=4 mr_{2,org} = \sqrt{(0-4)^2 + (0-0)^2} = 4 \text{ m}

Intensidad sonora de cada foco en el origen:

I1,org=P14πr1,org2=1.587⋅10−5 W4π(3 m)2=1.403⋅10−7 W/m2I_{1,org} = \frac{P_1}{4\pi r_{1,org}^2} = \frac{1.587 \cdot 10^{-5} \text{ W}}{4\pi (3 \text{ m})^2} = 1.403 \cdot 10^{-7} \text{ W/m}^2
I2,org=P24πr2,org2=1.587⋅10−4 W4π(4 m)2=7.893⋅10−7 W/m2I_{2,org} = \frac{P_2}{4\pi r_{2,org}^2} = \frac{1.587 \cdot 10^{-4} \text{ W}}{4\pi (4 \text{ m})^2} = 7.893 \cdot 10^{-7} \text{ W/m}^2

La intensidad sonora total en el origen es la suma de las intensidades individuales, ya que las fuentes se consideran incoherentes:

Itotal,org=I1,org+I2,org=(1.403⋅10−7+7.893⋅10−7) W/m2=9.296⋅10−7 W/m2I_{total,org} = I_{1,org} + I_{2,org} = (1.403 \cdot 10^{-7} + 7.893 \cdot 10^{-7}) \text{ W/m}^2 = 9.296 \cdot 10^{-7} \text{ W/m}^2

El nivel de intensidad sonora total en el origen es:

βtotal,org=10log⁡10(Itotal,orgI0)=10log⁡10(9.296⋅10−7 W/m21⋅10−12 W/m2)\beta_{total,org} = 10 \log_{10} \left( \frac{I_{total,org}}{I_0} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{9.296 \cdot 10^{-7} \text{ W/m}^2}{1 \cdot 10^{-12} \text{ W/m}^2} \right)
βtotal,org=10log⁡10(9.296⋅105)=10⋅5.968=59.68 dB\beta_{total,org} = 10 \log_{10} (9.296 \cdot 10^5) = 10 \cdot 5.968 = 59.68 \text{ dB}
b) La distancia al foco F1F_1 del punto situado sobre el segmento que une ambos focos en el que las intensidades generadas por ambos focos son iguales.

Calculamos la distancia entre los focos F1(0,3)F_1(0, 3) y F2(4,0)F_2(4, 0):

L=(4−0)2+(0−3)2=42+(−3)2=16+9=25=5 mL = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}

Sea PP el punto sobre el segmento F1F2F_1F_2 donde las intensidades son iguales. Sea r1′r_1' la distancia de F1F_1 a PP y r2′r_2' la distancia de F2F_2 a PP. Entonces, r2′=L−r1′=5−r1′r_2' = L - r_1' = 5 - r_1'.La condición es I1=I2I_1 = I_2:

P14π(r1′)2=P24π(r2′)2\frac{P_1}{4\pi (r_1')^2} = \frac{P_2}{4\pi (r_2')^2}
P1(r1′)2=P2(5−r1′)2\frac{P_1}{(r_1')^2} = \frac{P_2}{(5 - r_1')^2}

Sustituimos los valores de P1P_1 y P2P_2:

1.587⋅10−5 W(r1′)2=1.587⋅10−4 W(5−r1′)2\frac{1.587 \cdot 10^{-5} \text{ W}}{(r_1')^2} = \frac{1.587 \cdot 10^{-4} \text{ W}}{(5 - r_1')^2}

Dividimos ambos lados por 1.587⋅10−51.587 \cdot 10^{-5}:

1(r1′)2=10(5−r1′)2\frac{1}{(r_1')^2} = \frac{10}{(5 - r_1')^2}
(5−r1′)2=10(r1′)2(5 - r_1')^2 = 10 (r_1')^2

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados (considerando que las distancias son positivas):

5−r1′=10r1′5 - r_1' = \sqrt{10} r_1'
5=r1′+10r1′5 = r_1' + \sqrt{10} r_1'
5=r1′(1+10)5 = r_1'(1 + \sqrt{10})
r1′=51+10≈51+3.162r_1' = \frac{5}{1 + \sqrt{10}} \approx \frac{5}{1 + 3.162}
r1′=54.162=1.201 mr_1' = \frac{5}{4.162} = 1.201 \text{ m}