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T3: Vibraciones y ondas
Problema
2023 · Ordinaria · Titular
B2
Examen

Un observador que se encuentra a 3 m3 \text{ m} de una fuente puntual sonora que emite en todas direcciones mide un nivel de intensidad sonora de 53 dB53 \text{ dB}. Halle:

a) La intensidad sonora recibida por el observador y la potencia con la que emite la fuente puntual.b) La distancia a la que debe situarse el observador para que el nivel de intensidad sonora percibido se reduzca a una cuarta parte.

Dato: Intensidad umbral, I0=10−12 W⋅m−2I_0 = 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}.

Intensidad sonoraNivel de intensidad sonoraPotencia sonora+1
a) La intensidad sonora recibida por el observador y la potencia con la que emite la fuente puntual.

Para calcular la intensidad sonora (I1I_1) recibida por el observador, utilizamos la definición del nivel de intensidad sonora β\beta:

β=10log⁡10(II0)\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)

Donde β=53 dB\beta = 53 \text{ dB} y I0=10−12 W⋅m−2I_0 = 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}.

53 dB=10log⁡10(I110−12 W⋅m−2)53 \text{ dB} = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}} \right)
5.3=log⁡10(I110−12)5.3 = \log_{10} \left( \frac{I_1}{10^{-12}} \right)
105.3=I110−1210^{5.3} = \frac{I_1}{10^{-12}}
I1=105.3⋅10−12=10−6.7 W⋅m−2I_1 = 10^{5.3} \cdot 10^{-12} = 10^{-6.7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

Por lo tanto, la intensidad sonora recibida es:

I1≈1.995×10−7 W⋅m−2I_1 \approx 1.995 \times 10^{-7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

Ahora, para hallar la potencia (PP) con la que emite la fuente puntual, consideramos que la fuente emite en todas direcciones y la intensidad del sonido a una distancia rr viene dada por:

I=P4πr2I = \frac{P}{4 \pi r^2}

Despejamos PP y sustituimos los valores I1=10−6.7 W⋅m−2I_1 = 10^{-6.7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} y r1=3 mr_1 = 3 \text{ m}:

P=I1⋅4πr12P = I_1 \cdot 4 \pi r_1^2
P=(10−6.7 W⋅m−2)⋅4π(3 m)2P = (10^{-6.7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}) \cdot 4 \pi (3 \text{ m})^2
P=10−6.7⋅4π⋅9 WP = 10^{-6.7} \cdot 4 \pi \cdot 9 \text{ W}
P≈(1.995×10−7 W⋅m−2)⋅36π m2P \approx (1.995 \times 10^{-7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}) \cdot 36 \pi \text{ m}^2
P≈2.259×10−5 WP \approx 2.259 \times 10^{-5} \text{ W}
b) La distancia a la que debe situarse el observador para que el nivel de intensidad sonora percibido se reduzca a una cuarta parte.

El nuevo nivel de intensidad sonora β2\beta_2 es una cuarta parte del original:

β2=β14=53 dB4=13.25 dB\beta_2 = \frac{\beta_1}{4} = \frac{53 \text{ dB}}{4} = 13.25 \text{ dB}

Ahora calculamos la intensidad sonora I2I_2 correspondiente a este nuevo nivel de intensidad:

β2=10log⁡10(I2I0)\beta_2 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right)
13.25 dB=10log⁡10(I210−12 W⋅m−2)13.25 \text{ dB} = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}} \right)
1.325=log⁡10(I210−12)1.325 = \log_{10} \left( \frac{I_2}{10^{-12}} \right)
101.325=I210−1210^{1.325} = \frac{I_2}{10^{-12}}
I2=101.325⋅10−12=10−10.675 W⋅m−2I_2 = 10^{1.325} \cdot 10^{-12} = 10^{-10.675} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

Por lo tanto, la nueva intensidad sonora es:

I2≈2.113×10−11 W⋅m−2I_2 \approx 2.113 \times 10^{-11} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

Finalmente, utilizamos la fórmula de la intensidad de una fuente puntual para encontrar la nueva distancia r2r_2 a la que debe situarse el observador, sabiendo que la potencia PP de la fuente es la misma que la calculada en el apartado a):

I2=P4πr22I_2 = \frac{P}{4 \pi r_2^2}
r22=P4πI2r_2^2 = \frac{P}{4 \pi I_2}
r2=P4πI2r_2 = \sqrt{\frac{P}{4 \pi I_2}}
r2=2.259×10−5 W4π(2.113×10−11 W⋅m−2)r_2 = \sqrt{\frac{2.259 \times 10^{-5} \text{ W}}{4 \pi (2.113 \times 10^{-11} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2})}}
r2=2.259×10−52.655×10−10 mr_2 = \sqrt{\frac{2.259 \times 10^{-5}}{2.655 \times 10^{-10}}} \text{ m}
r2≈8.508×104 mr_2 \approx \sqrt{8.508 \times 10^4} \text{ m}
r2≈291.7 mr_2 \approx 291.7 \text{ m}

El observador debe situarse aproximadamente a 291.7 m291.7 \text{ m}.