T3: Vibraciones y ondas

Ondas armónicas

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje x. En la figura se tiene una gráfica de la elongación de la onda para $t = 0$ y para $x = 0$ . A partir de dicha información determine:

a) La expresión matemática de la onda.b) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de oscilación del punto

x = 3 \text{ cm}

t = 1 \text{ s}

Onda transversalVelocidad de propagaciónVelocidad de oscilación+1

La ecuación general de una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje x es:

y(x, t) = A \sin(\omega t - kx + \phi_0)

donde $A$ es la amplitud, $\omega$ la frecuencia angular, $k$ el número de onda y $\phi_0$ la fase inicial.A partir de las gráficas, podemos determinar los siguientes parámetros:De la gráfica de $y$ frente a $x$ para $t=0$ (izquierda):1. La amplitud $A$ es el valor máximo de la elongación, $A = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$ .2. La longitud de onda $\lambda$ es la distancia entre dos crestas o valles consecutivos. Observamos una cresta en $x=2 \text{ cm}$ y la siguiente en $x=6 \text{ cm}$ , por lo que $\lambda = 6 \text{ cm} - 2 \text{ cm} = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ .De la gráfica de $y$ frente a $t$ para $x=0$ (derecha):1. La amplitud $A$ es consistente, $A = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$ .2. El período $T$ es el tiempo entre dos crestas o valles consecutivos. Observamos una cresta en $t=0.5 \text{ s}$ y la siguiente en $t=1.5 \text{ s}$ , por lo que $T = 1.5 \text{ s} - 0.5 \text{ s} = 1 \text{ s}$ .Calculamos las magnitudes derivadas:Frecuencia angular $\omega$ :

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1 \text{ s}} = 2\pi \text{ rad/s}

Número de onda $k$ :

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0.04 \text{ m}} = 50\pi \text{ rad/m}

Fase inicial $\phi_0$ :Sabemos que en $t=0$ y $x=0$ , la elongación es $y(0,0) = -3 \text{ cm}$ . Sustituyendo en la ecuación de la onda:

y(0,0) = A \sin(\omega(0) - k(0) + \phi_0) = A \sin(\phi_0)

0.03 \sin(\phi_0) = -0.03 \Rightarrow \sin(\phi_0) = -1

De aquí, podemos elegir $\phi_0 = -\frac{\pi}{2} \text{ rad}$ .

a) La expresión matemática de la onda.

Sustituyendo todos los valores en la ecuación general de la onda:

y(x, t) = 0.03 \sin\left(2\pi t - 50\pi x - \frac{\pi}{2}\right)

(donde $y$ está en metros, $x$ en metros y $t$ en segundos).

b) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de oscilación del punto

x = 3 \text{ cm}

t = 1 \text{ s}

La velocidad de propagación de la onda $v$ se calcula como:

v = \frac{\lambda}{T} = \frac{0.04 \text{ m}}{1 \text{ s}} = 0.04 \text{ m/s}

La velocidad de oscilación de un punto de la onda se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo:

v_y(x, t) = \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left[A \sin(\omega t - kx + \phi_0)\right]

v_y(x, t) = A\omega \cos(\omega t - kx + \phi_0)

Sustituyendo los valores de $A$ , $\omega$ , $k$ y $\phi_0$ :

v_y(x, t) = (0.03 \text{ m})(2\pi \text{ rad/s}) \cos\left(2\pi t - 50\pi x - \frac{\pi}{2}\right)

v_y(x, t) = 0.06\pi \cos\left(2\pi t - 50\pi x - \frac{\pi}{2}\right) \text{ m/s}

Ahora, calculamos la velocidad de oscilación para $x = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$ y $t = 1 \text{ s}$ :

v_y(0.03, 1) = 0.06\pi \cos\left(2\pi (1) - 50\pi (0.03) - \frac{\pi}{2}\right)

v_y(0.03, 1) = 0.06\pi \cos\left(2\pi - 1.5\pi - \frac{\pi}{2}\right)

v_y(0.03, 1) = 0.06\pi \cos\left(2\pi - 2\pi\right)

v_y(0.03, 1) = 0.06\pi \cos(0)

v_y(0.03, 1) = 0.06\pi (1) = 0.06\pi \text{ m/s}

v_y(0.03, 1) \approx 0.06 \times 3.14159 \approx 0.188 \text{ m/s}