T3: Vibraciones y ondas

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

A lo largo de una cuerda se propaga en el sentido $+x$ una onda transversal. El periodo de oscilación y la elongación máxima de un punto cualquiera de la cuerda son, respectivamente, $4 \cdot 10^{-3} \text{ s}$ y $3 \text{ mm}$ . La distancia mínima entre dos puntos cualesquiera de la cuerda que oscilan en fase es de $0,25 \text{ metros}$ . En el instante $2 \cdot 10^{-3} \text{ s}$ la elongación de un punto situado a $+0,5 \text{ m}$ del origen de coordenadas es de $-1,5 \text{ mm}$ y su velocidad de oscilación en ese instante es positiva.

a) Halle la frecuencia angular y la velocidad de propagación de la onda.b) Obtenga la expresión matemática que describe a la onda.

Onda transversalFrecuencia angularVelocidad de propagación+1

a) Halle la frecuencia angular y la velocidad de propagación de la onda.

La frecuencia angular ( $\omega$ ) se relaciona con el periodo ( $T$ ) mediante la expresión:

\omega = \frac{2\pi}{T}

Sustituyendo el valor del periodo $T = 4 \cdot 10^{-3} \text{ s}$ :

\omega = \frac{2\pi \text{ rad}}{4 \cdot 10^{-3} \text{ s}} = 500\pi \text{ rad/s} \approx 1570,80 \text{ rad/s}

La velocidad de propagación ( $v$ ) de la onda se puede calcular a partir de la longitud de onda ( $\lambda$ ) y el periodo ( $T$ ):

v = \frac{\lambda}{T}

Sustituyendo los valores dados: $\lambda = 0,25 \text{ m}$ y $T = 4 \cdot 10^{-3} \text{ s}$ :

v = \frac{0,25 \text{ m}}{4 \cdot 10^{-3} \text{ s}} = 62,5 \text{ m/s}

b) Obtenga la expresión matemática que describe a la onda.

La expresión general de una onda transversal que se propaga en el sentido $+x$ es:

y(x,t) = A \sin(\omega t - kx + \phi_0)

Donde $A$ es la amplitud, $\omega$ la frecuencia angular, $k$ el número de onda y $\phi_0$ la fase inicial.A partir de los datos y los cálculos del apartado anterior, tenemos:Amplitud: $A = 3 \text{ mm} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ m}$ Frecuencia angular: $\omega = 500\pi \text{ rad/s}$ El número de onda ( $k$ ) se calcula a partir de la longitud de onda ( $\lambda$ ):

k = \frac{2\pi}{\lambda}

Sustituyendo $\lambda = 0,25 \text{ m}$ :

k = \frac{2\pi \text{ rad}}{0,25 \text{ m}} = 8\pi \text{ rad/m} \approx 25,13 \text{ rad/m}

Ahora, sustituimos estos valores en la expresión de la onda:

y(x,t) = (3 \cdot 10^{-3}) \sin(500\pi t - 8\pi x + \phi_0)$$ \text{(en unidades del SI)}

Para determinar la fase inicial ( $\phi_0$ ), utilizamos las condiciones dadas: en el instante $t = 2 \cdot 10^{-3} \text{ s}$ y en la posición $x = 0,5 \text{ m}$ , la elongación es $y = -1,5 \text{ mm} = -1,5 \cdot 10^{-3} \text{ m}$ .

-1,5 \cdot 10^{-3} = (3 \cdot 10^{-3}) \sin(500\pi (2 \cdot 10^{-3}) - 8\pi (0,5) + \phi_0)

-0,5 = \sin(\pi - 4\pi + \phi_0)

-0,5 = \sin(-3\pi + \phi_0)

Dado que $\sin(\alpha) = \sin(\alpha + 2n\pi)$ , podemos simplificar el argumento:

-0,5 = \sin(-\pi + \phi_0)

Las soluciones para $\sin(\theta) = -0,5$ son $\theta = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi$ o $\theta = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$ . Consideremos los valores principales.Caso 1:

-\pi + \phi_0 = -\frac{\pi}{6} \implies \phi_0 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \text{ rad}

Caso 2:

-\pi + \phi_0 = \frac{7\pi}{6} \implies \phi_0 = \pi + \frac{7\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \text{ rad} \equiv \frac{\pi}{6} \text{ rad}

Para discernir entre estos dos valores, utilizamos la condición de que la velocidad de oscilación en ese instante es positiva. La velocidad de oscilación ( $v_y$ ) se obtiene derivando la elongación respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega \cos(\omega t - kx + \phi_0)

v_y(x,t) = (3 \cdot 10^{-3}) (500\pi) \cos(500\pi t - 8\pi x + \phi_0)

v_y(x,t) = (1,5\pi) \cos(500\pi t - 8\pi x + \phi_0)

En el instante y posición dados, el argumento del coseno es $(-\pi + \phi_0)$ .Para el Caso 1 ( $\phi_0 = \frac{5\pi}{6}$ ):

v_y = (1,5\pi) \cos(-\pi + \frac{5\pi}{6}) = (1,5\pi) \cos(-\frac{\pi}{6}) = (1,5\pi) \frac{\sqrt{3}}{2} > 0

Esta solución cumple la condición $v_y > 0$ .Para el Caso 2 ( $\phi_0 = \frac{\pi}{6}$ ):

v_y = (1,5\pi) \cos(-\pi + \frac{\pi}{6}) = (1,5\pi) \cos(-\frac{5\pi}{6}) = (1,5\pi) (-\frac{\sqrt{3}}{2}) < 0

Esta solución NO cumple la condición $v_y > 0$ . Por lo tanto, el valor correcto de la fase inicial es $\phi_0 = \frac{5\pi}{6} \text{ rad}$ .La expresión matemática que describe la onda es:

y(x,t) = 3 \cdot 10^{-3} \sin\left(500\pi t - 8\pi x + \frac{5\pi}{6}\right)

donde $y$ y $x$ se expresan en metros, y $t$ en segundos.