T3: Vibraciones y ondas

Ondas armónicas

Problema

2022 · Ordinaria · Titular

Por una cuerda dispuesta a lo largo del eje $x$ viaja una onda armónica que desplaza los elementos de la cuerda en la dirección del eje $y$ . Se sabe que los elementos $A$ y $B$ , respectivamente ubicados en $x_A = 0 \text{ m}$ y $x_B = 2 \text{ m}$ , oscilan en fase y cortan al eje $x$ cada $4 \text{ s}$ . Teniendo en cuenta que no hay entre $A$ y $B$ ningún otro elemento que oscile en fase con ellos:

a) Calcule el valor de la velocidad de propagación.b) Escriba la expresión matemática de la onda, si esta viaja en el sentido negativo del eje

x

y en el instante inicial los elementos

A

B

presentan desplazamiento igual a

+10 \text{ cm}

y velocidad nula.

Velocidad de propagaciónEcuación de onda

a) Calcule el valor de la velocidad de propagación.

Dado que los elementos A y B están ubicados en $x_A = 0 \text{ m}$ y $x_B = 2 \text{ m}$ respectivamente, oscilan en fase y no hay ningún otro elemento entre ellos que oscile en fase, la distancia entre ellos corresponde a una longitud de onda ( $\lambda$ ).

\lambda = x_B - x_A = 2 \text{ m} - 0 \text{ m} = 2 \text{ m}

El hecho de que los elementos corten el eje $x$ (posición de equilibrio) cada $4 \text{ s}$ significa que el tiempo que tardan en pasar por la posición de equilibrio en el mismo sentido es la mitad de un periodo. O, en otras palabras, el tiempo entre dos pasos consecutivos por el equilibrio es $T/2$ . Por lo tanto, el periodo de la onda ( $T$ ) es:

\frac{T}{2} = 4 \text{ s} \implies T = 8 \text{ s}

La velocidad de propagación ( $v$ ) se calcula a partir de la longitud de onda y el periodo mediante la fórmula:

v = \frac{\lambda}{T}

Sustituyendo los valores:

v = \frac{2 \text{ m}}{8 \text{ s}} = 0.25 \text{ m/s}

b) Escriba la expresión matemática de la onda, si esta viaja en el sentido negativo del eje

x

y en el instante inicial los elementos A y B presentan desplazamiento igual a

+10 \text{ cm}

y velocidad nula.

La expresión general de una onda armónica que viaja en el sentido negativo del eje $x$ es:

y(x,t) = A \cos(\omega t + kx + \phi_0)

Donde $A$ es la amplitud, $\omega$ es la frecuencia angular, $k$ es el número de onda y $\phi_0$ es la fase inicial.1. Amplitud ( $A$ ): En el instante inicial ( $t=0$ ), los elementos A y B tienen un desplazamiento de $+10 \text{ cm}$ y velocidad nula. Esto indica que se encuentran en su máxima elongación positiva. Por lo tanto, la amplitud es $A = 10 \text{ cm} = 0.10 \text{ m}$ .

A = 0.10 \text{ m}

2. Frecuencia angular ( $\omega$ ): Se calcula a partir del periodo $T$ :

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8 \text{ s}} = \frac{\pi}{4} \text{ rad/s}

3. Número de onda ( $k$ ): Se calcula a partir de la longitud de onda $\lambda$ :

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2 \text{ m}} = \pi \text{ rad/m}

4. Fase inicial ( $\phi_0$ ): Usamos las condiciones iniciales para un elemento, por ejemplo, el elemento A en $x=0$ . En $t=0$ , $y(0,0) = +A$ y la velocidad es nula. Sustituyendo en la ecuación de la onda:

y(0,0) = A \cos(\omega \cdot 0 + k \cdot 0 + \phi_0) = A \cos(\phi_0)

Dado que $y(0,0) = +A$ , tenemos:

A = A \cos(\phi_0) \implies \cos(\phi_0) = 1

Esto implica que $\phi_0 = 0 \text{ rad}$ (o múltiplos de $2\pi$ ). Verificamos la velocidad: La velocidad transversal de un elemento es $v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \sin(\omega t + kx + \phi_0)$ . En $t=0, x=0$ :

v_y(0,0) = -A\omega \sin(\phi_0)

Como la velocidad es nula, $-A\omega \sin(\phi_0) = 0$ . Como $A \neq 0$ y $\omega \neq 0$ , debe ser $\sin(\phi_0) = 0$ . Tanto $\cos(\phi_0)=1$ como $\sin(\phi_0)=0$ se satisfacen para $\phi_0 = 0 \text{ rad}$ .5. Expresión matemática de la onda: Sustituyendo todos los valores en la ecuación general:

y(x,t) = 0.10 \cos\left(\frac{\pi}{4} t + \pi x\right)

Donde $y$ y $x$ se miden en metros, y $t$ en segundos.