AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T3: Vibraciones y ondas
Ondas sonoras
Problema
2023 · Ordinaria · Suplente
B2
Examen

Un coro está formado por 1212 cantantes, que están dispuestos en una semicircunferencia de radio RR. Cada uno de los miembros del coro canta con un mismo nivel de intensidad de 90 dB90 \text{ dB} medido a la distancia de 1 m1 \text{ m}. Sabiendo que cuando canta el coro entero el nivel de intensidad en el centro de la semicircunferencia es de 88,72 dB88,72 \text{ dB}, calcule:

a) La potencia sonora emitida por cada uno de los cantantes.b) El radio de la semicircunferencia, RR.

Dato: Intensidad umbral, I0=10−12 W⋅m−2I_0 = 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}.

Nivel de intensidad sonoraPotencia sonora
a) La potencia sonora emitida por cada uno de los cantantes.

El nivel de intensidad sonora β\beta se define como:

β=10⋅log⁡10(II0)\beta = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)

Para un solo cantante, a una distancia r1=1 mr_1 = 1 \text{ m}, el nivel de intensidad es β1=90 dB\beta_1 = 90 \text{ dB}. La intensidad umbral es I0=10−12 W⋅m−2I_0 = 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}.

90 dB=10⋅log⁡10(I110−12 W⋅m−2)90 \text{ dB} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I_1}{10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}} \right)
9=log⁡10(I110−12 W⋅m−2)9 = \log_{10} \left( \frac{I_1}{10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}} \right)
109=I110−12 W⋅m−210^9 = \frac{I_1}{10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}}
I1=109⋅10−12 W⋅m−2=10−3 W⋅m−2I_1 = 10^9 \cdot 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} = 10^{-3} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

La intensidad sonora II de una fuente puntual se relaciona con la potencia sonora PP y la distancia rr mediante la fórmula:

I=P4πr2I = \frac{P}{4\pi r^2}

Para un solo cantante, I1=10−3 W⋅m−2I_1 = 10^{-3} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} a r1=1 mr_1 = 1 \text{ m}. Entonces, la potencia sonora P1P_1 emitida por cada cantante es:

10−3 W⋅m−2=P14π(1 m)210^{-3} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} = \frac{P_1}{4\pi (1 \text{ m})^2}
P1=4π⋅10−3 WP_1 = 4\pi \cdot 10^{-3} \text{ W}
P1≈0.01257 WP_1 \approx 0.01257 \text{ W}
b) El radio de la semicircunferencia, RR.

Cuando canta el coro entero (12 cantantes) el nivel de intensidad en el centro de la semicircunferencia es βtotal=88.72 dB\beta_{total} = 88.72 \text{ dB}. Primero, calculamos la intensidad total ItotalI_{total} en el centro.

88.72 dB=10⋅log⁡10(Itotal10−12 W⋅m−2)88.72 \text{ dB} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I_{total}}{10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}} \right)
8.872=log⁡10(Itotal10−12 W⋅m−2)8.872 = \log_{10} \left( \frac{I_{total}}{10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}} \right)
Itotal=108.872⋅10−12 W⋅m−2I_{total} = 10^{8.872} \cdot 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}
Itotal=10−3.128 W⋅m−2≈7.447×10−4 W⋅m−2I_{total} = 10^{-3.128} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} \approx 7.447 \times 10^{-4} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

En el centro de la semicircunferencia, todos los 12 cantantes están a la misma distancia RR del centro. Suponiendo que las ondas sonoras de cada cantante son incoherentes, la intensidad total es la suma de las intensidades individuales.

Itotal=N⋅P14πR2I_{total} = N \cdot \frac{P_1}{4\pi R^2}

Donde N=12N=12 es el número de cantantes y P1=4π⋅10−3 WP_1 = 4\pi \cdot 10^{-3} \text{ W} es la potencia de cada cantante.

10−3.128 W⋅m−2=12⋅4π⋅10−3 W4πR210^{-3.128} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} = 12 \cdot \frac{4\pi \cdot 10^{-3} \text{ W}}{4\pi R^2}
10−3.128 W⋅m−2=12⋅10−3 WR210^{-3.128} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} = \frac{12 \cdot 10^{-3} \text{ W}}{R^2}
R2=12⋅10−3 W10−3.128 W⋅m−2R^2 = \frac{12 \cdot 10^{-3} \text{ W}}{10^{-3.128} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}}
R2=12⋅10−3−(−3.128) m2R^2 = 12 \cdot 10^{-3 - (-3.128)} \text{ m}^2
R2=12⋅100.128 m2R^2 = 12 \cdot 10^{0.128} \text{ m}^2
R2≈12⋅1.34289 m2R^2 \approx 12 \cdot 1.34289 \text{ m}^2
R2≈16.1147 m2R^2 \approx 16.1147 \text{ m}^2
R=16.1147 mR = \sqrt{16.1147} \text{ m}
R≈4.014 mR \approx 4.014 \text{ m}