Un coro está formado por 12 cantantes, que están dispuestos en una semicircunferencia de radio R. Cada uno de los miembros del coro canta con un mismo nivel de intensidad de 90 dB medido a la distancia de 1 m. Sabiendo que cuando canta el coro entero el nivel de intensidad en el centro de la semicircunferencia es de 88,72 dB, calcule:
a) La potencia sonora emitida por cada uno de los cantantes.b) El radio de la semicircunferencia, R.
Dato: Intensidad umbral, I0=10−12 W⋅m−2.
Nivel de intensidad sonoraPotencia sonora
a) La potencia sonora emitida por cada uno de los cantantes.
El nivel de intensidad sonora β se define como:
β=10⋅log10(I0I)
Para un solo cantante, a una distancia r1=1 m, el nivel de intensidad es β1=90 dB. La intensidad umbral es I0=10−12 W⋅m−2.
90 dB=10⋅log10(10−12 W⋅m−2I1)
9=log10(10−12 W⋅m−2I1)
109=10−12 W⋅m−2I1
I1=109⋅10−12 W⋅m−2=10−3 W⋅m−2
La intensidad sonora I de una fuente puntual se relaciona con la potencia sonora P y la distancia r mediante la fórmula:
I=4πr2P
Para un solo cantante, I1=10−3 W⋅m−2 a r1=1 m. Entonces, la potencia sonora P1 emitida por cada cantante es:
10−3 W⋅m−2=4π(1 m)2P1
P1=4π⋅10−3 W
P1≈0.01257 W
b) El radio de la semicircunferencia, R.
Cuando canta el coro entero (12 cantantes) el nivel de intensidad en el centro de la semicircunferencia es βtotal=88.72 dB. Primero, calculamos la intensidad total Itotal en el centro.
88.72 dB=10⋅log10(10−12 W⋅m−2Itotal)
8.872=log10(10−12 W⋅m−2Itotal)
Itotal=108.872⋅10−12 W⋅m−2
Itotal=10−3.128 W⋅m−2≈7.447×10−4 W⋅m−2
En el centro de la semicircunferencia, todos los 12 cantantes están a la misma distancia R del centro. Suponiendo que las ondas sonoras de cada cantante son incoherentes, la intensidad total es la suma de las intensidades individuales.
Itotal=N⋅4πR2P1
Donde N=12 es el número de cantantes y P1=4π⋅10−3 W es la potencia de cada cantante.
