T3: Vibraciones y ondas

Ondas mecánicas

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

Por una cuerda dispuesta a lo largo del eje $x$ viaja una onda armónica transversal con velocidad de propagación $\vec{v} = -400 \vec{i} \text{ m/s}$ . La onda produce en la cuerda una aceleración máxima de $2 \cdot 10^{4} \text{ m/s}^2$ . En un instante cualquiera, los puntos con elongación nula se repiten cada $0,4 \text{ m}$ a lo largo del eje $x$ .

a) Determine la frecuencia y la amplitud de la onda.b) Si en el instante inicial y en el origen de coordenadas la elongación es

+1 \text{ mm}

y la velocidad es positiva, calcule la elongación en

x = 1,2 \text{ m}

para

t = 2 \text{ s}

onda armónicavelocidad de propagaciónaceleración máxima+1

a) Determine la frecuencia y la amplitud de la onda.

La distancia entre dos puntos consecutivos con elongación nula es media longitud de onda ( $\lambda/2$ ). Por tanto:

\frac{\lambda}{2} = 0,4 \text{ m} \Rightarrow \lambda = 0,8 \text{ m}

La velocidad de propagación de la onda está relacionada con la longitud de onda y la frecuencia ( $f$ ) mediante la expresión:

v = \lambda f

Despejando la frecuencia:

f = \frac{v}{\lambda} = \frac{400 \text{ m/s}}{0,8 \text{ m}} = 500 \text{ Hz}

La frecuencia angular ( $\omega$ ) se calcula como:

\omega = 2\pi f = 2\pi (500 \text{ Hz}) = 1000\pi \text{ rad/s}

La aceleración máxima de un punto de la cuerda está relacionada con la amplitud ( $A$ ) y la frecuencia angular ( $\omega$ ) por la expresión:

a_{max} = A\omega^2

Despejando la amplitud:

A = \frac{a_{max}}{\omega^2} = \frac{2 \cdot 10^4 \text{ m/s}^2}{(1000\pi \text{ rad/s})^2} = \frac{2 \cdot 10^4}{10^6\pi^2} \text{ m} = \frac{2 \cdot 10^{-2}}{\pi^2} \text{ m}

Calculando el valor numérico:

A \approx \frac{0,02}{9,8696} \text{ m} \approx 2,026 \cdot 10^{-3} \text{ m} = 2,026 \text{ mm}

b) Si en el instante inicial y en el origen de coordenadas la elongación es

+1 \text{ mm}

y la velocidad es positiva, calcule la elongación en

x = 1,2 \text{ m}

para

t = 2 \text{ s}

La ecuación general de una onda armónica transversal que viaja en la dirección negativa del eje $x$ es:

y(x,t) = A \sin(kx + \omega t + \phi_0)

donde $k$ es el número de onda y $\phi_0$ es la fase inicial.Calculamos el número de onda $k$ :

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0,8 \text{ m}} = 2,5\pi \text{ rad/m}

Ahora usamos las condiciones iniciales para determinar la fase inicial $\phi_0$ :En $t=0$ y $x=0$ , la elongación es $y(0,0) = +1 \text{ mm} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ m}$ .

\begin{gathered} y(0,0) = A \sin(k(0) + \omega(0) + \phi_0) = A \sin(\phi_0) \\ \Rightarrow 1 \cdot 10^{-3} = A \sin(\phi_0) \\ \sin(\phi_0) = \frac{1 \cdot 10^{-3}}{A} = \frac{1 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 10^{-2}/\pi^2} = \frac{\pi^2}{20} \end{gathered}

La velocidad transversal de un punto de la cuerda es la derivada parcial de la elongación respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega \cos(kx + \omega t + \phi_0)

En $t=0$ y $x=0$ , la velocidad es positiva ( $v_y(0,0) > 0$ ):

v_y(0,0) = A\omega \cos(\phi_0) > 0

Dado que $A > 0$ y $\omega > 0$ , es necesario que $\cos(\phi_0) > 0$ . Como $\sin(\phi_0) = \frac{\pi^2}{20} \approx 0,493 > 0$ y $\cos(\phi_0) > 0$ , la fase inicial $\phi_0$ debe estar en el primer cuadrante.

\phi_0 = \arcsin\left(\frac{\pi^2}{20}\right) \approx 0,516 \text{ rad}

Finalmente, calculamos la elongación en $x = 1,2 \text{ m}$ para $t = 2 \text{ s}$ :

y(1,2,2) = A \sin(k(1,2) + \omega(2) + \phi_0)

y(1,2,2) = A \sin( (2,5\pi)(1,2) + (1000\pi)(2) + \phi_0)

y(1,2,2) = A \sin(3\pi + 2000\pi + \phi_0)

y(1,2,2) = A \sin(2003\pi + \phi_0)

Usando la propiedad de la función seno $\sin(\theta + 2n\pi) = \sin(\theta)$ , podemos simplificar la expresión. Como $2002\pi$ es un múltiplo de $2\pi$ :

\sin(2003\pi + \phi_0) = \sin( (2002\pi + \pi) + \phi_0 ) = \sin(\pi + \phi_0)

Y utilizando la identidad trigonométrica $\sin(\pi + \theta) = -\sin(\theta)$ :

\sin(\pi + \phi_0) = -\sin(\phi_0)

Sustituyendo esto en la ecuación de elongación:

y(1,2,2) = A (-\sin(\phi_0)) = -(A \sin(\phi_0))

Sabemos por las condiciones iniciales que $A \sin(\phi_0) = 1 \cdot 10^{-3} \text{ m}$ .

y(1,2,2) = -1 \cdot 10^{-3} \text{ m} = -1 \text{ mm}