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T3: Vibraciones y ondas
Sonido
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
B2
Examen

Un foco sonoro de potencia PP se coloca a una altura hh sobre el suelo, como ilustra la figura. El nivel de intensidad sonora vale 60 dB60 \text{ dB} en el punto AA, a 100 m100 \text{ m} de distancia del foco, y alcanza 80 dB80 \text{ dB} en el punto BB, en el suelo en la vertical del foco.

Imagen del ejercicio
a) Calcule PP y hh.b) ¿Cuál sería el nivel de intensidad en el punto BB si se agregase sobre él otro foco de igual potencia a una altura de h/2h/2?

Dato: Intensidad umbral de audición, I0=10−12 W⋅m−2I_0 = 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}.

Intensidad sonoraNivel de intensidad sonoraPotencia sonora
a) Calcule PP y hh.

El nivel de intensidad sonora β\beta se relaciona con la intensidad II mediante la expresión:

β=10log⁡10(II0)\beta = 10 \log_{10} \left(\frac{I}{I_0}\right)

Y la intensidad sonora II a una distancia rr de un foco de potencia PP se calcula como:

I=P4πr2I = \frac{P}{4\pi r^2}

Para el punto AA, tenemos βA=60 dB\beta_A = 60 \text{ dB} y la distancia al foco es rA=100 mr_A = 100 \text{ m}. Convertimos el nivel de intensidad a intensidad sonora:

60=10log⁡10(IA10−12)  ⟹  6=log⁡10(IA10−12)60 = 10 \log_{10} \left(\frac{I_A}{10^{-12}}\right) \implies 6 = \log_{10} \left(\frac{I_A}{10^{-12}}\right)
IA10−12=106  ⟹  IA=106⋅10−12 W⋅m−2=10−6 W⋅m−2\frac{I_A}{10^{-12}} = 10^6 \implies I_A = 10^6 \cdot 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} = 10^{-6} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

Ahora, usamos la expresión de la intensidad para calcular la potencia PP:

IA=P4πrA2  ⟹  10−6=P4π(100 m)2I_A = \frac{P}{4\pi r_A^2} \implies 10^{-6} = \frac{P}{4\pi (100\text{ m})^2}
P=10−6⋅4π⋅(100)2 W=10−6⋅4π⋅104 W=4π⋅10−2 WP = 10^{-6} \cdot 4\pi \cdot (100)^2 \text{ W} = 10^{-6} \cdot 4\pi \cdot 10^4 \text{ W} = 4\pi \cdot 10^{-2} \text{ W}

Para el punto BB, tenemos βB=80 dB\beta_B = 80 \text{ dB}. Convertimos este nivel de intensidad a intensidad sonora IBI_B:

80=10log⁡10(IB10−12)  ⟹  8=log⁡10(IB10−12)80 = 10 \log_{10} \left(\frac{I_B}{10^{-12}}\right) \implies 8 = \log_{10} \left(\frac{I_B}{10^{-12}}\right)
IB10−12=108  ⟹  IB=108⋅10−12 W⋅m−2=10−4 W⋅m−2\frac{I_B}{10^{-12}} = 10^8 \implies I_B = 10^8 \cdot 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} = 10^{-4} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

El punto BB está en el suelo en la vertical del foco, por lo que la distancia del foco al punto BB es rB=hr_B = h. Usamos la intensidad IBI_B y la potencia PP calculada para hallar hh:

IB=P4πh2  ⟹  10−4=4π⋅10−24πh2I_B = \frac{P}{4\pi h^2} \implies 10^{-4} = \frac{4\pi \cdot 10^{-2}}{4\pi h^2}
10−4=10−2h2  ⟹  h2=10−210−4=10210^{-4} = \frac{10^{-2}}{h^2} \implies h^2 = \frac{10^{-2}}{10^{-4}} = 10^2
h=100 m=10 mh = \sqrt{100} \text{ m} = 10 \text{ m}
b) ¿Cuál sería el nivel de intensidad en el punto BB si se agregase sobre él otro foco de igual potencia a una altura de h/2h/2?

La intensidad sonora en el punto BB debido al primer foco (Foco 1) es I1=IB=10−4 W⋅m−2I_1 = I_B = 10^{-4} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}.Se agrega un segundo foco (Foco 2) de igual potencia P=4π⋅10−2 WP = 4\pi \cdot 10^{-2} \text{ W} a una altura de h/2=10 m/2=5 mh/2 = 10\text{ m}/2 = 5 \text{ m}.La distancia del Foco 2 al punto BB es r2=h/2=5 mr_2 = h/2 = 5 \text{ m}. Calculamos la intensidad I2I_2 que produce el Foco 2 en el punto BB:

I2=P4πr22=4π⋅10−24π(5 m)2=10−225 W⋅m−2=4⋅10−4 W⋅m−2I_2 = \frac{P}{4\pi r_2^2} = \frac{4\pi \cdot 10^{-2}}{4\pi (5\text{ m})^2} = \frac{10^{-2}}{25} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} = 4 \cdot 10^{-4} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

La intensidad total ItotalI_{\text{total}} en el punto BB es la suma de las intensidades de ambos focos (suponiendo fuentes incoherentes):

Itotal=I1+I2=10−4 W⋅m−2+4⋅10−4 W⋅m−2=5⋅10−4 W⋅m−2I_{\text{total}} = I_1 + I_2 = 10^{-4} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} + 4 \cdot 10^{-4} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} = 5 \cdot 10^{-4} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

Finalmente, calculamos el nuevo nivel de intensidad sonora βtotal\beta_{\text{total}} en el punto BB:

βtotal=10log⁡10(ItotalI0)=10log⁡10(5⋅10−4 W⋅m−210−12 W⋅m−2)\beta_{\text{total}} = 10 \log_{10} \left(\frac{I_{\text{total}}}{I_0}\right) = 10 \log_{10} \left(\frac{5 \cdot 10^{-4} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}}{10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}}\right)
βtotal=10log⁡10(5⋅108)\beta_{\text{total}} = 10 \log_{10} (5 \cdot 10^8)
βtotal=10(log⁡105+log⁡10108)=10(log⁡105+8)\beta_{\text{total}} = 10 (\log_{10} 5 + \log_{10} 10^8) = 10 (\log_{10} 5 + 8)
βtotal≈10(0.699+8)=10(8.699)=86.99 dB\beta_{\text{total}} \approx 10 (0.699 + 8) = 10 (8.699) = 86.99 \text{ dB}