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T3: Vibraciones y ondas
Ondas sonoras
Problema
2023 · Extraordinaria · Titular
B2
Examen

Dos focos sonoros puntuales F1F_1 y F2F_2 se encuentran respectivamente situados en los puntos (−6,0) m(-6, 0) \text{ m} y (6,0) m(6, 0) \text{ m} del plano xyxy. Se sabe que en el punto (2,0) m(2, 0) \text{ m} la intensidad debida a cada foco vale lo mismo, y que en el punto (0,2) m(0, 2) \text{ m} el nivel de intensidad sonora es de 80 dB80 \text{ dB}.

a) El cociente entre la potencia del foco F1F_1 y la del foco F2F_2.b) La potencia del foco F1F_1 y la intensidad que se registraría en el punto (0,8) m(0, 8) \text{ m} si solamente se recibiesen ondas del foco F1F_1.

Dato: Intensidad umbral, I0=10−12 W/m2I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2.

intensidad sonoranivel de intensidadpotencia acústica+1
a) El cociente entre la potencia del foco F1F_1 y la del foco F2F_2.

Las coordenadas de los focos son F1=(−6,0) mF_1 = (-6, 0) \text{ m} y F2=(6,0) mF_2 = (6, 0) \text{ m}. El punto donde las intensidades son iguales es P1=(2,0) mP_1 = (2, 0) \text{ m}.Calculamos las distancias de cada foco al punto P1P_1:

r11=∣2−(−6)∣=8 mr_{11} = |2 - (-6)| = 8 \text{ m}
r21=∣2−6∣=4 mr_{21} = |2 - 6| = 4 \text{ m}

La intensidad sonora de un foco puntual se define como I=P4πr2I = \frac{P}{4\pi r^2}. Si las intensidades debidas a cada foco son iguales en P1P_1:

I1(P1)=I2(P1)I_1(P_1) = I_2(P_1)
P14πr112=P24πr212\frac{P_1}{4\pi r_{11}^2} = \frac{P_2}{4\pi r_{21}^2}

Simplificando y despejando el cociente de potencias:

P1P2=r112r212\frac{P_1}{P_2} = \frac{r_{11}^2}{r_{21}^2}

Sustituyendo los valores de las distancias:

P1P2=(8 m)2(4 m)2=64 m216 m2=4\frac{P_1}{P_2} = \frac{(8 \text{ m})^2}{(4 \text{ m})^2} = \frac{64 \text{ m}^2}{16 \text{ m}^2} = 4
b) La potencia del foco F1F_1 y la intensidad que se registraría en el punto (0,8) m(0, 8) \text{ m} si solamente se recibiesen ondas del foco F1F_1.

El punto donde el nivel de intensidad sonora es 80 dB80 \text{ dB} es P2=(0,2) mP_2 = (0, 2) \text{ m}. La intensidad umbral es I0=10−12 W/m2I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2.Primero, calculamos la intensidad sonora total en P2P_2 a partir del nivel de intensidad:

β=10log⁡10(ItotalI0)\beta = 10 \log_{10}\left(\frac{I_{total}}{I_0}\right)
80 dB=10log⁡10(Itotal10−12 W/m2)80 \text{ dB} = 10 \log_{10}\left(\frac{I_{total}}{10^{-12} \text{ W/m}^2}\right)
8=log⁡10(Itotal10−12 W/m2)8 = \log_{10}\left(\frac{I_{total}}{10^{-12} \text{ W/m}^2}\right)
Itotal=108⋅10−12 W/m2=10−4 W/m2I_{total} = 10^8 \cdot 10^{-12} \text{ W/m}^2 = 10^{-4} \text{ W/m}^2

Ahora, calculamos las distancias de cada foco al punto P2=(0,2) mP_2 = (0, 2) \text{ m}:

r12=(0−(−6))2+(2−0)2=62+22=36+4=40 mr_{12} = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \text{ m}
r22=(0−6)2+(2−0)2=(−6)2+22=36+4=40 mr_{22} = \sqrt{(0 - 6)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \text{ m}

La intensidad total en P2P_2 es la suma de las intensidades de cada foco:

Itotal=I1(P2)+I2(P2)=P14πr122+P24πr222I_{total} = I_1(P_2) + I_2(P_2) = \frac{P_1}{4\pi r_{12}^2} + \frac{P_2}{4\pi r_{22}^2}

Como r12=r22=40 mr_{12} = r_{22} = \sqrt{40} \text{ m}, podemos simplificar:

Itotal=P1+P24π(40)2=P1+P24π⋅40=P1+P2160πI_{total} = \frac{P_1 + P_2}{4\pi (\sqrt{40})^2} = \frac{P_1 + P_2}{4\pi \cdot 40} = \frac{P_1 + P_2}{160\pi}

Del apartado a), sabemos que P1/P2=4P_1/P_2 = 4, por lo tanto, P2=P1/4P_2 = P_1/4. Sustituimos esta relación en la ecuación de la intensidad total:

10−4 W/m2=P1+P1/4160π10^{-4} \text{ W/m}^2 = \frac{P_1 + P_1/4}{160\pi}
10−4 W/m2=5P1/4160π10^{-4} \text{ W/m}^2 = \frac{5P_1/4}{160\pi}
10−4 W/m2=5P1640π10^{-4} \text{ W/m}^2 = \frac{5P_1}{640\pi}

Despejamos P1P_1:

P1=10−4 W/m2⋅640π m25=128π⋅10−4 WP_1 = \frac{10^{-4} \text{ W/m}^2 \cdot 640\pi \text{ m}^2}{5} = 128\pi \cdot 10^{-4} \text{ W}
P1≈0.0402 WP_1 \approx 0.0402 \text{ W}

Finalmente, calculamos la intensidad que se registraría en el punto P3=(0,8) mP_3 = (0, 8) \text{ m} si solamente se recibiesen ondas del foco F1F_1.La distancia del foco F1=(−6,0) mF_1 = (-6, 0) \text{ m} al punto P3=(0,8) mP_3 = (0, 8) \text{ m} es:

r13=(0−(−6))2+(8−0)2=62+82=36+64=100=10 mr_{13} = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ m}

La intensidad de F1F_1 en P3P_3 es:

I1(P3)=P14πr132I_1(P_3) = \frac{P_1}{4\pi r_{13}^2}
I1(P3)=128π⋅10−4 W4π(10 m)2=128π⋅10−44π⋅100 W/m2I_1(P_3) = \frac{128\pi \cdot 10^{-4} \text{ W}}{4\pi (10 \text{ m})^2} = \frac{128\pi \cdot 10^{-4}}{4\pi \cdot 100} \text{ W/m}^2
I1(P3)=128⋅10−4400 W/m2=0.32⋅10−4 W/m2I_1(P_3) = \frac{128 \cdot 10^{-4}}{400} \text{ W/m}^2 = 0.32 \cdot 10^{-4} \text{ W/m}^2
I1(P3)=3.2⋅10−5 W/m2I_1(P_3) = 3.2 \cdot 10^{-5} \text{ W/m}^2