T3: Vibraciones y ondas

Ondas armónicas

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

Una onda armónica transversal se propaga en una cuerda tensa en el sentido positivo del eje $x$ , con una velocidad de $20 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ . Sabiendo que el punto situado en $x = 0,5 \text{ m}$ oscila siguiendo la ley $y(t) = 2,5 \cos(10\pi t) \text{ cm}$ , donde $t$ está en $s$ , determine:

a) La longitud de onda y el desfase inicial.b) La velocidad y aceleración máximas de oscilación de un punto cualquiera de la cuerda.

Ondas transversalesEcuación de onda

La ecuación general de una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje $x$ es:

y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)

Donde $A$ es la amplitud, $\omega$ la frecuencia angular, $k$ el número de onda y $\phi_0$ el desfase inicial.A partir de la ecuación dada para $x = 0,5 \text{ m}$ :

y(t) = 2,5 \cos(10\pi t) \text{ cm}

Podemos identificar la amplitud $A$ y la frecuencia angular $\omega$ .

A = 2,5 \text{ cm} = 0,025 \text{ m}

\omega = 10\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}

a) La longitud de onda y el desfase inicial.

La relación entre la velocidad de propagación $v$ , la longitud de onda $\lambda$ y la frecuencia angular $\omega$ es:

v = \lambda f = \lambda \frac{\omega}{2\pi}

Despejamos la longitud de onda $\lambda$ :

\lambda = \frac{2\pi v}{\omega}

Sustituimos los valores conocidos ( $v = 20 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ y $\omega = 10\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}$ ):

\lambda = \frac{2\pi (20 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})}{10\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}} = \frac{40\pi}{10\pi} \text{ m} = 4 \text{ m}

Para determinar el desfase inicial $\phi_0$ , comparamos la ecuación general de la onda en $x = 0,5 \text{ m}$ con la ecuación dada. Primero, calculamos el número de onda $k$ :

k = \frac{\omega}{v}

Sustituimos los valores:

k = \frac{10\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}}{20 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}} = \frac{\pi}{2} \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}

La ecuación general de la onda en $x = 0,5 \text{ m}$ es:

y(0,5, t) = A \cos(\omega t - k(0,5) + \phi_0)

Comparando con la ecuación dada $y(t) = A \cos(\omega t)$ , debemos tener que el término de fase $-k(0,5) + \phi_0$ sea nulo para que coincidan los argumentos del coseno:

-k(0,5) + \phi_0 = 0

Despejamos $\phi_0$ :

\phi_0 = k(0,5)

Sustituimos el valor de $k$ :

\phi_0 = \left(\frac{\pi}{2} \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}\right) (0,5 \text{ m}) = \frac{\pi}{4} \text{ rad}

b) La velocidad y aceleración máximas de oscilación de un punto cualquiera de la cuerda.

La velocidad de oscilación de un punto de la cuerda se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo:

v_y(x, t) = \frac{\partial y(x, t)}{\partial t} = -A\omega \sin(\omega t - kx + \phi_0)

La velocidad máxima de oscilación ( $v_{y, \text{max}}$ ) ocurre cuando el término $\sin(\omega t - kx + \phi_0)$ es $\pm 1$ . Por lo tanto:

v_{y, \text{max}} = A\omega

Sustituimos los valores de $A$ y $\omega$ :

v_{y, \text{max}} = (0,025 \text{ m}) (10\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}) = 0,25\pi \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

v_{y, \text{max}} \approx 0,785 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

La aceleración de oscilación de un punto de la cuerda se obtiene derivando la velocidad de oscilación respecto al tiempo:

a_y(x, t) = \frac{\partial v_y(x, t)}{\partial t} = -A\omega^2 \cos(\omega t - kx + \phi_0)

La aceleración máxima de oscilación ( $a_{y, \text{max}}$ ) ocurre cuando el término $\cos(\omega t - kx + \phi_0)$ es $\pm 1$ . Por lo tanto:

a_{y, \text{max}} = A\omega^2

Sustituimos los valores de $A$ y $\omega$ :

a_{y, \text{max}} = (0,025 \text{ m}) (10\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1})^2

a_{y, \text{max}} = (0,025 \text{ m}) (100\pi^2 \text{ rad}^2 \cdot \text{s}^{-2})

a_{y, \text{max}} = 2,5\pi^2 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

a_{y, \text{max}} \approx 2,5 (9,8696) \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \approx 24,674 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}