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T3: Vibraciones y ondas
Sonido
Problema
2022 · Extraordinaria · Titular
B2
Examen

En el centro de una pista de baile circular de una discoteca el nivel de intensidad sonora es de 100 dB100 \text{ dB}. La discoteca dispone de cuatro altavoces idénticos dispuestos alrededor de la pista de baile, todos ellos a la misma distancia del centro de la pista, d=10 md = 10 \text{ m}.

a) Determine la potencia de cada uno de los altavoces de la discoteca.b) Si el oído humano tiene una superficie de 2⋅10−4 m22 \cdot 10^{-4} \text{ m}^2, y una persona permanece 55 horas bailando en el centro de la pista, ¿cuál es la energía sonora total que le llega al oído?

Dato: Intensidad umbral de audición, I0=10−12 W⋅m−2I_0 = 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}.

Intensidad sonoraNivel de intensidad sonoraPotencia acústica+1
a) Determine la potencia de cada uno de los altavoces de la discoteca.

Primero, calculamos la intensidad sonora total (ItotalI_{total}) en el centro de la pista a partir del nivel de intensidad sonora (etaeta).

β=10⋅log⁡10(ItotalI0)\beta = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I_{total}}{I_0} \right)
100 dB=10⋅log⁡10(Itotal10−12 W⋅m−2)100 \text{ dB} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I_{total}}{10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}} \right)
10=log⁡10(Itotal10−12 W⋅m−2)10 = \log_{10} \left( \frac{I_{total}}{10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}} \right)
Itotal=1010⋅10−12 W⋅m−2I_{total} = 10^{10} \cdot 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}
Itotal=10−2 W⋅m−2I_{total} = 10^{-2} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

Dado que hay cuatro altavoces idénticos y todos están a la misma distancia dd del centro, la intensidad total en el centro es la suma de las intensidades de cada altavoz. Si I1I_1 es la intensidad de un solo altavoz, entonces Itotal=4⋅I1I_{total} = 4 \cdot I_1. La intensidad de un altavoz se calcula como I1=P14πd2I_1 = \frac{P_1}{4\pi d^2}.

I1=Itotal4=10−2 W⋅m−24=2.5⋅10−3 W⋅m−2I_1 = \frac{I_{total}}{4} = \frac{10^{-2} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}}{4} = 2.5 \cdot 10^{-3} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

Ahora, determinamos la potencia de un altavoz (P1P_1):

P1=I1⋅4πd2P_1 = I_1 \cdot 4\pi d^2
P1=(2.5⋅10−3 W⋅m−2)⋅4π(10 m)2P_1 = (2.5 \cdot 10^{-3} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}) \cdot 4\pi (10 \text{ m})^2
P1=(2.5⋅10−3 W⋅m−2)⋅4π(100 m2)P_1 = (2.5 \cdot 10^{-3} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}) \cdot 4\pi (100 \text{ m}^2)
P1=1π W=3.14 WP_1 = 1 \pi \text{ W} = 3.14 \text{ W}
b) Si el oído humano tiene una superficie de 2⋅10−4 m22 \cdot 10^{-4} \text{ m}^2, y una persona permanece 55 horas bailando en el centro de la pista, ¿cuál es la energía sonora total que le llega al oído?

La energía sonora (EE) que llega al oído se calcula a partir de la intensidad sonora total (ItotalI_{total}), la superficie del oído (AA) y el tiempo (tt) que la persona permanece en la pista. La intensidad se define como energía por unidad de tiempo y área (I=EA⋅tI = \frac{E}{A \cdot t}).Primero, convertimos el tiempo a segundos:

t=5 h⋅3600 s1 h=18000 st = 5 \text{ h} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 18000 \text{ s}

Ahora, calculamos la energía total que llega al oído:

E=Itotal⋅A⋅tE = I_{total} \cdot A \cdot t
E=(10−2 W⋅m−2)⋅(2⋅10−4 m2)⋅(18000 s)E = (10^{-2} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}) \cdot (2 \cdot 10^{-4} \text{ m}^2) \cdot (18000 \text{ s})
E=3.6⋅10−2 JE = 3.6 \cdot 10^{-2} \text{ J}