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T3: Vibraciones y ondas
Ondas sonoras
Problema
2025 · Ordinaria · Titular
B2
Examen

El campanario de una iglesia medieval, situado a 35 m35 \text{ m} de altura, consta de 44 campanas. Cada una de ellas emite 10 mW10 \text{ mW} de potencia sonora tras ser golpeada. Por otro lado, el límite de contaminación acústica en ese municipio está establecido en 55 dB55 \text{ dB}.

a) Determine el nivel de intensidad sonora que percibe una persona parada al pie de la torre del campanario cuando se toca una sola campana.b) ¿Podrán tocar las cuatro campanas a la vez si no se quiere sobrepasar el límite de contaminación acústica y la población está situada a más de 100100 metros de la iglesia?

Dato: Intensidad umbral, I0=1⋅10−12 W⋅m−2I_0 = 1 \cdot 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}.

intensidad sonoranivel de intensidadpotencia sonora+1
a) Determine el nivel de intensidad sonora que percibe una persona parada al pie de la torre del campanario cuando se toca una sola campana.

La potencia sonora emitida por una campana es P=10 mW=10×10−3 WP = 10 \text{ mW} = 10 \times 10^{-3} \text{ W}. La distancia de la campana a la persona es r=35 mr = 35 \text{ m}. Suponiendo que el sonido se propaga uniformemente en todas direcciones, la intensidad sonora II a una distancia rr de una fuente puntual se calcula como:

I=P4πr2I = \frac{P}{4\pi r^2}

Sustituyendo los valores:

I=10×10−3 W4π(35 m)2=10×10−34π×1225 W⋅m−2≈10×10−315393.8 W⋅m−2≈6.496×10−7 W⋅m−2I = \frac{10 \times 10^{-3} \text{ W}}{4\pi (35 \text{ m})^2} = \frac{10 \times 10^{-3}}{4\pi \times 1225} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} \approx \frac{10 \times 10^{-3}}{15393.8} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} \approx 6.496 \times 10^{-7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

El nivel de intensidad sonora β\beta se calcula mediante la fórmula:

β=10log⁡10(II0)\beta = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)

Donde I0=1×10−12 W⋅m−2I_0 = 1 \times 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} es la intensidad umbral.

β=10log⁡10(6.496×10−7 W⋅m−21×10−12 W⋅m−2)=10log⁡10(6.496×105) dB\beta = 10 \log_{10}\left(\frac{6.496 \times 10^{-7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}}{1 \times 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}}\right) = 10 \log_{10}(6.496 \times 10^5) \text{ dB}
β≈10×5.8126 dB≈58.13 dB\beta \approx 10 \times 5.8126 \text{ dB} \approx 58.13 \text{ dB}

El nivel de intensidad sonora percibido es de aproximadamente 58.13 dB58.13 \text{ dB}.

b) ¿Podrán tocar las cuatro campanas a la vez si no se quiere sobrepasar el límite de contaminación acústica y la población está situada a más de 100100 metros de la iglesia?

Si tocan las cuatro campanas a la vez, la potencia sonora total emitida será la suma de las potencias de cada campana:

Ptotal=4×10 mW=40 mW=40×10−3 WP_{total} = 4 \times 10 \text{ mW} = 40 \text{ mW} = 40 \times 10^{-3} \text{ W}

La distancia a la población es r′=100 mr' = 100 \text{ m}. Calculamos la intensidad sonora I′I' a esta distancia:

I′=Ptotal4π(r′)2=40×10−3 W4π(100 m)2=40×10−34π×10000 W⋅m−2I' = \frac{P_{total}}{4\pi (r')^2} = \frac{40 \times 10^{-3} \text{ W}}{4\pi (100 \text{ m})^2} = \frac{40 \times 10^{-3}}{4\pi \times 10000} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}
I′≈40×10−3125663.7 W⋅m−2≈3.183×10−7 W⋅m−2I' \approx \frac{40 \times 10^{-3}}{125663.7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} \approx 3.183 \times 10^{-7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

Ahora calculamos el nivel de intensidad sonora β′\beta' a 100 m100 \text{ m}:

β′=10log⁡10(I′I0)=10log⁡10(3.183×10−7 W⋅m−21×10−12 W⋅m−2)\beta' = 10 \log_{10}\left(\frac{I'}{I_0}\right) = 10 \log_{10}\left(\frac{3.183 \times 10^{-7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}}{1 \times 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}}\right)
β′=10log⁡10(3.183×105) dB≈10×5.5028 dB≈55.03 dB\beta' = 10 \log_{10}(3.183 \times 10^5) \text{ dB} \approx 10 \times 5.5028 \text{ dB} \approx 55.03 \text{ dB}

El límite de contaminación acústica en el municipio es de 55 dB55 \text{ dB}. El nivel de intensidad sonora percibido a 100 m100 \text{ m} con las cuatro campanas es de aproximadamente 55.03 dB55.03 \text{ dB}. Este valor es ligeramente superior al límite establecido.Por lo tanto, no podrán tocar las cuatro campanas a la vez sin sobrepasar el límite de contaminación acústica establecido en el municipio.