Óptica

Dados los valores de la altura del objeto ($h$), la distancia del objeto ($s$), y la altura de la imagen ($h'$), podemos calcular la magnificación lateral ($M$). La distancia del objeto es negativa porque está a la izquierda de la lente.

La magnificación lateral se define como:

Sustituyendo los valores conocidos:

Ahora, usamos la magnificación para encontrar la distancia de la imagen ($s'$):

La distancia de la imagen es negativa, lo que indica que la imagen es virtual y se forma en el mismo lado que el objeto (a la izquierda de la lente).Para calcular la distancia focal ($f$) de la lente, utilizamos la ecuación de la lente delgada:

Sustituyendo los valores de $s'$ y $s$:

Como la distancia focal ($f$) es negativa, la lente es divergente. Finalmente, la potencia de la lente ($P$) se calcula como el inverso de la distancia focal en metros:

La potencia de la lente es $-5 \text{ D}$ y es una lente divergente.

Para elaborar el trazado de rayos, consideramos una lente divergente. El objeto está situado a $20 \text{ cm}$ a la izquierda de la lente ($s = -0.20 \text{ m}$), y el foco principal de la lente divergente también está a $20 \text{ cm}$ a la izquierda ($f = -0.20 \text{ m}$). La imagen virtual se forma a $10 \text{ cm}$ a la izquierda de la lente ($s' = -0.10 \text{ m}$), es derecha y de menor tamaño.

Para la reflexión total interna, el ángulo límite $\theta_L$ ocurre cuando el ángulo de refracción en el medio menos denso es $90^\circ$. Aplicamos la Ley de Snell en la interfaz prisma-aire:

Dado que $n_{aire} = 1$ y $\sin(90^\circ) = 1$, la ecuación se simplifica a:

Sustituyendo el valor del ángulo límite $\theta_L = 45,58^\circ$:

El prisma tiene ángulos internos de $30^\circ$, $90^\circ$ y $60^\circ$ (el ángulo en el vértice superior es $30^\circ$, el inferior derecho es $90^\circ$ y el inferior izquierdo es $60^\circ$). El rayo de luz incide perpendicularmente sobre la superficie vertical derecha (donde está el punto P). Esto significa que el ángulo de incidencia es $0^\circ$, por lo que el rayo no se desvía y entra al prisma viajando horizontalmente hacia la izquierda.El rayo horizontal incide sobre la hipotenusa del prisma. Para determinar el ángulo de incidencia ($\theta_{i2}$) en esta superficie, consideramos la geometría del prisma. La hipotenusa forma un ángulo de $60^\circ$ con la base horizontal del prisma (el ángulo inferior izquierdo es de $60^\circ$). El rayo incide horizontalmente (paralelo a la base). El ángulo de incidencia es el ángulo entre el rayo incidente y la normal a la superficie. Si la hipotenusa forma $60^\circ$ con la horizontal, su normal formará $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ con la horizontal.

Comparamos este ángulo de incidencia con el ángulo límite calculado en el apartado a) ($\theta_L = 45,58^\circ$). Como $\theta_{i2} = 30^\circ < \theta_L = 45,58^\circ$, el rayo se refractará al aire, no se producirá reflexión total interna.Aplicamos la Ley de Snell en la interfaz prisma-aire en la hipotenusa para calcular el ángulo de refracción a la salida ($\theta_{r2}$):

Sustituyendo los valores: $n_p \approx 1,40$, $\theta_{i2} = 30^\circ$ y $n_{aire} = 1$.

El ángulo de refracción a la salida es aproximadamente $44,42^\circ$.

Aplicamos la Ley de Snell en la primera interfase (Cristal 1 - Aire) para encontrar el ángulo de refracción en el aire, $r_1$.

Ahora, aplicamos la Ley de Snell en la segunda interfase (Aire - Cristal 2) para encontrar el ángulo de refracción en el cristal 2, $r_2$. El ángulo de incidencia en esta interfase es $r_1$.

La distancia horizontal total $d$ es la suma de los desplazamientos horizontales en la capa de aire ($x_{aire}$) y en el cristal 2 ($x_2$). La altura del cristal 2 es $h_2 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.

Calculamos los valores de las tangentes:

Sustituimos los valores conocidos en la ecuación de la distancia horizontal. $d = 9.2 \text{ cm} = 0.092 \text{ m}$.

El espesor de la capa de aire es $e = 4.00 \text{ cm}$.

El tiempo total es la suma del tiempo que el rayo de luz pasa en el aire ($t_{aire}$) y en el cristal 2 ($t_2$). La velocidad de la luz en un medio con índice de refracción $n$ es $v = c/n$. La longitud del camino recorrido en cada medio es $L = \text{espesor} / \cos(\theta_{\text{refracción}})$. Por lo tanto, el tiempo en cada medio es $t = \frac{\text{espesor} \cdot n}{c \cdot \cos(\theta_{\text{refracción}})}$.

El tiempo total desde A hasta B es:

El tiempo que tarda el rayo de luz en llegar desde el punto A hasta el punto B es $7.52 \cdot 10^{-10} \text{ s}$.

Datos conocidos:

El aumento es negativo porque la imagen formada en una pantalla (imagen real) siempre está invertida.Relacionamos el aumento lateral con las distancias del objeto ($s$) y la imagen ($s'$):

La distancia total entre el objeto y la pantalla es la suma de las distancias absolutas del objeto y la imagen a la lente:

Según el convenio de signos para lentes delgadas, para un objeto real $s$ es negativo y para una imagen real $s'$ es positivo. Por tanto, $|s| = -s$ y $|s'| = s'$.

Sustituimos $s' = -3s$ en la ecuación anterior:

La distancia entre el objeto y la lente es el valor absoluto de $s$:

Ahora calculamos la posición de la imagen $s'$:

Para calcular la distancia focal ($f$), utilizamos la ecuación de la lente delgada:

Sustituimos los valores de $s$ y $s'$:

La distancia focal es positiva, lo que indica que se trata de una lente convergente, coherente con la formación de una imagen real y aumentada.

Para el diagrama de rayos, tenemos que el objeto se encuentra a una distancia de $1 \text{ m}$ de la lente y la distancia focal es $0.75 \text{ m}$. Esto significa que el objeto está entre $f$ y $2f$ ($0.75 \text{ m} < 1 \text{ m} < 1.5 \text{ m}$), lo que produce una imagen real, invertida y aumentada, como se ha calculado.

Datos:

La relación entre la altura de la imagen ($h_i$), la altura del objeto ($h_o$), la distancia de la imagen ($s'$) y la distancia del objeto ($s$) viene dada por la fórmula del aumento lateral ($M$):

Calculamos el aumento lateral:

Ahora usamos la fórmula del aumento para encontrar la posición de la imagen ($s'$):

El valor negativo de $s'$ indica que la imagen es virtual y se forma en el mismo lado que el objeto (a la izquierda de la lente). Esto es consistente con una imagen derecha.Para calcular la distancia focal ($f$) de la lente, utilizamos la ecuación de las lentes delgadas:

Sustituimos los valores de $s'$ y $s$:

La distancia focal es $f = -20 \text{ cm} = -0.20 \text{ m}$. Dado que la distancia focal es negativa, la lente es divergente.Finalmente, calculamos la potencia de la lente ($P$):

La potencia de la lente es $-5 \text{ dioptrías}$ y es una lente divergente.

Para una lente divergente, con un objeto situado a la izquierda, la imagen siempre es virtual, derecha y de menor tamaño. La imagen se forma entre el objeto y la lente, y entre el foco principal y la lente.

El trazado de rayos para una lente divergente con el objeto a $20 \text{ cm}$ ($s = -20 \text{ cm}$) y distancia focal $f = -20 \text{ cm}$ muestra una imagen virtual a $10 \text{ cm}$ de la lente ($s' = -10 \text{ cm}$), derecha y de menor tamaño. Los rayos trazados son:1. Un rayo que viaja paralelo al eje óptico antes de incidir en la lente, se refracta de manera que su prolongación pasa por el foco F' (foco imagen) de la lente.2. Un rayo que se dirige hacia el foco F (foco objeto) de la lente, se refracta y emerge paralelo al eje óptico.3. Un rayo que pasa por el centro óptico de la lente no se desvía.La intersección de las prolongaciones de los rayos refractados (o de los rayos refractados y prolongaciones) forma la imagen virtual, que se representa con una línea discontinua.

Para la reflexión total interna, el rayo de luz pasa de un medio con mayor índice de refracción ($n_p$) a uno con menor índice de refracción (aire, $n_{aire}=1$). El ángulo límite ($\theta_L$) se define como el ángulo de incidencia para el cual el ángulo de refracción es $90^\circ$. Aplicando la Ley de Snell:

Sustituyendo los valores conocidos:

Por lo tanto, el índice de refracción del prisma es $n_p = 1.400$.

Primero, describimos el recorrido del rayo y los ángulos de incidencia en cada superficie. El prisma es un triángulo rectángulo con ángulos de $30^\circ$, $90^\circ$ y $60^\circ$. Asumimos que el ángulo superior es de $30^\circ$, el izquierdo es de $90^\circ$ y el inferior derecho es de $60^\circ$.1. Incidencia en el punto P (hipotenusa): El rayo incide perpendicularmente sobre la superficie del prisma en el punto P. Esto significa que el ángulo de incidencia es $\theta_{i1} = 0^\circ$. Por la Ley de Snell, el ángulo de refracción también es $\theta_{r1} = 0^\circ$. El rayo entra en el prisma sin desviarse, siguiendo la normal a la hipotenusa.2. Primera reflexión interna (cara vertical): El rayo dentro del prisma es perpendicular a la hipotenusa. La hipotenusa forma un ángulo de $30^\circ$ con la cara vertical (izquierda) del prisma y $60^\circ$ con la cara horizontal (inferior). Por lo tanto, el rayo incidente en la cara vertical (izquierda) forma un ángulo de $30^\circ$ con dicha cara. El ángulo de incidencia respecto a la normal (que es horizontal) será $\theta_{i2} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.Como el ángulo de incidencia $\theta_{i2} = 60^\circ$ es mayor que el ángulo límite $\theta_L = 45.58^\circ$, se produce una reflexión total interna. El ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia, por lo que el rayo se refleja con un ángulo de $60^\circ$ respecto a la normal.3. Segunda reflexión/refracción (cara horizontal): El rayo reflejado de la cara vertical viaja hacia la cara horizontal (inferior) del prisma. El rayo reflejado forma un ángulo de $60^\circ$ con la normal a la cara vertical (horizontal) y, por lo tanto, forma un ángulo de $30^\circ$ con la cara vertical. Esto implica que el rayo forma un ángulo de $60^\circ$ con la cara horizontal. El ángulo de incidencia respecto a la normal a la cara horizontal (que es vertical) será $\theta_{i3} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.Como el ángulo de incidencia $\theta_{i3} = 30^\circ$ es menor que el ángulo límite $\theta_L = 45.58^\circ$, el rayo se refractará y emergerá al aire.Para calcular el ángulo de refracción a la salida, aplicamos la Ley de Snell en esta tercera superficie:

Sustituyendo los valores:

El ángulo de refracción a la salida es de $44.43^\circ$.

Datos:

Aplicamos la ley de Snell en la interfaz cristal 1 - aire para encontrar el ángulo de refracción en el aire, $\theta_a$:

Ahora, utilizamos la relación geométrica entre el espesor del aire ($e$), el ángulo de refracción en el aire ($\theta_a$) y el desplazamiento horizontal ($d$). La distancia horizontal $d$ se produce en el trayecto a través de la capa de aire, tal y como indica el problema.

Para calcular $\tan(\theta_a)$ a partir de $\sin(\theta_a)$:

Despejamos $e$:

La longitud del camino $L_a$ en el aire se relaciona con el espesor $e$ y el ángulo $\theta_a$:

La velocidad de la luz en el aire, $v_a$, se calcula usando el índice de refracción del aire, $n_a$, y la velocidad de la luz en el vacío, $c$:

Finalmente, el tiempo $t$ es la longitud del camino dividida por la velocidad:

Denotemos la distancia del objeto a la lente como $s$ y la distancia de la imagen a la lente como $s'$. La distancia total entre el objeto y la pantalla (donde se forma la imagen) es $D = 4 \text{ m}$. Dado que la imagen se forma en una pantalla, es una imagen real. Para una lente delgada, las imágenes reales son siempre invertidas. El aumento lateral $M$ se define como $M = h'/h = -s'/s$. Como la imagen es 3 veces mayor y real e invertida, el aumento es $M = -3$.

La distancia total entre el objeto y la pantalla es la suma de las distancias del objeto y la imagen a la lente (considerando la convención de signos para imágenes reales).

Resolviendo para $s$:

Ahora, calculamos $s'$:

La distancia focal $f$ de la lente se calcula utilizando la ecuación de las lentes delgadas:

Sustituyendo los valores de $s$ y $s'$:

Por lo tanto, la distancia focal es:

La distancia entre el objeto y la lente es de $1 \text{ m}$ y la distancia focal de la lente es de $0.75 \text{ m}$. Como la distancia focal es positiva, la lente es convergente.

Para el diagrama de rayos, se considera una lente convergente (ya que $f > 0$) con un objeto colocado a una distancia $s = 1 \text{ m}$ y una distancia focal $f = 0.75 \text{ m}$. Esto significa que el objeto está entre $f$ y $2f$ ($2f = 1.5 \text{ m}$). En este caso, la imagen formada es real, invertida y mayor que el objeto, localizada más allá de $2f$ ($s' = 3 \text{ m}$). Los tres rayos principales utilizados para la construcción de la imagen son:1. Un rayo paralelo al eje óptico se refracta pasando por el foco principal (F').2. Un rayo que pasa por el centro óptico de la lente no se desvía.3. Un rayo que pasa por el foco principal (F) se refracta paralelamente al eje óptico.

Para la situación A, se tienen los siguientes datos (utilizando el convenio de signos para lentes delgadas):

Se calcula el aumento lateral ($M$):

También se sabe que el aumento lateral está relacionado con las distancias objeto-lente e imagen-lente mediante $M = -\frac{s'}{s}$. Usando esta relación, se puede encontrar la posición de la imagen ($s'_1$):

El signo negativo de $s'_1$ confirma que la imagen es virtual y se encuentra a la izquierda de la lente (al mismo lado que el objeto), lo cual es consistente con el enunciado.Ahora se utiliza la ecuación de la lente delgada para calcular la distancia focal ($f$):

La distancia focal de la lente es $9 \text{ cm}$. El signo positivo indica que se trata de una lente convergente. Para una lente convergente, cuando el objeto se coloca entre el foco ($F$) y la lente, la imagen es virtual, derecha y magnificada, lo cual concuerda con los datos de la situación A.Esquema de rayos para la situación A:

Para la situación B, la distancia focal es la misma ($f = +9 \text{ cm}$), y el objeto se sitúa a $18 \text{ cm}$ a la izquierda de la lente.

Se utiliza la ecuación de la lente delgada para encontrar la posición de la imagen ($s'_2$):

El signo positivo de $s'_2$ indica que la imagen es real y se forma a la derecha de la lente (lado opuesto al objeto).Ahora se calcula el aumento lateral ($M_2$) para la situación B:

El aumento lateral es $-1$. El signo negativo indica que la imagen es invertida, lo cual es consistente con lo establecido en el problema. El valor absoluto de 1 indica que la altura de la imagen es igual a la altura del objeto.Esquema de rayos para la situación B:

El rayo de luz incide horizontalmente sobre la cara inclinada del prisma (la hipotenusa). El ángulo que forma esta cara con la horizontal es de $60^\circ$. Por lo tanto, la normal a esta superficie formará un ángulo de $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ con la horizontal. Dado que el rayo incidente es horizontal, el ángulo de incidencia ($i_1$) es el ángulo entre el rayo horizontal y la normal, es decir, $i_1 = 30^\circ$.Aplicamos la Ley de Snell para la refracción del aire al vidrio:

Sustituimos los valores conocidos:

Para determinar el ángulo de incidencia ($i_2$) en la segunda cara (la cara vertical del prisma), utilizamos la geometría del prisma. El ángulo del prisma entre las dos caras por las que pasa la luz (la hipotenusa y la cara vertical) es el ángulo superior, que es $30^\circ$. En un prisma, se cumple la relación:

Donde $A$ es el ángulo del prisma (en este caso, $30^\circ$), $r_1$ es el ángulo de refracción en la primera superficie, e $i_2$ es el ángulo de incidencia en la segunda superficie. Despejamos $i_2$:

Ahora aplicamos la Ley de Snell para la refracción del vidrio al aire en la segunda cara:

Sustituimos los valores:

Adoptamos la convención de signos usual para lentes delgadas, donde las distancias de objeto reales ($s$) son positivas (a la izquierda de la lente), las distancias de imagen reales ($s'$) son positivas (a la derecha de la lente) y la distancia focal ($f$) es positiva para lentes convergentes. La ecuación de la lente delgada es:

El objeto tiene una altura $h = 2 \text{ cm}$. Se sitúa a $14,2 \text{ cm}$ a la izquierda de la lente, por lo que su distancia al objeto es $s_1 = +14,2 \text{ cm}$. La pantalla está a $18 \text{ cm}$ del objeto. Como la lente está a $14,2 \text{ cm}$ del objeto, la distancia de la lente a la pantalla es $18 \text{ cm} - 14,2 \text{ cm} = 3,8 \text{ cm}$. Para que la imagen se enfoque en la pantalla, la distancia de la imagen debe ser $s'_1 = +3,8 \text{ cm}$.Cálculo de la distancia focal $f_1$:

Cálculo del tamaño de la imagen $h'_1$: La fórmula del aumento lateral es $M = \frac{h'}{h} = -\frac{s'}{s}$.

El signo negativo indica que la imagen es invertida. El tamaño de la imagen es $0,535 \text{ cm}$.

La imagen formada por la primera lente ($I_1$) se encuentra a $s'_1 = +3,8 \text{ cm}$ de la primera lente (es decir, $3,8 \text{ cm}$ a su derecha). La segunda lente ($L_2$) se coloca a $5 \text{ cm}$ a la derecha de la primera lente ($L_1$). Por lo tanto, la distancia de $I_1$ a $L_2$ es la diferencia entre la posición de $L_2$ y la posición de $I_1$: $5 \text{ cm} - 3,8 \text{ cm} = 1,2 \text{ cm}$. Como $I_1$ se encuentra a la izquierda de $L_2$, actúa como un objeto real para la segunda lente. Así, la distancia del objeto para la segunda lente es $s_2 = +1,2 \text{ cm}$.La distancia focal de la segunda lente es $f_2 = 1,2 \text{ cm}$. Observamos que el objeto para la segunda lente se sitúa exactamente en su punto focal (real).Aplicamos la ecuación de la lente delgada para la segunda lente:

La nueva imagen se formará en el infinito. Esto es consistente con las propiedades de una lente convergente cuando el objeto real se sitúa en su punto focal.Trazado de rayos para la segunda lente (L2), con el objeto (imagen I1) situado en su foco:

Aplicamos la Ley de Snell para la primera refracción, desde el aire al prisma. El ángulo de incidencia es $i_1 = 50^\circ$, el índice de refracción del aire es $n_a = 1$ y el del prisma es $n_p = 1,66$. El ángulo de refracción dentro del prisma es $\alpha$.

Para la segunda refracción, el rayo de luz incide en la cara opuesta del prisma. Como es un prisma equilátero, el ángulo del prisma es $A = 60^\circ$. La relación entre los ángulos en el interior del prisma es $A = \alpha + i_2$, donde $i_2$ es el ángulo de incidencia en la segunda cara.

Ahora aplicamos de nuevo la Ley de Snell para la segunda refracción, desde el prisma al aire. El ángulo de incidencia es $i_2$, y el ángulo de refracción al salir al aire es $\beta$.

Para que el rayo de luz no emerja del prisma, debe producirse una reflexión total interna en la segunda cara (interfaz prisma-aire). Esto ocurre cuando el ángulo de incidencia en la segunda cara ($i_2$) es mayor o igual que el ángulo límite ($L$). El ángulo límite se calcula con la Ley de Snell para reflexión total interna.

Para que el rayo no emerja, el ángulo de incidencia en la segunda cara, $i_2$, debe ser al menos $L$. Consideramos el caso límite $i_2 = L = 37,04^\circ$. A partir de la relación angular en el prisma $A = \alpha' + i_2$ (donde $\alpha'$ es el ángulo de refracción en la primera cara para este nuevo ángulo de incidencia), calculamos $\alpha'$.

Ahora, aplicamos la Ley de Snell en la primera cara (aire a prisma) para encontrar el ángulo de incidencia $i_1'$ en el aire que produce este $\alpha'$.