T4: Óptica — FISICA PEvAU Madrid 2023

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

Un objeto de $2 \text{ cm}$ de altura se sitúa a $18 \text{ cm}$ a la izquierda de una pantalla. Entre la pantalla y el objeto, a $14,2 \text{ cm}$ de este, se sitúa una lente convergente.

a) Determine la distancia focal que debe tener la lente para que se enfoque la imagen del objeto sobre la pantalla y el tamaño de la imagen.b) A continuación, se retira la pantalla y se sitúa a

5 \text{ cm}

a la derecha de la primera lente otra lente convergente de distancia focal

1,2 \text{ cm}

. ¿Dónde se formará la nueva imagen? Realice el correspondiente trazado de rayos.

Lentes convergentesDistancia focalTamaño de la imagen+2

a) Determine la distancia focal que debe tener la lente para que se enfoque la imagen del objeto sobre la pantalla y el tamaño de la imagen.

Adoptamos la convención de signos usual para lentes delgadas, donde las distancias de objeto reales ( $s$ ) son positivas (a la izquierda de la lente), las distancias de imagen reales ( $s'$ ) son positivas (a la derecha de la lente) y la distancia focal ( $f$ ) es positiva para lentes convergentes. La ecuación de la lente delgada es:

\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

El objeto tiene una altura $h = 2 \text{ cm}$ . Se sitúa a $14,2 \text{ cm}$ a la izquierda de la lente, por lo que su distancia al objeto es $s_1 = +14,2 \text{ cm}$ . La pantalla está a $18 \text{ cm}$ del objeto. Como la lente está a $14,2 \text{ cm}$ del objeto, la distancia de la lente a la pantalla es $18 \text{ cm} - 14,2 \text{ cm} = 3,8 \text{ cm}$ . Para que la imagen se enfoque en la pantalla, la distancia de la imagen debe ser $s'_1 = +3,8 \text{ cm}$ .Cálculo de la distancia focal $f_1$ :

\frac{1}{f_1} = \frac{1}{s_1} + \frac{1}{s'_1}

\frac{1}{f_1} = \frac{1}{14,2 \text{ cm}} + \frac{1}{3,8 \text{ cm}}

\frac{1}{f_1} = 0,07042 \text{ cm}^{-1} + 0,26316 \text{ cm}^{-1}

\frac{1}{f_1} = 0,33358 \text{ cm}^{-1}

f_1 = \frac{1}{0,33358} \text{ cm} \approx 3,00 \text{ cm}

Cálculo del tamaño de la imagen $h'_1$ : La fórmula del aumento lateral es $M = \frac{h'}{h} = -\frac{s'}{s}$ .

h'_1 = h \left( -\frac{s'_1}{s_1} \right)

h'_1 = (2 \text{ cm}) \left( -\frac{3,8 \text{ cm}}{14,2 \text{ cm}} \right)

h'_1 = (2 \text{ cm}) (-0,2676)

h'_1 \approx -0,535 \text{ cm}

El signo negativo indica que la imagen es invertida. El tamaño de la imagen es $0,535 \text{ cm}$ .

b) A continuación, se retira la pantalla y se sitúa a

5 \text{ cm}

a la derecha de la primera lente otra lente convergente de distancia focal

1,2 \text{ cm}

. ¿Dónde se formará la nueva imagen? Realice el correspondiente trazado de rayos.

La imagen formada por la primera lente ( $I_1$ ) se encuentra a $s'_1 = +3,8 \text{ cm}$ de la primera lente (es decir, $3,8 \text{ cm}$ a su derecha). La segunda lente ( $L_2$ ) se coloca a $5 \text{ cm}$ a la derecha de la primera lente ( $L_1$ ). Por lo tanto, la distancia de $I_1$ a $L_2$ es la diferencia entre la posición de $L_2$ y la posición de $I_1$ : $5 \text{ cm} - 3,8 \text{ cm} = 1,2 \text{ cm}$ . Como $I_1$ se encuentra a la izquierda de $L_2$ , actúa como un objeto real para la segunda lente. Así, la distancia del objeto para la segunda lente es $s_2 = +1,2 \text{ cm}$ .La distancia focal de la segunda lente es $f_2 = 1,2 \text{ cm}$ . Observamos que el objeto para la segunda lente se sitúa exactamente en su punto focal (real).Aplicamos la ecuación de la lente delgada para la segunda lente:

\frac{1}{s_2} + \frac{1}{s'_2} = \frac{1}{f_2}

\frac{1}{1,2 \text{ cm}} + \frac{1}{s'_2} = \frac{1}{1,2 \text{ cm}}

\frac{1}{s'_2} = \frac{1}{1,2 \text{ cm}} - \frac{1}{1,2 \text{ cm}}

\frac{1}{s'_2} = 0

s'_2 = \infty

La nueva imagen se formará en el infinito. Esto es consistente con las propiedades de una lente convergente cuando el objeto real se sitúa en su punto focal.Trazado de rayos para la segunda lente (L2), con el objeto (imagen I1) situado en su foco: