T4: Óptica · Refracción y leyes de Snell

Refracción y leyes de Snell

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

Dos cristales de grosor $10 \text{ cm}$ e índices de refracción $n_1 = 1,40$ y $n_2 = 1,50$ , están separados por una capa de aire de espesor desconocido, $e$ . Un rayo de luz incide por el punto $A$ desde el cristal $1$ hacia el cristal $2$ atravesando la capa de aire que los separa con un ángulo de incidencia de $30^\circ$ y saliendo por el punto $B$ tal y como se indica en la figura. Si la distancia horizontal entre los puntos $A$ y $B$ es $d = 9,2 \text{ cm}$ , determine:

a) El espesor,

e

, de la capa de aire situada entre ambos cristales.b) El tiempo que tarda el rayo de luz en llegar desde el punto

A

hasta el punto

B

Datos: Velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$ ; Índice de refracción del aire, $n = 1$ .

Ley de SnellRefracciónLáminas de caras paralelas

a) Para determinar el espesor,

e

, de la capa de aire, utilizaremos la ley de Snell en la interfaz entre el cristal 1 y el aire, y la relación geométrica del desplazamiento horizontal.

Datos:

n_1 = 1,40 \quad (\text{cristal 1})

n_a = 1 \quad (\text{aire})

\theta_1 = 30^\circ \quad (\text{ángulo de incidencia en cristal 1})

d = 9,2 \text{ cm} = 0,092 \text{ m} \quad (\text{distancia horizontal en el aire})

Aplicamos la ley de Snell en la interfaz cristal 1 - aire para encontrar el ángulo de refracción en el aire, $\theta_a$ :

n_1 \sin(\theta_1) = n_a \sin(\theta_a)

1,40 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \sin(\theta_a)

1,40 \cdot 0,5 = \sin(\theta_a)

\sin(\theta_a) = 0,7

Ahora, utilizamos la relación geométrica entre el espesor del aire ( $e$ ), el ángulo de refracción en el aire ( $\theta_a$ ) y el desplazamiento horizontal ( $d$ ). La distancia horizontal $d$ se produce en el trayecto a través de la capa de aire, tal y como indica el problema.

d = e \tan(\theta_a)

Para calcular $\tan(\theta_a)$ a partir de $\sin(\theta_a)$ :

\cos(\theta_a) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta_a)} = \sqrt{1 - (0,7)^2} = \sqrt{1 - 0,49} = \sqrt{0,51}

\tan(\theta_a) = \frac{\sin(\theta_a)}{\cos(\theta_a)} = \frac{0,7}{\sqrt{0,51}}

Despejamos $e$ :

e = \frac{d}{\tan(\theta_a)} = \frac{d \cdot \cos(\theta_a)}{\sin(\theta_a)}

e = \frac{0,092 \text{ m} \cdot \sqrt{0,51}}{0,7} \approx \frac{0,092 \cdot 0,7141428}{0,7} \text{ m}

e \approx 0,09386 \text{ m} = 9,39 \text{ cm}

b) Para determinar el tiempo que tarda el rayo de luz en llegar desde el punto

A

hasta el punto

B

, necesitamos calcular la longitud del camino recorrido por el rayo en el aire (

L_a

) y la velocidad de la luz en el aire (

v_a

). El trayecto de A a B es exclusivamente a través de la capa de aire.

La longitud del camino $L_a$ en el aire se relaciona con el espesor $e$ y el ángulo $\theta_a$ :

L_a = \frac{e}{\cos(\theta_a)}

L_a = \frac{0,09386 \text{ m}}{\sqrt{0,51}} \approx \frac{0,09386 \text{ m}}{0,7141428}

L_a \approx 0,13143 \text{ m}

La velocidad de la luz en el aire, $v_a$ , se calcula usando el índice de refracción del aire, $n_a$ , y la velocidad de la luz en el vacío, $c$ :

v_a = \frac{c}{n_a}

v_a = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{1} = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}

Finalmente, el tiempo $t$ es la longitud del camino dividida por la velocidad:

t = \frac{L_a}{v_a}

t = \frac{0,13143 \text{ m}}{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}

t \approx 4,381 \cdot 10^{-10} \text{ s}