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T4: Óptica
Óptica geométrica
Problema
2023 · Extraordinaria · Titular
B4
Examen

Un objeto situado 30 cm30 \text{ cm} a la izquierda de una lente produce una imagen con un aumento lateral de −2-2.

a) Obtenga la potencia de la lente.b) ¿A qué distancia de la lente debe colocarse el objeto para que el aumento pase a ser +2+2? Efectúe el trazado de rayos correspondiente a esta nueva situación.
lentes convergentesaumento lateralpotencia de una lente+1
a) Obtención de la potencia de la lente.

Dado que el objeto está situado 30 cm30 \text{ cm} a la izquierda de la lente, su posición es s=−30 cms = -30 \text{ cm}. El aumento lateral es M=−2M = -2.La fórmula del aumento lateral es:

M=s′sM = \frac{s'}{s}

Sustituyendo los valores conocidos:

−2=s′−30 cm-2 = \frac{s'}{-30 \text{ cm}}

Despejamos la posición de la imagen s′s':

s′=(−2)⋅(−30 cm)=60 cms' = (-2) \cdot (-30 \text{ cm}) = 60 \text{ cm}

Ahora utilizamos la ecuación de las lentes delgadas para encontrar la distancia focal f′f':

1s′−1s=1f′\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}

Sustituyendo los valores de s′s' y ss:

160 cm−1−30 cm=1f′\frac{1}{60 \text{ cm}} - \frac{1}{-30 \text{ cm}} = \frac{1}{f'}
160 cm+130 cm=1f′\frac{1}{60 \text{ cm}} + \frac{1}{30 \text{ cm}} = \frac{1}{f'}
1+260 cm=360 cm=1f′\frac{1 + 2}{60 \text{ cm}} = \frac{3}{60 \text{ cm}} = \frac{1}{f'}

Por lo tanto, la distancia focal es:

f′=60 cm3=20 cmf' = \frac{60 \text{ cm}}{3} = 20 \text{ cm}

Para obtener la potencia de la lente, debemos expresar la distancia focal en metros:

f′=20 cm=0.20 mf' = 20 \text{ cm} = 0.20 \text{ m}

La potencia PP se calcula como el inverso de la distancia focal:

P=1f′P = \frac{1}{f'}
P=10.20 m=5 DP = \frac{1}{0.20 \text{ m}} = 5 \text{ D}
b) Distancia del objeto para un aumento de +2+2 y trazado de rayos.

Ahora queremos que el aumento lateral sea M′=+2M' = +2. Utilizamos la misma distancia focal f′=20 cmf' = 20 \text{ cm}. Sea sobjetos_{objeto} la nueva distancia del objeto y simagens_{imagen} la nueva distancia de la imagen.A partir de la fórmula del aumento lateral:

M′=simagensobjeto  ⟹  +2=simagensobjetoM' = \frac{s_{imagen}}{s_{objeto}} \implies +2 = \frac{s_{imagen}}{s_{objeto}}

Esto implica que simagen=2sobjetos_{imagen} = 2 s_{objeto}.Sustituimos esta relación en la ecuación de las lentes delgadas:

1simagen−1sobjeto=1f′\frac{1}{s_{imagen}} - \frac{1}{s_{objeto}} = \frac{1}{f'}
12sobjeto−1sobjeto=120 cm\frac{1}{2 s_{objeto}} - \frac{1}{s_{objeto}} = \frac{1}{20 \text{ cm}}

Resolvemos para sobjetos_{objeto}:

1−22sobjeto=120 cm\frac{1 - 2}{2 s_{objeto}} = \frac{1}{20 \text{ cm}}
−12sobjeto=120 cm\frac{-1}{2 s_{objeto}} = \frac{1}{20 \text{ cm}}
2sobjeto=−20 cm2 s_{objeto} = -20 \text{ cm}
sobjeto=−10 cms_{objeto} = -10 \text{ cm}

El objeto debe colocarse 10 cm10 \text{ cm} a la izquierda de la lente.La posición de la imagen será:

simagen=2sobjeto=2⋅(−10 cm)=−20 cms_{imagen} = 2 s_{objeto} = 2 \cdot (-10 \text{ cm}) = -20 \text{ cm}

La imagen se forma 20 cm20 \text{ cm} a la izquierda de la lente. Dado que sobjeto=−10 cms_{objeto} = -10 \text{ cm} y f′=20 cmf' = 20 \text{ cm}, el objeto se encuentra entre el foco objeto (FF) y la lente. Esto resultará en una imagen virtual, derecha y de mayor tamaño.

FF'ObjetoImagenLente convergente