T4: Óptica · Refracción — FISICA PEvAU Madrid 2022

Refracción

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

Un estanque con agua está cubierto con una capa de aceite. Los índices de refracción del agua y del aceite son $n_{\text{agua}} = 1,33$ y $n_{\text{aceite}} = 1,44$ , respectivamente.

a) Si un rayo de luz monocromático incide desde el aire hacia el estanque con un ángulo de

40^{\circ}

con respecto a la normal, ¿cuál es el ángulo de refracción del haz en el agua del estanque?b) Si en el fondo del estanque hay un foco de luz, ¿por debajo de qué ángulo debe incidir el haz de luz del foco con respecto a la normal de la superficie del agua para que la luz salga fuera del estanque hacia el aire?

Dato: Índice de refracción del aire, $n_{\text{aire}} = 1$ .

Ley de SnellÁngulo límiteReflexión total

a) Para determinar el ángulo de refracción del haz en el agua, aplicamos la Ley de Snell. Un rayo de luz que atraviesa múltiples capas paralelas obedece la ley de Snell en cada interfaz. Si las interfaces son paralelas, el ángulo de refracción en el último medio se puede relacionar directamente con el ángulo de incidencia en el primer medio y los índices de refracción de ambos medios.

n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) = n_3 \sin(\theta_3)

En este caso, la luz viaja del aire ( $n_{\text{aire}}$ ) al agua ( $n_{\text{agua}}$ ) a través de una capa de aceite ( $n_{\text{aceite}}$ ). Podemos relacionar directamente el ángulo de incidencia en el aire con el ángulo de refracción en el agua:

n_{\text{aire}} \sin(\theta_{\text{aire}}) = n_{\text{agua}} \sin(\theta_{\text{agua}})

Sustituyendo los valores:

(1) \sin(40^\circ) = (1,33) \sin(\theta_{\text{agua}})

\sin(\theta_{\text{agua}}) = \frac{\sin(40^\circ)}{1,33} = \frac{0,6428}{1,33} = 0,4833

\theta_{\text{agua}} = \arcsin(0,4833) = 28,9^\circ

b) Para que la luz salga del estanque hacia el aire, debe incidir desde el agua hacia la superficie de aceite/agua. Para encontrar el ángulo máximo debajo del cual debe incidir el haz de luz del foco para que la luz salga hacia el aire, necesitamos calcular el ángulo crítico para la interfaz entre el agua y el aire, considerando la capa de aceite.

El ángulo crítico $\theta_c$ ocurre cuando el ángulo de refracción en el medio de menor índice (el aire) es $90^\circ$ . La ley de Snell se aplica entre el medio inicial (agua) y el medio final (aire):

n_{\text{agua}} \sin(\theta_{\text{crítico}}) = n_{\text{aire}} \sin(90^\circ)

Sustituyendo los valores conocidos:

(1,33) \sin(\theta_{\text{crítico}}) = (1) \cdot (1)

\sin(\theta_{\text{crítico}}) = \frac{1}{1,33} = 0,7519

\theta_{\text{crítico}} = \arcsin(0,7519) = 48,75^\circ

La luz debe incidir por debajo de $48,75^\circ$ con respecto a la normal en la superficie del agua para que pueda refractarse y salir hacia el aire. Si el ángulo de incidencia es mayor que este ángulo crítico, la luz sufrirá una reflexión interna total.