T4: Óptica · Óptica geométrica — FISICA PEvAU Madrid 2023

Óptica geométrica

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

Un observador está situado al borde de un estanque de profundidad $H = 2 \text{ m}$ . Su visual está a una altura $H' = 1,6 \text{ m}$ sobre la superficie del agua. En el fondo del estanque hay un foco puntual de luz. El observador lo ve cuando mira hacia el punto $A$ de la superficie a una distancia $d = 1,2 \text{ m}$ del borde (véase la figura). Calcule:

a) El índice de refracción del agua del estanque si la longitud de onda de la luz del foco vale

375 \text{ nm}

en ella y

500 \text{ nm}

en el aire.b) La distancia

D

del foco a la pared del estanque.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 10^{8} \text{ m/s}$ ; Índice de refracción del aire, $n = 1$ .

refracciónley de Snelllongitud de onda+1

a) El índice de refracción del agua del estanque si la longitud de onda de la luz del foco vale

375 \text{ nm}

en ella y

500 \text{ nm}

en el aire.

La relación entre el índice de refracción y la longitud de onda en diferentes medios, manteniendo la frecuencia constante, viene dada por:

n_a \lambda_a = n_w \lambda_w

Donde $n_a$ es el índice de refracción del aire, $\lambda_a$ es la longitud de onda en el aire, $n_w$ es el índice de refracción del agua y $\lambda_w$ es la longitud de onda en el agua.Despejamos el índice de refracción del agua $n_w$ y sustituimos los valores dados:

n_w = n_a \frac{\lambda_a}{\lambda_w}

n_w = 1 \cdot \frac{500 \text{ nm}}{375 \text{ nm}}

n_w = \frac{500}{375} = \frac{4}{3} \approx 1.33

b) La distancia

D

del foco a la pared del estanque.

Para calcular la distancia $D$ , utilizaremos la Ley de Snell y la geometría del problema. Primero, identificamos los ángulos en el aire y en el agua.Consideremos el rayo de luz que sale del foco en el agua, incide en el punto $A$ de la superficie del agua y se refracta hacia el ojo del observador. Sean $\theta_1$ el ángulo de incidencia en el agua y $\theta_2$ el ángulo de refracción en el aire, ambos medidos con respecto a la normal a la superficie.En el aire, formamos un triángulo rectángulo con la altura del observador $H'$ y la distancia $d$ al punto $A$ . El ángulo $\theta_2$ se puede calcular usando la tangente:

\tan(\theta_2) = \frac{d}{H'}

\tan(\theta_2) = \frac{1.2 \text{ m}}{1.6 \text{ m}} = 0.75

\theta_2 = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ

Para la Ley de Snell, necesitamos el seno del ángulo $\theta_2$ :

\sin(\theta_2) = \sin(36.87^\circ) = 0.6

Ahora aplicamos la Ley de Snell en el punto $A$ :

n_w \sin(\theta_1) = n_a \sin(\theta_2)

Sustituimos los valores conocidos ( $n_w = 4/3$ , $n_a = 1$ , $\sin(\theta_2) = 0.6$ ):

\frac{4}{3} \sin(\theta_1) = 1 \cdot 0.6

\sin(\theta_1) = \frac{3}{4} \cdot 0.6 = \frac{1.8}{4} = 0.45

Ahora calculamos el ángulo $\theta_1$ :

\theta_1 = \arcsin(0.45) \approx 26.74^\circ

Finalmente, utilizamos la geometría en el agua. El rayo parte del foco (a una distancia horizontal $D$ de la pared) y llega al punto $A$ (a una distancia horizontal $d$ de la pared). La distancia horizontal recorrida por el rayo en el agua es $D-d$ . La altura es la profundidad del estanque $H$ .

\tan(\theta_1) = \frac{D-d}{H}

Despejamos $D$ y sustituimos los valores ( $\tan(\theta_1) = \tan(26.74^\circ) \approx 0.502$ , $H = 2 \text{ m}$ , $d = 1.2 \text{ m}$ ):

D - d = H \tan(\theta_1)

D = d + H \tan(\theta_1)

D = 1.2 \text{ m} + 2 \text{ m} \cdot \tan(26.74^\circ)

D = 1.2 \text{ m} + 2 \text{ m} \cdot 0.502

D = 1.2 \text{ m} + 1.004 \text{ m}

D = 2.204 \text{ m}

Usando valores con mayor precisión (sin redondear los ángulos intermedios):

\sin(\theta_2) = \frac{d}{\sqrt{H'^2 + d^2}} = \frac{1.2}{\sqrt{1.6^2 + 1.2^2}} = \frac{1.2}{\sqrt{2.56 + 1.44}} = \frac{1.2}{\sqrt{4}} = \frac{1.2}{2} = \frac{3}{5}

\sin(\theta_1) = \frac{n_a \sin(\theta_2)}{n_w} = \frac{1 \cdot (3/5)}{4/3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}

\cos(\theta_1) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta_1)} = \sqrt{1 - \left(\frac{9}{20}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{81}{400}} = \sqrt{\frac{319}{400}} = \frac{\sqrt{319}}{20}

\tan(\theta_1) = \frac{\sin(\theta_1)}{\cos(\theta_1)} = \frac{9/20}{\sqrt{319}/20} = \frac{9}{\sqrt{319}}

D = d + H \tan(\theta_1) = 1.2 + 2 \cdot \frac{9}{\sqrt{319}}

D = 1.2 + \frac{18}{\sqrt{319}} \approx 1.2 + \frac{18}{17.8605} \approx 1.2 + 1.0078 \text{ m}

D \approx 2.2078 \text{ m}