Problemas de sistemas de ecuaciones lineales

Problema

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1

EJERCICIO 1

a) La suma de tres números naturales es 113; al dividir el mayor entre el menor se obtiene de cociente 6 y resto 4 y al dividir el mayor entre el intermedio se obtiene de cociente 2 y resto 6. Halle dichos números.b) Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

y

B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

, compruebe si la inversa de la suma de dichas matrices coincide con la suma de las inversas de cada una.

MatricesSistemas de ecuacionesMatriz inversa

a) La suma de tres números naturales es 113; al dividir el mayor entre el menor se obtiene de cociente 6 y resto 4 y al dividir el mayor entre el intermedio se obtiene de cociente 2 y resto 6. Halle dichos números.

Sean $x, y, z$ los tres números naturales, ordenados de menor a mayor ( $x < y < z$ ). Las condiciones del enunciado se pueden expresar como un sistema de ecuaciones:

x + y + z = 113 \quad (I)

z = 6x + 4 \quad (II)

z = 2y + 6 \quad (III)

De las propiedades de la división, el divisor debe ser mayor que el resto. Por tanto, de la ecuación (II), $x > 4$ , y de la ecuación (III), $y > 6$ .Igualamos las expresiones de $z$ de las ecuaciones (II) y (III):

6x + 4 = 2y + 6

6x - 2y = 2

3x - y = 1

y = 3x - 1 \quad (IV)

Ahora sustituimos las expresiones de $y$ (ecuación IV) y $z$ (ecuación II) en la ecuación (I) ( $x + y + z = 113$ ):

x + (3x - 1) + (6x + 4) = 113

10x + 3 = 113

10x = 110

x = 11

Con el valor de $x$ , calculamos $y$ usando la ecuación (IV) y $z$ usando la ecuación (II):

y = 3(11) - 1 = 33 - 1 = 32

z = 6(11) + 4 = 66 + 4 = 70

Los números naturales son $11, 32, 70$ . Comprobamos que cumplen las condiciones iniciales: $x=11 > 4$ y $y=32 > 6$ .Suma: $11+32+70 = 113$ .División del mayor entre el menor: $70 = 6 \cdot 11 + 4$ .División del mayor entre el intermedio: $70 = 2 \cdot 32 + 6$ .

b) Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

y

B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

, compruebe si la inversa de la suma de dichas matrices coincide con la suma de las inversas de cada una.

Para comprobar la afirmación, calcularemos $(A+B)^{-1}$ y $A^{-1} + B^{-1}$ por separado y compararemos los resultados.

Cálculo de $(A+B)^{-1}$

Primero, sumamos las matrices $A$ y $B$ :

A+B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & -1+1 \\ 2+2 & 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos el determinante de $A+B$ :

\text{det}(A+B) = (1)(4) - (0)(4) = 4 - 0 = 4

Puesto que $\text{det}(A+B) = 4 \neq 0$ , la matriz $A+B$ tiene inversa. Su inversa es:

(A+B)^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A+B)} \text{adj}(A+B)^T = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1/4 \end{pmatrix}

Cálculo de $A^{-1}$

Primero, calculamos el determinante de $A$ :

\text{det}(A) = (1)(3) - (-1)(2) = 3 - (-2) = 5

Puesto que $\text{det}(A) = 5 \neq 0$ , la matriz $A$ tiene inversa. Su inversa es:

A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A)^T = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/5 & 1/5 \\ -2/5 & 1/5 \end{pmatrix}

Cálculo de $B^{-1}$

Primero, calculamos el determinante de $B$ :

\text{det}(B) = (0)(1) - (1)(2) = 0 - 2 = -2

Puesto que $\text{det}(B) = -2 \neq 0$ , la matriz $B$ tiene inversa. Su inversa es:

B^{-1} = \frac{1}{\text{det}(B)} \text{adj}(B)^T = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Cálculo de $A^{-1} + B^{-1}$

Ahora sumamos las inversas calculadas:

A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 3/5 & 1/5 \\ -2/5 & 1/5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 3/5 - 1/2 & 1/5 + 1/2 \\ -2/5 + 1 & 1/5 + 0 \end{pmatrix}

A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 6/10 - 5/10 & 2/10 + 5/10 \\ -2/5 + 5/5 & 1/5 \end{pmatrix}

A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/10 & 7/10 \\ 3/5 & 1/5 \end{pmatrix}

Conclusión

Comparamos los resultados obtenidos para $(A+B)^{-1}$ y $A^{-1} + B^{-1}$ :

(A+B)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1/4 \end{pmatrix}

A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/10 & 7/10 \\ 3/5 & 1/5 \end{pmatrix}

Dado que las matrices resultantes no son iguales, se concluye que la inversa de la suma de dichas matrices NO coincide con la suma de las inversas de cada una. Es decir, $(A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}$ .

T3: Programación lineal

Optimización con restricciones

Problema

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2

EJERCICIO 2

Un fabricante produce mensualmente dos tipos de abonos ecológicos, $A$ y $B$ , que vende en su totalidad, obteniendo unos beneficios de 15 y 10 euros por kilogramo ( $kg$ ), respectivamente. La producción de abono del tipo $A$ no puede superar los $200 \text{ kg}$ ; el doble de la producción de $B$ menos el triple de la producción de $A$ es a lo sumo $100 \text{ kg}$ . Además, la producción de $A$ más el doble de la producción de $B$ es como mucho de $500 \text{ kg}$ . Obtenga las cantidades que este fabricante debe producir de sendos abonos para obtener el máximo beneficio e indique el valor de este beneficio.

Programación linealMaximización de beneficiosInecuaciones

Planteamiento del problema

Sean las variables de decisión:

x

: Kilogramos de abono tipo

A

producidos mensualmente.

y

: Kilogramos de abono tipo

B

producidos mensualmente.

La función objetivo a maximizar es el beneficio total:

Z(x, y) = 15x + 10y

Sujeto a las siguientes restricciones:

x \leq 200

(Producción máxima de

A

)

2y - 3x \leq 100 \implies -3x + 2y \leq 100

x + 2y \leq 500

x \geq 0, y \geq 0

(Restricciones de no negatividad)

Cálculo de los vértices de la región factible

Determinamos los puntos de corte de las rectas que delimitan la región factible:

A(0, 0)

: Intersección de

x=0

e

y=0

.

B(0, 50)

: Intersección de

x=0

con

-3x + 2y = 100

.

C(100, 200)

: Intersección de

-3x + 2y = 100

y

x + 2y = 500

. Resolviendo el sistema:

4x = 400 \implies x = 100

;

100 + 2y = 500 \implies y = 200

.

D(200, 150)

: Intersección de

x + 2y = 500

y

x = 200

. Sustituyendo:

200 + 2y = 500 \implies 2y = 300 \implies y = 150

.

E(200, 0)

: Intersección de

x = 200

e

y = 0

.

Evaluación de la función objetivo

Evaluamos $Z(x, y) = 15x + 10y$ en cada uno de los vértices hallados:

Z(0, 0) = 15(0) + 10(0) = 0 \text{ euros}

Z(0, 50) = 15(0) + 10(50) = 500 \text{ euros}

Z(100, 200) = 15(100) + 10(200) = 1500 + 2000 = 3500 \text{ euros}

Z(200, 150) = 15(200) + 10(150) = 3000 + 1500 = 4500 \text{ euros}

Z(200, 0) = 15(200) + 10(0) = 3000 \text{ euros}

Conclusión

Para obtener el máximo beneficio, el fabricante debe producir $200 \text{ kg}$ de abono tipo $A$ y $150 \text{ kg}$ de abono tipo $B$ . El beneficio máximo obtenido será de $4500 \text{ euros}$ mensuales.

T4: Funciones

Funciones exponenciales y cálculo

Problema

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3

EJERCICIO 3

El Cesio 137 es un elemento radioactivo que se usa, entre otros, para tratamientos de radioterapia. La cantidad (en $mg$ ) de Cesio 137 que queda en el lugar de almacenamiento, transcurrido un número de años $t$ , viene dada por la función:

f(t) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} ; t \geq 0

a) Calcule los años que deben pasar para que la cantidad de Cesio 137 que quede en el almacén sea la mitad de la que había al inicio.b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f

, en el punto de abscisa

t = 10

.c) Indique si la función tiene asíntotas horizontales y verticales. En caso afirmativo, calcúlelas.

Función exponencialDerivadasRecta tangente+1

a) Calcule los años que deben pasar para que la cantidad de Cesio 137 que quede en el almacén sea la mitad de la que había al inicio.

La cantidad inicial de Cesio 137 se obtiene evaluando la función en $t=0$ :

f(0) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{0}{30}} = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 10 \cdot 1 = 10 \text{ mg}

Queremos encontrar el tiempo $t$ para el cual la cantidad de Cesio 137 sea la mitad de la inicial, es decir, $\frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ mg}$ . Igualamos la función a 5:

10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = 5

Dividimos por 10:

\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = \frac{5}{10}

\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = \frac{1}{2}

Dado que las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales:

\frac{t}{30} = 1

t = 30

Deben pasar 30 años para que la cantidad de Cesio 137 se reduzca a la mitad de la inicial.

b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f

, en el punto de abscisa

t = 10

.

La ecuación de la recta tangente en un punto $t_0$ es $y - f(t_0) = f'(t_0)(t - t_0)$ . Primero, calculamos $f(10)$ :

f(10) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10}{30}} = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}} = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{2}}

Ahora, calculamos la derivada de la función $f(t)$ . Usaremos la regla de derivación para funciones exponenciales $a^{g(t)}$ : $\frac{d}{dt}(a^{g(t)}) = a^{g(t)} \cdot \ln(a) \cdot g'(t)$ .

f'(t) = 10 \cdot \frac{d}{dt} \left[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} \right]

f'(t) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{30}

Simplificamos $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(1) - \ln(2) = -\ln(2)$ :

f'(t) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} \cdot (-\ln(2)) \cdot \frac{1}{30}

f'(t) = -\frac{\ln(2)}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}

Evaluamos $f'(t)$ en $t=10$ :

f'(10) = -\frac{\ln(2)}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10}{30}} = -\frac{\ln(2)}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}

f'(10) = -\frac{\ln(2)}{3 \sqrt[3]{2}}

Ahora, sustituimos $f(10)$ y $f'(10)$ en la ecuación de la recta tangente:

y - \frac{10}{\sqrt[3]{2}} = -\frac{\ln(2)}{3 \sqrt[3]{2}} (t - 10)

La ecuación de la recta tangente es:

y = -\frac{\ln(2)}{3 \sqrt[3]{2}} (t - 10) + \frac{10}{\sqrt[3]{2}}

c) Indique si la función tiene asíntotas horizontales y verticales. En caso afirmativo, calcúlelas.

Asíntotas verticales:La función $f(t) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}$ es una función exponencial continua definida para $t \geq 0$ . No presenta puntos de discontinuidad ni valores donde el denominador se anule (no tiene denominador) o argumentos de logaritmos se hagan cero o negativos. Por lo tanto, no tiene asíntotas verticales.Asíntotas horizontales:Las asíntotas horizontales se buscan calculando el límite de la función cuando $t \to \infty$ . Dado que el dominio es $t \geq 0$ , solo consideramos $t \to \infty$ .

\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}

A medida que $t \to \infty$ , el exponente $\frac{t}{30} \to \infty$ . Como la base de la potencia es $\frac{1}{2}$ (que está entre 0 y 1), la potencia tiende a 0:

\lim_{t \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = 0

Por lo tanto:

\lim_{t \to \infty} f(t) = 10 \cdot 0 = 0

La función tiene una asíntota horizontal en $y=0$ (el eje $t$ ) cuando $t \to \infty$ .

T5: Probabilidad

Probabilidad condicional y Teorema de Bayes

Problema

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4

EJERCICIO 4

Una empresa de tecnología fabrica tres modelos de teléfonos móviles: Básico, Intermedio y Premium. Cada modelo puede estar fabricado con uno de los siguientes tipos de pantalla: $A$ o $B$ . El $20\%$ de los móviles fabricados por esta empresa son del modelo Básico, el $45\%$ son del Intermedio y el resto son Premium. Se sabe que el $80\%$ de los móviles fabricados del modelo Básico tienen una pantalla del tipo $A$ , mientras que en el modelo Premium solo un $5\%$ dispone de esta pantalla. Finalmente, el $53\%$ de los teléfonos producidos tienen pantalla del tipo $A$ . Se selecciona un teléfono al azar de la línea de producción. Determine la probabilidad de que:

a) Tenga una pantalla del tipo

A

sabiendo que es del modelo Intermedio.b) Sea del modelo Intermedio sabiendo que tiene pantalla del tipo

A

.

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad total

Definimos los siguientes sucesos: $B$ : El móvil es del modelo Básico. $I$ : El móvil es del modelo Intermedio. $P$ : El móvil es del modelo Premium. $A$ : El móvil tiene pantalla del tipo A.Las probabilidades dadas son:

P(B) = 0.20

P(I) = 0.45

El resto son Premium, por lo tanto:

P(P) = 1 - P(B) - P(I) = 1 - 0.20 - 0.45 = 0.35

También se conocen las siguientes probabilidades condicionales y la probabilidad total de pantalla tipo A:

P(A|B) = 0.80

P(A|P) = 0.05

P(A) = 0.53

a) Tenga una pantalla del tipo

A

sabiendo que es del modelo Intermedio.

Debemos calcular $P(A|I)$ . Para ello, utilizamos la Ley de Probabilidad Total para $P(A)$ :

P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|I)P(I) + P(A|P)P(P)

Sustituimos los valores conocidos en la fórmula:

0.53 = (0.80)(0.20) + P(A|I)(0.45) + (0.05)(0.35)

0.53 = 0.16 + 0.45 \cdot P(A|I) + 0.0175

0.53 = 0.1775 + 0.45 \cdot P(A|I)

0.53 - 0.1775 = 0.45 \cdot P(A|I)

0.3525 = 0.45 \cdot P(A|I)

P(A|I) = \frac{0.3525}{0.45} = \frac{3525}{4500} = \frac{47}{60}

La probabilidad de que un móvil tenga una pantalla del tipo $A$ sabiendo que es del modelo Intermedio es $P(A|I) = \frac{47}{60} \approx 0.7833$ .

b) Sea del modelo Intermedio sabiendo que tiene pantalla del tipo

A

.

Debemos calcular $P(I|A)$ . Aplicamos el Teorema de Bayes:

P(I|A) = \frac{P(A|I)P(I)}{P(A)}

Sustituimos los valores ya calculados y conocidos:

P(I|A) = \frac{\left(\frac{47}{60}\right) (0.45)}{0.53}

P(I|A) = \frac{\frac{47}{60} \cdot \frac{45}{100}}{\frac{53}{100}}

P(I|A) = \frac{47 \cdot 45}{60 \cdot 53}

P(I|A) = \frac{2115}{3180}

Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por 15:

P(I|A) = \frac{2115 \div 15}{3180 \div 15} = \frac{141}{212}

La probabilidad de que el móvil sea del modelo Intermedio sabiendo que tiene pantalla del tipo $A$ es $P(I|A) = \frac{141}{212} \approx 0.6651$ .

T5: Probabilidad

Probabilidad condicional

Problema

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5

EJERCICIO 5

El $20\%$ de los estudiantes de danza de una localidad andaluza están matriculados en la escuela $A$ y el resto en la $B$ . En estas escuelas se practica danza clásica y moderna y cada estudiante solo se puede matricular en una de estas dos especialidades. De los matriculados en $A$ , el $70\%$ practica danza clásica y el resto danza moderna. Se sabe también que el $32\%$ de los estudiantes de danza son de la escuela $B$ y practican danza clásica. Elegido al azar un estudiante de danza de la localidad, calcule la probabilidad de que:

a) Practique danza clásica.b) Practique danza moderna si es de la escuela

B

.c) Estudie en la escuela

B

si resulta ser un estudiante de danza moderna.d) Sea de la escuela

A

, practique danza clásica y realice un Máster, sabiendo que el

80\%

de los estudiantes de danza clásica de la escuela

A

realiza un Máster.

ProbabilidadTeorema de BayesSucesos independientes

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El estudiante está matriculado en la escuela $A$ . $B$ : El estudiante está matriculado en la escuela $B$ . $C$ : El estudiante practica danza clásica. $M$ : El estudiante practica danza moderna. $Mas$ : El estudiante realiza un Máster.A partir del enunciado, tenemos las siguientes probabilidades:

P(A) = 0.20 \Rightarrow P(B) = 1 - P(A) = 0.80

P(C|A) = 0.70 \Rightarrow P(M|A) = 1 - P(C|A) = 0.30

P(B \cap C) = 0.32

Calculamos las probabilidades de las intersecciones:

P(A \cap C) = P(C|A) \cdot P(A) = 0.70 \cdot 0.20 = 0.14

P(A \cap M) = P(M|A) \cdot P(A) = 0.30 \cdot 0.20 = 0.06

Para la escuela $B$ , sabiendo $P(B \cap C) = 0.32$ y $P(B) = 0.80$ , podemos calcular $P(C|B)$ :

P(C|B) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)} = \frac{0.32}{0.80} = 0.40

Y, por lo tanto, $P(M|B)$ :

P(M|B) = 1 - P(C|B) = 1 - 0.40 = 0.60

Finalmente, calculamos $P(B \cap M)$ :

P(B \cap M) = P(M|B) \cdot P(B) = 0.60 \cdot 0.80 = 0.48

Resumiendo las probabilidades de las intersecciones:

P(A \cap C) = 0.14

P(A \cap M) = 0.06

P(B \cap C) = 0.32

P(B \cap M) = 0.48

La suma total es $0.14 + 0.06 + 0.32 + 0.48 = 1.00$ , lo cual es correcto.

a) Practique danza clásica.

Se pide calcular $P(C)$ . Aplicamos el teorema de la probabilidad total:

P(C) = P(C \cap A) + P(C \cap B)

P(C) = 0.14 + 0.32 = 0.46

b) Practique danza moderna si es de la escuela

B

.

Se pide calcular $P(M|B)$ . Este valor ya lo hemos calculado previamente:

P(M|B) = \frac{P(B \cap M)}{P(B)} = \frac{0.48}{0.80} = 0.60

c) Estudie en la escuela

B

si resulta ser un estudiante de danza moderna.

Se pide calcular $P(B|M)$ . Para ello, primero necesitamos $P(M)$ :

P(M) = P(A \cap M) + P(B \cap M) = 0.06 + 0.48 = 0.54

Ahora aplicamos la definición de probabilidad condicionada:

P(B|M) = \frac{P(B \cap M)}{P(M)} = \frac{0.48}{0.54} = \frac{8}{9} \approx 0.8889

d) Sea de la escuela

A

, practique danza clásica y realice un Máster, sabiendo que el

80\%

de los estudiantes de danza clásica de la escuela

A

realiza un Máster.

Se pide calcular $P(A \cap C \cap Mas)$ . Sabemos que el $80\%$ de los estudiantes de danza clásica de la escuela $A$ realiza un Máster, lo que se traduce como $P(Mas | (A \cap C)) = 0.80$ .Aplicamos la definición de probabilidad condicionada:

P(A \cap C \cap Mas) = P(Mas | (A \cap C)) \cdot P(A \cap C)

Ya calculamos $P(A \cap C) = 0.14$ .

P(A \cap C \cap Mas) = 0.80 \cdot 0.14 = 0.112

T6: Teoría de muestras

Intervalo de confianza para la proporción

Problema

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6

EJERCICIO 6

Se selecciona una muestra aleatoria de 600 familias a las que se les pregunta si tienen mascota, resultando que 240 de esas familias contestaron afirmativamente. Con un nivel de confianza del $95\%$ ,

a) Obtenga el correspondiente intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de familias que tienen mascota. ¿Puede suponerse que la mitad de las familias de esta población tiene mascota?b) ¿Qué tamaño muestral mínimo se debe tomar para que el error máximo al estimar esta proporción sea 0.025?c) Explique razonadamente el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza de la proporción poblacional el aumento del tamaño de la muestra elegida.

Intervalo de confianzaProporciónTamaño muestral

Datos iniciales:Tamaño de la muestra: $n = 600$ Número de familias con mascota: $x = 240$ Proporción muestral de familias con mascota: $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{240}{600} = 0.4$ Proporción muestral de familias sin mascota: $1 - \hat{p} = 1 - 0.4 = 0.6$ Nivel de confianza: $95\%$ . Esto implica que $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ . El valor crítico de $z$ para este nivel de confianza es $z_{\alpha/2} = z_{0.025}$ . Buscando en la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que $z_{0.025} = 1.96$ (ya que $P(Z \le 1.96) = 0.975$ ).

a) Obtenga el correspondiente intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de familias que tienen mascota. ¿Puede suponerse que la mitad de las familias de esta población tiene mascota?

La fórmula del intervalo de confianza para una proporción poblacional es:

\text{IC} = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Calculamos el error máximo de estimación (margen de error):

E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.4(0.6)}{600}}

E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.24}{600}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.0004} = 1.96 \cdot 0.02 = 0.0392

El intervalo de confianza es:

\text{IC} = 0.4 \pm 0.0392

\text{IC} = (0.4 - 0.0392, 0.4 + 0.0392) = (0.3608, 0.4392)

Para responder si puede suponerse que la mitad de las familias tiene mascota, debemos verificar si la proporción $p = 0.5$ está incluida en el intervalo de confianza calculado. Dado que $0.5$ no se encuentra dentro del intervalo $(0.3608, 0.4392)$ , no puede suponerse con un nivel de confianza del $95\%$ que la mitad de las familias de esta población tiene mascota.

b) ¿Qué tamaño muestral mínimo se debe tomar para que el error máximo al estimar esta proporción sea 0.025?

Se nos pide que el error máximo de estimación sea $E = 0.025$ . Utilizaremos la proporción muestral $\hat{p} = 0.4$ obtenida en el apartado anterior como una estimación de la proporción poblacional. El valor crítico de $z$ sigue siendo $z_{\alpha/2} = 1.96$ para un nivel de confianza del $95\%$ . La fórmula para el tamaño muestral es:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}

Sustituyendo los valores:

n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.4(1-0.4)}{(0.025)^2}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.4 \cdot 0.6}{0.000625}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.24}{0.000625} = \frac{0.921984}{0.000625} \approx 1475.1744

Como el tamaño muestral debe ser un número entero, se debe redondear al alza. Por lo tanto, el tamaño muestral mínimo que se debe tomar es $1476$ familias.

c) Explique razonadamente el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza de la proporción poblacional el aumento del tamaño de la muestra elegida.

La amplitud del intervalo de confianza para una proporción poblacional se define como dos veces el error máximo de estimación ( $A = 2E$ ). La fórmula del error máximo es:

E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Por lo tanto, la amplitud es:

A = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Observando esta fórmula, si el tamaño de la muestra ( $n$ ) aumenta, el denominador de la fracción dentro de la raíz cuadrada ( $n$ ) también aumenta. Esto provoca que el valor de la fracción $\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}$ disminuya. Consecuentemente, su raíz cuadrada $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ también disminuye.Dado que el valor crítico $z_{\alpha/2}$ y las proporciones $\hat{p}(1-\hat{p})$ se mantienen constantes para un nivel de confianza y una estimación dados, la disminución del término de la raíz cuadrada provoca una disminución del error máximo de estimación ( $E$ ) y, por ende, una disminución de la amplitud ( $A$ ) del intervalo de confianza.En resumen, un aumento del tamaño de la muestra elegida reduce la amplitud del intervalo de confianza, lo que significa que la estimación de la proporción poblacional se vuelve más precisa (el intervalo es más estrecho).

T6: Teoría de muestras

Inferencia estadística para la media

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

7

EJERCICIO 7

Se ha realizado un estudio para analizar el peso, en kilogramos, de las mochilas de los estudiantes de ESO de los institutos de una localidad. Para ello, se seleccionó una muestra aleatoria de 13 mochilas, obteniéndose los siguientes datos:4.5, 5.3, 4.9, 5.2, 5.5, 5.5, 5.7, 4.8, 5.6, 4.7, 4.2, 5.8, 4.6 El peso de las mochilas se distribuye según una ley Normal de desviación típica $0.9 \text{ kg}$ y media desconocida.

a) Halle un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

98.5\%

, para estimar el peso medio de las mochilas escolares.b) Para el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño muestral mínimo se debería tomar para que el error cometido al estimar el peso medio de estas mochilas sea inferior al

10\%

?c) El peso medio de las mochilas de los estudiantes de ESO de esa localidad es de

4.9 \text{ kg}

y tomando una muestra aleatoria de 36 mochilas, ¿qué distribución sigue la variable que mide el peso medio de estas 36 mochilas? ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio no supere los

5.2 \text{ kg}

?

Distribución NormalIntervalo de confianza para la mediaTamaño muestral

Cálculos iniciales

Los datos proporcionados son los siguientes:Muestra aleatoria de $n = 13$ mochilas:4.5, 5.3, 4.9, 5.2, 5.5, 5.5, 5.7, 4.8, 5.6, 4.7, 4.2, 5.8, 4.6 Desviación típica poblacional $\sigma = 0.9 \text{ kg}$ .Calculamos la media muestral $\bar{x}$ :

\bar{x} = \frac{4.5 + 5.3 + 4.9 + 5.2 + 5.5 + 5.5 + 5.7 + 4.8 + 5.6 + 4.7 + 4.2 + 5.8 + 4.6}{13}

\bar{x} = \frac{67.3}{13} \approx 5.1769 \approx 5.18 \text{ kg}

a) Halle un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

98.5\%

, para estimar el peso medio de las mochilas escolares.

El nivel de confianza es del $98.5\%$ , por lo tanto, $1 - \alpha = 0.985$ , lo que implica $\alpha = 0.015$ y $\alpha/2 = 0.0075$ .Necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.0075 = 0.9925$ .Consultando la tabla de la distribución Normal estándar, se obtiene $z_{0.0075} = 2.43$ .El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ cuando la desviación típica poblacional $\sigma$ es conocida se calcula mediante la fórmula:

IC = \left[ \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]

Sustituyendo los valores:

IC = \left[ 5.18 - 2.43 \frac{0.9}{\sqrt{13}}, 5.18 + 2.43 \frac{0.9}{\sqrt{13}} \right]

IC = \left[ 5.18 - 2.43 \frac{0.9}{3.6056}, 5.18 + 2.43 \frac{0.9}{3.6056} \right]

IC = \left[ 5.18 - 2.43 \cdot 0.2496, 5.18 + 2.43 \cdot 0.2496 \right]

IC = \left[ 5.18 - 0.6065, 5.18 + 0.6065 \right]

IC = \left[ 4.5735, 5.7865 \right]

Redondeando a dos decimales, el intervalo de confianza es:

IC \approx \left[ 4.57, 5.79 \right]

b) Para el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño muestral mínimo se debería tomar para que el error cometido al estimar el peso medio de estas mochilas sea inferior al

10\%

?

El nivel de confianza sigue siendo del $98.5\%$ , por lo tanto, $z_{\alpha/2} = 2.43$ .El error máximo permitido ( $E$ ) es inferior al $10\%$ , que interpretamos como $0.10 \text{ kg}$ (es decir, $E < 0.10$ ).La fórmula del error es:

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Queremos que $E < 0.10$ , por lo tanto:

0.10 > 2.43 \frac{0.9}{\sqrt{n}}

Despejamos $\sqrt{n}$ :

\sqrt{n} > \frac{2.43 \cdot 0.9}{0.10}

\sqrt{n} > \frac{2.187}{0.10}

\sqrt{n} > 21.87

Elevamos al cuadrado ambos lados para encontrar $n$ :

n > (21.87)^2

n > 478.3069

Dado que el tamaño muestral debe ser un número entero, el tamaño muestral mínimo que se debe tomar es $n = 479$ mochilas.

c) El peso medio de las mochilas de los estudiantes de ESO de esa localidad es de

4.9 \text{ kg}

y tomando una muestra aleatoria de 36 mochilas, ¿qué distribución sigue la variable que mide el peso medio de estas 36 mochilas? ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio no supere los

5.2 \text{ kg}

?

Datos para este apartado:Media poblacional $\mu = 4.9 \text{ kg}$ .Desviación típica poblacional $\sigma = 0.9 \text{ kg}$ .Tamaño muestral $n = 36$ .La variable que mide el peso medio de las 36 mochilas, $\bar{X}$ , sigue una distribución Normal, debido a que la población original es Normal (o por el Teorema Central del Límite, dado que $n=36 \ge 30$ ). Su media es $\mu$ y su desviación típica es $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

Sustituyendo los valores:

\bar{X} \sim N\left(4.9, \frac{0.9}{\sqrt{36}}\right)

\bar{X} \sim N\left(4.9, \frac{0.9}{6}\right)

\bar{X} \sim N(4.9, 0.15)

Por lo tanto, la variable que mide el peso medio de las 36 mochilas sigue una distribución Normal con media $4.9 \text{ kg}$ y desviación típica $0.15 \text{ kg}$ .Para calcular la probabilidad de que el peso medio no supere los $5.2 \text{ kg}$ , es decir, $P(\bar{X} \le 5.2)$ , estandarizamos la variable $\bar{X}$ :

Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{\bar{X} - 4.9}{0.15}

Calculamos el valor de $Z$ para $\bar{X} = 5.2$ :

Z = \frac{5.2 - 4.9}{0.15} = \frac{0.3}{0.15} = 2

Ahora buscamos esta probabilidad en la tabla de la distribución Normal estándar:

P(\bar{X} \le 5.2) = P(Z \le 2)

Consultando la tabla, $P(Z \le 2) = 0.9772$ .La probabilidad de que el peso medio no supere los $5.2 \text{ kg}$ es $0.9772$ .

T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

1

En una empresa de diseño gráfico, tres personas empleadas, Ana, Bruno y Carla, trabajan en un proyecto conjunto.

a) Se sabe que Ana ha dedicado un tercio del total de horas que ha necesitado el proyecto. Además, la suma de las horas trabajadas por Ana y Bruno excede en 6 horas a las que ha dedicado Carla, quien a su vez ha trabajado 4 horas más que Bruno. ¿Cuántas horas ha trabajado cada persona involucrada en el proyecto?b) Si la empresa paga

25 \text{ \,\text{euros}}

por cada hora de trabajo en el proyecto y de seguros sociales el

23.60 \%

del salario, ¿cuánto tiene que abonar la empresa para pagar los costes de este proyecto?

Sistemas de ecuacionesProblemas económicosÁlgebra

a) Definimos las horas trabajadas por cada persona:

Sea $A$ el número de horas trabajadas por Ana.Sea $B$ el número de horas trabajadas por Bruno.Sea $C$ el número de horas trabajadas por Carla.Traducimos las condiciones dadas en el enunciado a un sistema de ecuaciones:1. Ana ha dedicado un tercio del total de horas del proyecto: $A = rac{1}{3}(A+B+C)$ 2. La suma de las horas de Ana y Bruno excede en 6 a las de Carla: $A + B = C + 6$ 3. Carla ha trabajado 4 horas más que Bruno: $C = B + 4$ Resolvemos el sistema de ecuaciones:Sustituimos la ecuación (3) en la ecuación (2):

A + B = (B + 4) + 6

A + B = B + 10

A = 10

Ana ha trabajado 10 horas.Ahora, sustituimos el valor de $A$ en la ecuación (1):

10 = \frac{1}{3}(10+B+C)

30 = 10+B+C

20 = B+C \quad (4)

Tenemos un nuevo sistema con las ecuaciones (3) y (4):

\begin{cases} C = B + 4 \\ 20 = B + C \end{cases}

Sustituimos la ecuación (3) en la ecuación (4):

20 = B + (B + 4)

20 = 2B + 4

16 = 2B

B = 8

Bruno ha trabajado 8 horas.Finalmente, sustituimos el valor de $B$ en la ecuación (3) para encontrar $C$ :

C = 8 + 4

C = 12

Carla ha trabajado 12 horas.Por lo tanto, Ana ha trabajado 10 horas, Bruno ha trabajado 8 horas y Carla ha trabajado 12 horas.

b) Calculamos el coste total del proyecto para la empresa.

El total de horas trabajadas en el proyecto es la suma de las horas de cada persona:

\text{Total de horas} = A + B + C = 10 + 8 + 12 = 30 \text{ horas}

El salario por hora es de $25 \text{ \,\text{euros}}$ . Calculamos el salario total:

\text{Salario total} = 30 \text{ horas} \times 25 \text{ \,\text{euros}/hora} = 750 \text{ \,\text{euros}}

Los seguros sociales representan el $23.60 \%$ del salario. Calculamos el coste de los seguros sociales:

\text{Coste seguros sociales} = 0.2360 \times 750 \text{ \,\text{euros}} = 177 \text{ \,\text{euros}}

El coste total para la empresa es la suma del salario total y el coste de los seguros sociales:

\text{Coste total empresa} = \text{Salario total} + \text{Coste seguros sociales}

\text{Coste total empresa} = 750 \text{ \,\text{euros}} + 177 \text{ \,\text{euros}} = 927 \text{ \,\text{euros}}

La empresa tiene que abonar $927 \text{ \,\text{euros}}$ para pagar los costes de este proyecto.

T3: Programación lineal

Optimización de beneficios

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

2

Una agricultora vende en su tienda online frutas y hortalizas envasándolas en cajas de dos tipos diferentes. La caja "El regalo de la tierra" la vende a $19.75 \text{ \,\text{euros}}$ y contiene $3 \text{ kg}$ de frutas y $3.5 \text{ kg}$ de hortalizas. La caja "El tesoro de la huerta" contiene $2 \text{ kg}$ de frutas y $4 \text{ kg}$ de hortalizas y la vende a $18.50 \text{ \,\text{euros}}$ . La agricultora dispone semanalmente de $210 \text{ kg}$ de hortalizas y $150 \text{ kg}$ de frutas. Debe vender al menos $12$ cajas de "El regalo de la tierra" y no menos de $15$ cajas de "El tesoro de la huerta". ¿Cuántas cajas de cada tipo debe vender a la semana para que el ingreso por la venta sea máximo? ¿A cuánto asciende este ingreso?

Programación linealOptimizaciónRestricciones

Resolución del problema de programación lineal

Definimos las variables del problema basándonos en el número de cajas de cada tipo que se deben vender a la semana:

x

: Número de cajas tipo "El regalo de la tierra".

y

: Número de cajas tipo "El tesoro de la huerta".

La función que representa los ingresos totales y que deseamos maximizar es:

I(x, y) = 19.75x + 18.50y

Las restricciones del problema, dadas por la disponibilidad de fruta y hortalizas, así como por los mínimos de venta, son las siguientes:

Frutas:

3x + 2y \le 150

Hortalizas:

3.5x + 4y \le 210

(equivalente a

7x + 8y \le 420

)Mínimo caja 1:

x \ge 12

Mínimo caja 2:

y \ge 15

Para determinar la región factible, calculamos los vértices del recinto cerrado delimitado por estas inecuaciones:

Vértice A: Intersección de

x=12

e

y=15

. Obtenemos el punto

(12, 15)

.Vértice B: Intersección de

y=15

y

3x + 2y = 150

. Sustituyendo:

3x + 2(15) = 150 \Rightarrow 3x = 120 \Rightarrow x = 40

. Obtenemos el punto

(40, 15)

.Vértice C: Intersección de

3x + 2y = 150

y

3.5x + 4y = 210

. Resolviendo el sistema por reducción: multiplicamos la primera por

-2

, obteniendo

-6x - 4y = -300

; sumamos a la segunda:

-2.5x = -90 \Rightarrow x = 36

. Sustituyendo

x

:

3(36) + 2y = 150 \Rightarrow 108 + 2y = 150 \Rightarrow 2y = 42 \Rightarrow y = 21

. Obtenemos el punto

(36, 21)

.Vértice D: Intersección de

x=12

y

3.5x + 4y = 210

. Sustituyendo:

3.5(12) + 4y = 210 \Rightarrow 42 + 4y = 210 \Rightarrow 4y = 168 \Rightarrow y = 42

. Obtenemos el punto

(12, 42)

.

Evaluamos la función objetivo $I(x, y)$ en cada uno de los vértices para hallar el valor máximo:

I(12, 15) = 19.75(12) + 18.50(15) = 237 + 277.5 = 514.5 \text{ \,\text{euros}}

I(40, 15) = 19.75(40) + 18.50(15) = 790 + 277.5 = 1067.5 \text{ \,\text{euros}}

I(36, 21) = 19.75(36) + 18.50(21) = 711 + 388.5 = 1099.5 \text{ \,\text{euros}}

I(12, 42) = 19.75(12) + 18.50(42) = 237 + 777 = 1014 \text{ \,\text{euros}}

Para que el ingreso por la venta sea máximo, la agricultora debe vender semanalmente 36 cajas de "El regalo de la tierra" y 21 cajas de "El tesoro de la huerta". El ingreso máximo asciende a $1099.50 \text{ \,\text{euros}}$ .

T4: Funciones

Análisis de funciones racionales y aplicaciones

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

3

Un grupo de emprendedores valora crear una empresa y, para ello, ha encargado un estudio de mercado en el que se estima que los beneficios para los próximos $10$ años, en millones de euros, vendrán dados por la función:

B(t) = \frac{3t}{t+2} - 1; \quad 0 \le t \le 10

donde $t$ representa los años transcurridos desde la apertura de la empresa.

a) ¿En qué intervalo de tiempo la empresa no tendrá beneficios?b) ¿En qué momento se alcanza el máximo beneficio y a cuánto asciende su valor?c) ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que la empresa obtenga un beneficio de

800\,000\text{ \,\text{euros}}

?d) Si la función de beneficios se mantuviera y transcurrieran los años de manera indefinida, ¿A que valor tendería el beneficio de la empresa?

Funciones racionalesOptimizaciónEconomía+1

a) Para determinar en qué intervalo de tiempo la empresa no tendrá beneficios, debemos encontrar los valores de

t

para los cuales

B(t) \le 0

. Dado que

t

representa los años y

0 \le t \le 10

,

t

debe ser no negativo.

B(t) = \frac{3t}{t+2} - 1 \le 0

\frac{3t - (t+2)}{t+2} \le 0

\frac{2t - 2}{t+2} \le 0

Analizamos la desigualdad. El denominador $t+2$ es siempre positivo para $t \ge 0$ . Por lo tanto, el signo de la expresión depende únicamente del numerador.

2t - 2 \le 0

2t \le 2

t \le 1

Considerando el dominio de la función $0 \le t \le 10$ , el intervalo de tiempo en el que la empresa no tendrá beneficios es $0 \le t \le 1$ .

b) Para encontrar el momento en que se alcanza el máximo beneficio, calculamos la derivada de la función

B(t)

y estudiamos su signo.

B(t) = \frac{3t}{t+2} - 1

B'(t) = \frac{3(t+2) - 3t(1)}{(t+2)^2} - 0

B'(t) = \frac{3t+6 - 3t}{(t+2)^2}

B'(t) = \frac{6}{(t+2)^2}

Para $0 \le t \le 10$ , el denominador $(t+2)^2$ es siempre positivo. Como el numerador es $6$ (positivo), $B'(t) > 0$ para todo $t$ en el dominio. Esto significa que la función de beneficios $B(t)$ es estrictamente creciente en el intervalo $[0, 10]$ . Por lo tanto, el máximo beneficio se alcanza en el valor máximo de $t$ dentro del dominio, que es $t=10$ años.El valor del beneficio máximo es:

B(10) = \frac{3(10)}{10+2} - 1 = \frac{30}{12} - 1 = \frac{5}{2} - 1 = 2.5 - 1 = 1.5

El máximo beneficio se alcanza a los $10$ años y asciende a $1.5$ millones de euros.

c) Para que la empresa obtenga un beneficio de

800\,000\text{ \,\text{euros}}

, el valor de

B(t)

debe ser

0.8

millones de euros.

B(t) = \frac{3t}{t+2} - 1 = 0.8

\frac{3t}{t+2} = 1.8

3t = 1.8(t+2)

3t = 1.8t + 3.6

3t - 1.8t = 3.6

1.2t = 3.6

t = \frac{3.6}{1.2}

t = 3

Para que la empresa obtenga un beneficio de $800\,000\text{ \,\text{euros}}$ , han de pasar $3$ años.

d) Si la función de beneficios se mantuviera y transcurrieran los años de manera indefinida, debemos calcular el límite de

B(t)

cuando

t \to \infty

.

\lim_{t \to \infty} B(t) = \lim_{t \to \infty} \left( \frac{3t}{t+2} - 1 \right)

Primero, evaluamos el límite de la fracción principal. Dividimos el numerador y el denominador por la mayor potencia de $t$ :

\lim_{t \to \infty} \frac{3t}{t+2} = \lim_{t \to \infty} \frac{\frac{3t}{t}}{\frac{t}{t} + \frac{2}{t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{3}{1 + \frac{2}{t}}

Cuando $t \to \infty$ , el término $\frac{2}{t} \to 0$ . Por lo tanto:

\lim_{t \to \infty} \frac{3}{1 + \frac{2}{t}} = \frac{3}{1 + 0} = 3

Ahora, sustituimos este resultado en la expresión original de $B(t)$ :

\lim_{t \to \infty} B(t) = 3 - 1 = 2

El beneficio de la empresa tendería a $2$ millones de euros.

T4: Funciones

Cálculo diferencial e integral

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

4

Las ventas de un producto (en miles de euros), en los $6$ primeros años desde que se lanzó una campaña de publicidad, evolucionan de acuerdo con la siguiente función:

V(t) = 4t^3 - 24t^2 + 36t + 100; \quad 0 \le t \le 6

siendo $t$ el tiempo transcurrido en años.

a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de las ventas a lo largo de los

6

años. Calcule los extremos.b) Represente gráficamente la función

V

.c) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de

V

, la recta

t = 6

y los ejes de coordenadas.

PolinomiosDerivadasIntegrales+2

a) Estudio del crecimiento y decrecimiento de las ventas y cálculo de los extremos.

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, obtenemos la primera derivada de la función $V(t)$ :

V(t) = 4t^3 - 24t^2 + 36t + 100

V'(t) = 12t^2 - 48t + 36

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

12t^2 - 48t + 36 = 0

Dividimos por 12:

t^2 - 4t + 3 = 0

Factorizando o usando la fórmula cuadrática, obtenemos:

(t-1)(t-3) = 0

Los puntos críticos son $t=1$ y $t=3$ . Ambos se encuentran dentro del intervalo de estudio $[0, 6]$ .Estudiamos el signo de $V'(t)$ en los intervalos determinados por los puntos críticos y los extremos del dominio:Para $t \in [0, 1)$ (tomamos $t=0.5$ ):

V'(0.5) = 12(0.5)^2 - 48(0.5) + 36 = 12(0.25) - 24 + 36 = 3 - 24 + 36 = 15 > 0

Las ventas crecen en el intervalo $[0, 1)$ .Para $t \in (1, 3)$ (tomamos $t=2$ ):

V'(2) = 12(2)^2 - 48(2) + 36 = 48 - 96 + 36 = -12 < 0

Las ventas decrecen en el intervalo $(1, 3)$ .Para $t \in (3, 6]$ (tomamos $t=4$ ):

V'(4) = 12(4)^2 - 48(4) + 36 = 192 - 192 + 36 = 36 > 0

Las ventas crecen en el intervalo $(3, 6]$ .En resumen, las ventas crecen en $[0, 1) \cup (3, 6]$ y decrecen en $(1, 3)$ .Calculamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo para encontrar los extremos locales y absolutos:

V(0) = 4(0)^3 - 24(0)^2 + 36(0) + 100 = 100

V(1) = 4(1)^3 - 24(1)^2 + 36(1) + 100 = 4 - 24 + 36 + 100 = 116

V(3) = 4(3)^3 - 24(3)^2 + 36(3) + 100 = 108 - 216 + 108 + 100 = 100

V(6) = 4(6)^3 - 24(6)^2 + 36(6) + 100 = 4(216) - 24(36) + 216 + 100 = 864 - 864 + 216 + 100 = 316

Los extremos son:\begin{itemize} \item Máximo local en $t=1$ con un valor de ventas de $V(1) = 116$ miles de euros. \item Mínimo local en $t=3$ con un valor de ventas de $V(3) = 100$ miles de euros. \item El máximo absoluto en el intervalo $[0, 6]$ es $V(6) = 316$ miles de euros. \item El mínimo absoluto en el intervalo $[0, 6]$ es $V(0) = V(3) = 100$ miles de euros. \end{itemize}

b) Representación gráfica de la función

V

.

Para representar gráficamente la función $V(t)$ , utilizamos los puntos clave calculados en el apartado anterior y la información de crecimiento y decrecimiento:\begin{itemize} \item Punto inicial: $(0, V(0)) = (0, 100)$ \item Máximo local: $(1, V(1)) = (1, 116)$ \item Mínimo local: $(3, V(3)) = (3, 100)$ \item Punto final: $(6, V(6)) = (6, 316)$ \end{itemize} La gráfica empieza en $(0, 100)$ , sube hasta el máximo local en $(1, 116)$ , baja hasta el mínimo local en $(3, 100)$ y vuelve a subir hasta el punto final $(6, 316)$ . La curva es suave y continua, característica de una función polinómica cúbica.

c) Cálculo del área de la región limitada por la gráfica de

V

, la recta

t = 6

y los ejes de coordenadas.

El área de la región limitada por la gráfica de $V$ , la recta $t=6$ y los ejes de coordenadas (es decir, $t=0$ y $V=0$ ) se calcula mediante la integral definida de $V(t)$ desde $t=0$ hasta $t=6$ . Dado que el valor mínimo de $V(t)$ en el intervalo $[0, 6]$ es $100$ (en $t=0$ y $t=3$ ), la función es siempre positiva, por lo que el área es simplemente la integral.

\text{Área} = \int_{0}^{6} (4t^3 - 24t^2 + 36t + 100) dt

Calculamos la integral indefinida:

\int (4t^3 - 24t^2 + 36t + 100) dt = 4\frac{t^4}{4} - 24\frac{t^3}{3} + 36\frac{t^2}{2} + 100t + C

= t^4 - 8t^3 + 18t^2 + 100t + C

Ahora evaluamos la integral definida en los límites de integración, aplicando la Regla de Barrow:

\text{Área} = [t^4 - 8t^3 + 18t^2 + 100t]_{0}^{6}

\text{Área} = (6^4 - 8 \cdot 6^3 + 18 \cdot 6^2 + 100 \cdot 6) - (0^4 - 8 \cdot 0^3 + 18 \cdot 0^2 + 100 \cdot 0)

\text{Área} = (1296 - 8 \cdot 216 + 18 \cdot 36 + 600) - (0)

\text{Área} = (1296 - 1728 + 648 + 600)

\text{Área} = 2544 - 1728

\text{Área} = 816

El área de la región es de $816$ unidades de área. Considerando las unidades del problema (miles de euros y años), el área representa $816$ miles de euros $\cdot$ año.

T5: Probabilidad

Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

5

En un estudio sobre la presencia de mujeres en las empresas tecnológicas se observa que el $20 \%$ de los operarios, el $40 \%$ de los ingenieros y el $30 \%$ de los directivos son mujeres. Se sabe que en estas empresas el $20 \%$ de las plantillas son directivos, el $35 \%$ son ingenieros y el resto son operarios. Se elige un trabajador al azar de una de estas empresas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un operario y sea mujer?b) Si el trabajador elegido no es un operario, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?c) Si el trabajador elegido es hombre, ¿a qué colectivo es más probable que pertenezca?

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad total

Definimos los siguientes sucesos: $O$ : El trabajador es operario. $I$ : El trabajador es ingeniero. $D$ : El trabajador es directivo. $M$ : El trabajador es mujer. $H$ : El trabajador es hombre.Las probabilidades dadas son:

P(M|O) = 0.20 \Rightarrow P(H|O) = 1 - 0.20 = 0.80

P(M|I) = 0.40 \Rightarrow P(H|I) = 1 - 0.40 = 0.60

P(M|D) = 0.30 \Rightarrow P(H|D) = 1 - 0.30 = 0.70

P(D) = 0.20

P(I) = 0.35

La probabilidad de que sea operario es $P(O) = 1 - P(D) - P(I) = 1 - 0.20 - 0.35 = 0.45$ .

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un operario y sea mujer?

Queremos calcular $P(O^c \cap M)$ . El suceso "no ser operario" ( $O^c$ ) significa ser ingeniero ( $I$ ) o directivo ( $D$ ). Por lo tanto, $O^c = I \cup D$ . Así, la probabilidad es:

P(O^c \cap M) = P((I \cup D) \cap M)

Dado que los sucesos $I$ y $D$ son mutuamente excluyentes, $(I \cap M)$ y $(D \cap M)$ también lo son. Por lo tanto:

P(O^c \cap M) = P(I \cap M) + P(D \cap M)

Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$ :

P(I \cap M) = P(M|I) \cdot P(I) = 0.40 \cdot 0.35 = 0.14

P(D \cap M) = P(M|D) \cdot P(D) = 0.30 \cdot 0.20 = 0.06

Entonces:

P(O^c \cap M) = 0.14 + 0.06 = 0.20

b) Si el trabajador elegido no es un operario, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Queremos calcular la probabilidad condicionada $P(M|O^c)$ . Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ :

P(M|O^c) = \frac{P(M \cap O^c)}{P(O^c)}

Del apartado a), sabemos que $P(M \cap O^c) = 0.20$ .La probabilidad de no ser operario es $P(O^c) = P(I) + P(D) = 0.35 + 0.20 = 0.55$ . (También se puede calcular como $P(O^c) = 1 - P(O) = 1 - 0.45 = 0.55$ ).Sustituyendo los valores:

P(M|O^c) = \frac{0.20}{0.55} = \frac{20}{55} = \frac{4}{11} \approx 0.3636

c) Si el trabajador elegido es hombre, ¿a qué colectivo es más probable que pertenezca?

Necesitamos calcular y comparar $P(O|H)$ , $P(I|H)$ y $P(D|H)$ .Primero, calculamos la probabilidad total de que un trabajador sea hombre, $P(H)$ .

P(H) = P(H \cap O) + P(H \cap I) + P(H \cap D)

P(H \cap O) = P(H|O) \cdot P(O) = 0.80 \cdot 0.45 = 0.36

P(H \cap I) = P(H|I) \cdot P(I) = 0.60 \cdot 0.35 = 0.21

P(H \cap D) = P(H|D) \cdot P(D) = 0.70 \cdot 0.20 = 0.14

P(H) = 0.36 + 0.21 + 0.14 = 0.71

Ahora, aplicamos el Teorema de Bayes para calcular las probabilidades condicionadas:

P(O|H) = \frac{P(H|O) \cdot P(O)}{P(H)} = \frac{0.36}{0.71} \approx 0.5070

P(I|H) = \frac{P(H|I) \cdot P(I)}{P(H)} = \frac{0.21}{0.71} \approx 0.2958

P(D|H) = \frac{P(H|D) \cdot P(D)}{P(H)} = \frac{0.14}{0.71} \approx 0.1972

Comparando las probabilidades, observamos que $P(O|H) \approx 0.5070$ es la mayor.Por lo tanto, si el trabajador elegido es hombre, es más probable que pertenezca al colectivo de operarios.

T6: Teoría de muestras

Inferencia estadística y distribución normal

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

6

Una industria conservera envasa latas de anchoas cuyo peso en gramos sigue una distribución Normal con media poblacional desconocida y desviación típica $1\text{ g}$ . Para estimar la media poblacional, se selecciona al azar una muestra de $30$ latas que dan un peso total de $2404.5\text{ g}$ .

a) Determine un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

99 \%

, para estimar el peso medio de las latas envasadas por la conservera.b) Calcule el tamaño mínimo de una nueva muestra para que, manteniendo el mismo nivel de confianza, el error máximo de estimación de la media poblacional sea menor que

0.3\text{ g}

.c) Explique, razonadamente, el efecto que tendría sobre el error máximo de estimación un aumento del número de latas seleccionadas en la muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza, y explique también qué ocurriría con dicho error si se aumentara el nivel de confianza manteniendo el mismo tamaño muestral.

Intervalos de confianzaDistribución normalError de estimación

Datos proporcionados:Desviación típica poblacional: $\sigma = 1\text{ g}$ Tamaño de la muestra: $n = 30$ Peso total de la muestra: $2404.5\text{ g}$ Nivel de confianza: $99\%$ Cálculo de la media muestral:

\bar{x} = \frac{\text{Peso total}}{n} = \frac{2404.5}{30} = 80.15\text{ g}

a) Determine un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

99 \%

, para estimar el peso medio de las latas envasadas por la conservera.

Para un nivel de confianza del $99\%$ , el valor de $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.005$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.005 = 0.995$ . En la tabla de la distribución Normal estándar, el valor $z_{0.005}$ que corresponde a un área de $0.995$ es $2.575$ .La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ con desviación típica poblacional conocida es:

\text{IC} = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Calculamos el error máximo de estimación (E):

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.575 \frac{1}{\sqrt{30}}

E \approx 2.575 \frac{1}{5.4772} \approx 0.4701

Sustituyendo los valores:

\text{IC} = (80.15 - 0.4701, 80.15 + 0.4701)

\text{IC} = (79.6799, 80.6201)

El intervalo de confianza del $99\%$ para el peso medio de las latas es $(79.68\text{ g}, 80.62\text{ g})$ (redondeado a dos decimales).

b) Calcule el tamaño mínimo de una nueva muestra para que, manteniendo el mismo nivel de confianza, el error máximo de estimación de la media poblacional sea menor que

0.3\text{ g}

.

La fórmula para el error máximo de estimación es $E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Despejando $n$ :

\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \Rightarrow n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2

Tenemos los siguientes datos: $z_{\alpha/2} = 2.575$ (para un nivel de confianza del $99\%$ ) $\sigma = 1\text{ g}$ Error máximo deseado: $E < 0.3\text{ g}$ Sustituyendo los valores en la fórmula:

n = \left( \frac{2.575 \cdot 1}{0.3} \right)^2

n = \left( \frac{2.575}{0.3} \right)^2 = (8.5833...)^2 \approx 73.673

Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser menor que $0.3\text{ g}$ , debemos redondear al siguiente entero superior. Por lo tanto, el tamaño mínimo de la muestra es $74$ latas.

c) Explique, razonadamente, el efecto que tendría sobre el error máximo de estimación un aumento del número de latas seleccionadas en la muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza, y explique también qué ocurriría con dicho error si se aumentara el nivel de confianza manteniendo el mismo tamaño muestral.

El error máximo de estimación ( $E$ ) viene dado por la fórmula $E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .1. Efecto de un aumento del número de latas seleccionadas ( $n$ ):Si se aumenta el número de latas seleccionadas en la muestra ( $n$ ), y se mantiene constante el nivel de confianza ( $z_{\alpha/2}$ ) y la desviación típica poblacional ( $\sigma$ ), el valor de $\sqrt{n}$ aumenta. Dado que $\sqrt{n}$ se encuentra en el denominador de la fórmula del error ( $E$ ), un aumento de $n$ provocará una disminución del error máximo de estimación. Esto significa que la estimación de la media poblacional será más precisa.2. Efecto de un aumento del nivel de confianza:Si se aumenta el nivel de confianza (por ejemplo, del $95\%$ al $99\%$ ), manteniendo constante el tamaño muestral ( $n$ ) y la desviación típica poblacional ( $\sigma$ ), el valor crítico $z_{\alpha/2}$ aumentará (ya que se requiere un intervalo más amplio para asegurar una mayor confianza). Dado que $z_{\alpha/2}$ se encuentra en el numerador de la fórmula del error ( $E$ ), un aumento del nivel de confianza provocará un aumento del error máximo de estimación. Esto implica que el intervalo de confianza se hará más amplio, reflejando una mayor incertidumbre sobre la ubicación exacta de la media poblacional, a cambio de una mayor seguridad de que el verdadero parámetro se encuentra dentro de ese intervalo.

T6: Teoría de muestras

Muestreo y distribuciones muestrales

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

7

a) Dada la población

\{-4, -2, 1, 4, 6\}

, calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño

2

obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.b) Una empresa multinacional con

10\,000

empleados desea realizar un estudio sobre la brecha salarial de género en su organización. La empresa está dividida en tres niveles jerárquicos, en los que se tiene

1000

empleados de nivel ejecutivo, siendo el

30 \%

mujeres,

3000

empleados de nivel medio, de los cuales el

55 \%

son hombres, y el resto empleados de nivel operativo, de los que el

55 \%

son mujeres. Se quiere seleccionar una muestra estratificada de

2000

empleados, manteniendo la proporción de cada nivel jerárquico y la distribución de género dentro de cada nivel. ¿Cuántos empleados deben seleccionarse en cada nivel jerárquico? y dentro de cada uno, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres deben seleccionarse?

Muestreo estratificadoVarianzaMedia muestral

a) Calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño

2

obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.

La población dada es $\{-4, -2, 1, 4, 6\}$ , con un tamaño de población $N=5$ .El tamaño de la muestra es $n=2$ .Primero, calculamos la media poblacional ( $\mu$ ):

\mu = \frac{\sum x_i}{N} = \frac{-4 + (-2) + 1 + 4 + 6}{5} = \frac{5}{5} = 1

Luego, calculamos la varianza poblacional ( $\sigma^2$ ):

\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}

\sum (x_i - \mu)^2 = (-4-1)^2 + (-2-1)^2 + (1-1)^2 + (4-1)^2 + (6-1)^2

\sum (x_i - \mu)^2 = (-5)^2 + (-3)^2 + (0)^2 + (3)^2 + (5)^2

\sum (x_i - \mu)^2 = 25 + 9 + 0 + 9 + 25 = 68

\sigma^2 = \frac{68}{5} = 13.6

Para el muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento de una población finita, la varianza de la distribución de las medias muestrales ( $\sigma_{\bar{x}}^2$ ) se calcula mediante la fórmula:

\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} \cdot \frac{N-n}{N-1}

Sustituyendo los valores conocidos:

\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{13.6}{2} \cdot \frac{5-2}{5-1}

\sigma_{\bar{x}}^2 = 6.8 \cdot \frac{3}{4}

\sigma_{\bar{x}}^2 = 6.8 \cdot 0.75

\sigma_{\bar{x}}^2 = 5.1

La varianza de la distribución de las medias muestrales es $5.1$ .

b) ¿Cuántos empleados deben seleccionarse en cada nivel jerárquico? y dentro de cada uno, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres deben seleccionarse?

La población total de empleados es $N = 10\,000$ . La muestra deseada es de $n = 2000$ empleados.La fracción de muestreo ( $f$ ) es:

f = \frac{n}{N} = \frac{2000}{10000} = 0.2

Calculamos el número de empleados en cada nivel jerárquico de la población y su distribución por género:Nivel Ejecutivo (N1): $1000$ empleados

\text{Mujeres: } 0.30 \cdot 1000 = 300

\text{Hombres: } 0.70 \cdot 1000 = 700

Nivel Medio (N2): $3000$ empleados

\text{Hombres: } 0.55 \cdot 3000 = 1650

\text{Mujeres: } 0.45 \cdot 3000 = 1350

Nivel Operativo (N3): $10000 - 1000 - 3000 = 6000$ empleados

\text{Mujeres: } 0.55 \cdot 6000 = 3300

\text{Hombres: } 0.45 \cdot 6000 = 2700

Ahora, calculamos el número de empleados a seleccionar en cada nivel jerárquico de la muestra, aplicando la fracción de muestreo ( $0.2$ ):Muestra del Nivel Ejecutivo (n1):

n_1 = 0.2 \cdot 1000 = 200 \text{ empleados}

Dentro de este nivel:

\text{Mujeres: } 0.30 \cdot 200 = 60

\text{Hombres: } 0.70 \cdot 200 = 140

Muestra del Nivel Medio (n2):

n_2 = 0.2 \cdot 3000 = 600 \text{ empleados}

Dentro de este nivel:

\text{Hombres: } 0.55 \cdot 600 = 330

\text{Mujeres: } 0.45 \cdot 600 = 270

Muestra del Nivel Operativo (n3):

n_3 = 0.2 \cdot 6000 = 1200 \text{ empleados}

Dentro de este nivel:

\text{Mujeres: } 0.55 \cdot 1200 = 660

\text{Hombres: } 0.45 \cdot 1200 = 540

Resumen de la selección de la muestra: Nivel Ejecutivo: $200$ empleados ( $140$ hombres y $60$ mujeres). Nivel Medio: $600$ empleados ( $330$ hombres y $270$ mujeres). Nivel Operativo: $1200$ empleados ( $540$ hombres y $660$ mujeres).

T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de problemas con sistemas y álgebra matricial

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

1

BLOQUE A - EJERCICIO 1

a) Un fabricante de paneles fotovoltaicos está analizando la eficiencia de tres modelos de placas (A, B y C). En un día determinado se realizaron tres pruebas. En la primera, utilizando 2 placas del modelo A, 1 placa del modelo B y 3 placas del modelo C, se generó una potencia efectiva total de

2960W

. En la segunda, al combinar 1 placa del modelo A, 3 placas del modelo B y 2 placas del modelo C, se obtuvo una potencia efectiva total de

2990W

. En la tercera, una configuración con 3 placas del modelo A, 2 placas del modelo B y 1 placa del modelo C produjo una potencia efectiva total de

2870W

. Exprese el problema en forma matricial y discuta, a partir de la matriz del sistema, si se puede obtener la potencia efectiva que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica. En caso afirmativo, obtenga dichas potencias efectivas.b) Resuelva la ecuación matricial

2X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Sistemas de ecuacionesMatricesEcuación matricial

a) Exprese el problema en forma matricial y discuta, a partir de la matriz del sistema, si se puede obtener la potencia efectiva que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica. En caso afirmativo, obtenga dichas potencias efectivas.

Sean $x$ , $y$ y $z$ las potencias efectivas individuales generadas por los modelos de placas fotovoltaicas A, B y C, respectivamente. De acuerdo con las pruebas realizadas, podemos establecer el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\begin{cases} 2x + y + 3z = 2960 \\ x + 3y + 2z = 2990 \\ 3x + 2y + z = 2870 \end{cases}

Este sistema puede expresarse en forma matricial como $A \cdot X = B$ , donde:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2960 \\ 2990 \\ 2870 \end{pmatrix}

Para determinar si se puede obtener la potencia efectiva individual de cada modelo, necesitamos analizar el determinante de la matriz de coeficientes $A$ . Si $\det(A) \neq 0$ , el sistema tiene una solución única.

\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) + 3(1 \cdot 2 - 3 \cdot 3)

\det(A) = 2(3 - 4) - 1(1 - 6) + 3(2 - 9)

\det(A) = 2(-1) - 1(-5) + 3(-7)

\det(A) = -2 + 5 - 21 = -18

Dado que $\det(A) = -18 \neq 0$ , la matriz $A$ es invertible, lo que significa que el sistema tiene una única solución. Por lo tanto, sí se pueden obtener las potencias efectivas que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica.Resolvemos el sistema utilizando la Regla de Cramer:

\det(A_x) = \begin{vmatrix} 2960 & 1 & 3 \\ 2990 & 3 & 2 \\ 2870 & 2 & 1 \end{vmatrix}

\det(A_x) = 2960(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1(2990 \cdot 1 - 2 \cdot 2870) + 3(2990 \cdot 2 - 3 \cdot 2870)

\det(A_x) = 2960(-1) - 1(2990 - 5740) + 3(5980 - 8610)

\det(A_x) = -2960 - 1(-2750) + 3(-2630) = -2960 + 2750 - 7890 = -8100

x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-8100}{-18} = 450

\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 2960 & 3 \\ 1 & 2990 & 2 \\ 3 & 2870 & 1 \end{vmatrix}

\det(A_y) = 2(2990 \cdot 1 - 2 \cdot 2870) - 2960(1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) + 3(1 \cdot 2870 - 2990 \cdot 3)

\det(A_y) = 2(2990 - 5740) - 2960(1 - 6) + 3(2870 - 8970)

\det(A_y) = 2(-2750) - 2960(-5) + 3(-6100) = -5500 + 14800 - 18300 = -9000

y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-9000}{-18} = 500

\det(A_z) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2960 \\ 1 & 3 & 2990 \\ 3 & 2 & 2870 \end{vmatrix}

\det(A_z) = 2(3 \cdot 2870 - 2 \cdot 2990) - 1(1 \cdot 2870 - 3 \cdot 2990) + 2960(1 \cdot 2 - 3 \cdot 3)

\det(A_z) = 2(8610 - 5980) - 1(2870 - 8970) + 2960(2 - 9)

\det(A_z) = 2(2630) - 1(-6100) + 2960(-7) = 5260 + 6100 - 20720 = -9360

z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)} = \frac{-9360}{-18} = 520

Las potencias efectivas individuales son: Modelo A = $450 W$ , Modelo B = $500 W$ , Modelo C = $520 W$ .

b) Resuelva la ecuación matricial

2X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Primero, calculamos el cuadrado de la matriz $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ :

M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

M^2 = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 & 0 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \end{pmatrix}

M^2 = \begin{pmatrix} 1 + 0 & 1 - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Ahora sustituimos $M^2$ en la ecuación original:

2X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Realizamos la multiplicación de la matriz identidad por el vector columna:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 4 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 4 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

La ecuación se simplifica a:

2X = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Finalmente, resolvemos para $X$ dividiendo por 2:

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1/2 \end{pmatrix}

T3: Programación lineal

Optimización de recursos

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

2

BLOQUE A - EJERCICIO 2

Un agricultor cultiva dos tipos de lechuga: iceberg y romana. Por razones de demanda, en cada ciclo de cultivo, la cantidad de iceberg debe ser al menos la mitad de la de romana, pero no puede superar las 1500 unidades. Además, deben cultivarse en total entre 900 y 2400 lechugas. El cultivo de iceberg requiere 15 litros de agua por unidad, mientras que el de romana necesita 18 litros de agua por unidad. ¿Cuántas unidades de cada tipo de lechuga deben cultivarse para minimizar el consumo total de agua?

Programación linealMinimizaciónRestricciones

Resolución del problema de programación lineal

a) Definición de variables y función objetivo

Definimos las variables del problema basándonos en las cantidades de lechuga a cultivar: $x$ : número de lechugas de tipo iceberg. $y$ : número de lechugas de tipo romana.El objetivo es minimizar el consumo total de agua, que viene dado por la función:

f(x, y) = 15x + 18y

b) Planteamiento de las restricciones

Traducimos las condiciones del enunciado a un sistema de inecuaciones lineales:1. La cantidad de iceberg debe ser al menos la mitad de la de romana: $x \geq \frac{y}{2} \implies 2x - y \geq 0$ . 2. La cantidad de iceberg no puede superar las 1500 unidades: $x \leq 1500$ . 3. El total de lechugas debe estar entre 900 y 2400: $900 \leq x + y \leq 2400$ . 4. Las cantidades no pueden ser negativas: $x \geq 0, y \geq 0$ .

c) Determinación de la región factible y vértices

La región factible es el polígono delimitado por las restricciones anteriores. Calculamos los vértices mediante la intersección de las rectas correspondientes:• $A$ : Intersección de $2x - y = 0$ y $x + y = 900 \implies 3x = 900 \implies A(300, 600)$ . • $B$ : Intersección de $2x - y = 0$ y $x + y = 2400 \implies 3x = 2400 \implies B(800, 1600)$ . • $C$ : Intersección de $x = 1500$ y $x + y = 2400 \implies C(1500, 900)$ . • $D$ : Intersección de $x = 1500$ y $y = 0 \implies D(1500, 0)$ . • $E$ : Intersección de $x + y = 900$ y $y = 0 \implies E(900, 0)$ .

d) Evaluación y solución óptima

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 15x + 18y$ en cada uno de los vértices hallados:• $f(300, 600) = 15(300) + 18(600) = 4500 + 10800 = 15300$ litros. • $f(800, 1600) = 15(800) + 18(1600) = 12000 + 28800 = 40800$ litros. • $f(1500, 900) = 15(1500) + 18(900) = 22500 + 16200 = 38700$ litros. • $f(1500, 0) = 15(1500) + 18(0) = 22500$ litros. • $f(900, 0) = 15(900) + 18(0) = 13500$ litros.El consumo mínimo de agua se alcanza cultivando 900 unidades de lechuga iceberg y 0 unidades de lechuga romana, resultando en un consumo total de 13500 litros de agua.

T4: Funciones

Funciones definidas a trozos y aplicaciones económicas

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

3

BLOQUE B - EJERCICIO 3

Trinidad, una persona ahorradora, deposita $5000 \,\text{euros}$ en un fondo de inversión y el capital final que obtiene cuando transcurren $t$ años viene dado por la siguiente función:

f(t) = \begin{cases} 5000 \cdot (1 + 0.05t) & 0 \le t \le 1 \\ 5000 \cdot 1.05^t & t > 1 \end{cases}

a) ¿Cuánto tiempo debe mantener invertido el dinero si el capital final que se obtiene es de

5931.10 \,\text{euros}

?b) Calcule los intereses que obtiene Trinidad entre el año 2 y el año 4, si se conoce que los intereses que genera esta inversión entre el año

t_1

y el año

t_2

vienen dados por

I = f(t_2) - f(t_1)

.c) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función

f

.d) Estudie la monotonía de la función

f

y esboce su gráfica.

ContinuidadDerivabilidadMonotonía+1

a) ¿Cuánto tiempo debe mantener invertido el dinero si el capital final que se obtiene es de

5931.10 \,\text{euros}

?

Tenemos que encontrar el valor de $t$ para el cual $f(t) = 5931.10$ . Probaremos con ambas ramas de la función.Caso 1: $0 \le t \le 1$

5000 \cdot (1 + 0.05t) = 5931.10

1 + 0.05t = \frac{5931.10}{5000}

1 + 0.05t = 1.18622

0.05t = 0.18622

t = \frac{0.18622}{0.05} = 3.7244

Este valor de $t=3.7244$ no está en el intervalo $0 \le t \le 1$ , por lo que esta rama no es aplicable.Caso 2: $t > 1$

5000 \cdot 1.05^t = 5931.10

1.05^t = \frac{5931.10}{5000}

1.05^t = 1.18622

Aplicamos logaritmos para despejar $t$ :

t \cdot \ln(1.05) = \ln(1.18622)

t = \frac{\ln(1.18622)}{\ln(1.05)} \approx \frac{0.17079}{0.04879} \approx 3.5

Este valor de $t=3.5$ está en el intervalo $t > 1$ . Por lo tanto, el tiempo que debe mantener invertido el dinero es $3.5$ años.

b) Calcule los intereses que obtiene Trinidad entre el año 2 y el año 4, si se conoce que los intereses que genera esta inversión entre el año

t_1

y el año

t_2

vienen dados por

I = f(t_2) - f(t_1)

.

Para calcular los intereses entre el año $t_1=2$ y el año $t_2=4$ , ambos valores de $t$ son mayores que $1$ , por lo que utilizamos la segunda rama de la función: $f(t) = 5000 \cdot 1.05^t$ .Calculamos $f(4)$ :

f(4) = 5000 \cdot 1.05^4 = 5000 \cdot 1.21550625 = 6077.53125

Calculamos $f(2)$ :

f(2) = 5000 \cdot 1.05^2 = 5000 \cdot 1.1025 = 5512.5

Los intereses son $I = f(4) - f(2)$ :

I = 6077.53125 - 5512.5 = 565.03125

Los intereses obtenidos entre el año 2 y el año 4 son $565.03 \,\text{euros}$ .

c) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función

f

.

Continuidad

Cada una de las ramas de $f(t)$ es continua en su dominio de definición: $5000 \cdot (1 + 0.05t)$ es un polinomio (función lineal) y $5000 \cdot 1.05^t$ es una función exponencial. Ambas son continuas en todos los números reales.Debemos estudiar la continuidad en el punto de unión de las ramas, $t=1$ .1. Valor de la función en $t=1$ :

f(1) = 5000 \cdot (1 + 0.05 \cdot 1) = 5000 \cdot 1.05 = 5250

2. Límites laterales en $t=1$ :

\lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1^-} 5000 \cdot (1 + 0.05t) = 5000 \cdot (1 + 0.05) = 5250

\lim_{t \to 1^+} f(t) = \lim_{t \to 1^+} 5000 \cdot 1.05^t = 5000 \cdot 1.05^1 = 5250

Como $f(1) = \lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1^+} f(t)$ , la función $f(t)$ es continua en $t=1$ .Por lo tanto, la función $f(t)$ es continua para $t \ge 0$ .

Derivabilidad

Calculamos la derivada de cada rama:

f'(t) = \begin{cases} \frac{d}{dt}(5000 + 250t) & 0 < t < 1 \\ \frac{d}{dt}(5000 \cdot 1.05^t) & t > 1 \end{cases}

f'(t) = \begin{cases} 250 & 0 < t < 1 \\ 5000 \cdot 1.05^t \cdot \ln(1.05) & t > 1 \end{cases}

Ahora estudiamos la derivabilidad en el punto de unión $t=1$ calculando las derivadas laterales:Derivada por la izquierda en $t=1$ :

f'(1^-) = 250

Derivada por la derecha en $t=1$ :

f'(1^+) = 5000 \cdot 1.05^1 \cdot \ln(1.05) = 5250 \cdot \ln(1.05)

Usando el valor de $\ln(1.05) \approx 0.04879$ :

f'(1^+) \approx 5250 \cdot 0.04879 \approx 256.1475

Dado que $f'(1^-) = 250 \ne f'(1^+) \approx 256.1475$ , la función $f(t)$ no es derivable en $t=1$ .La función es derivable en $(0, 1) \cup (1, \infty)$ .

d) Estudie la monotonía de la función

f

y esboce su gráfica.

Monotonía

Estudiamos el signo de la primera derivada $f'(t)$ :Para $0 < t < 1$ :

f'(t) = 250

Como $f'(t) = 250 > 0$ , la función es estrictamente creciente en el intervalo $(0, 1)$ .Para $t > 1$ :

f'(t) = 5000 \cdot 1.05^t \cdot \ln(1.05)

Dado que $5000 > 0$ , $1.05^t > 0$ para todo $t$ , y $\ln(1.05) > 0$ (porque $1.05 > 1$ ), entonces $f'(t) > 0$ .Por lo tanto, la función es estrictamente creciente en el intervalo $(1, \infty)$ .Al ser la función continua en $t=1$ y estrictamente creciente en ambos intervalos adyacentes, concluimos que la función $f(t)$ es estrictamente creciente para todo $t \ge 0$ .

Esbozo de la gráfica

Para esbozar la gráfica, consideramos los siguientes puntos y comportamientos:* Punto inicial: $f(0) = 5000 \cdot (1 + 0.05 \cdot 0) = 5000$ . La gráfica comienza en $(0, 5000)$ .* Punto de unión: $f(1) = 5250$ . La gráfica pasa por $(1, 5250)$ .* Para $0 \le t \le 1$ : la función es lineal y creciente. Une el punto $(0, 5000)$ con $(1, 5250)$ con una línea recta.* Para $t > 1$ : la función es exponencial y creciente. A partir del punto $(1, 5250)$ , la gráfica sigue aumentando, pero con una curvatura hacia arriba (crecimiento acelerado).* La gráfica será continua en $t=1$ , pero no "suave" (tendrá un "pico" o "esquina") debido a la no derivabilidad en ese punto.

T5: Probabilidad

Probabilidad condicionada e independencia

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

4

BLOQUE C - EJERCICIO 4

En un determinado centro educativo, el $50\%$ del alumnado aprueba Historia, el $70\%$ aprueba Matemáticas y el $30\%$ aprueba ambas asignaturas. Si se elige un alumno al azar:

a) Halle la probabilidad de que apruebe solo una de las dos asignaturas.b) Halle la probabilidad de que no apruebe más de una asignatura.c) Halle la probabilidad de que apruebe Historia si ha suspendido Matemáticas.d) Determine si los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" son independientes. ¿Son incompatibles?

ProbabilidadIndependenciaIncompatibilidad

Definimos los sucesos: $H$ : el alumno aprueba Historia. $M$ : el alumno aprueba Matemáticas.Las probabilidades dadas son:

P(H) = 0,50

P(M) = 0,70

P(H \cap M) = 0,30

A partir de estos datos, podemos calcular otras probabilidades:Probabilidad de aprobar al menos una asignatura (unión):

P(H \cup M) = P(H) + P(M) - P(H \cap M) = 0,50 + 0,70 - 0,30 = 0,90

Probabilidad de aprobar solo Historia ( $H$ y no $M$ ):

P(H \cap M^c) = P(H) - P(H \cap M) = 0,50 - 0,30 = 0,20

Probabilidad de aprobar solo Matemáticas ( $M$ y no $H$ ):

P(M \cap H^c) = P(M) - P(H \cap M) = 0,70 - 0,30 = 0,40

Probabilidad de no aprobar ninguna asignatura:

P(H^c \cap M^c) = P((H \cup M)^c) = 1 - P(H \cup M) = 1 - 0,90 = 0,10

a) Halle la probabilidad de que apruebe solo una de las dos asignaturas.

La probabilidad de aprobar solo una asignatura es la suma de la probabilidad de aprobar solo Historia y la probabilidad de aprobar solo Matemáticas.

P(\text{solo una}) = P(H \cap M^c) + P(M \cap H^c)

P(\text{solo una}) = 0,20 + 0,40 = 0,60

b) Halle la probabilidad de que no apruebe más de una asignatura.

Esto significa que el alumno aprueba cero asignaturas o aprueba exactamente una asignatura. Es el complemento de aprobar ambas asignaturas.

P(\text{no apruebe más de una}) = 1 - P(H \cap M)

P(\text{no apruebe más de una}) = 1 - 0,30 = 0,70

Alternativamente, es la suma de las probabilidades de no aprobar ninguna, solo Historia o solo Matemáticas:

P(\text{no apruebe más de una}) = P(H^c \cap M^c) + P(H \cap M^c) + P(M \cap H^c)

P(\text{no apruebe más de una}) = 0,10 + 0,20 + 0,40 = 0,70

c) Halle la probabilidad de que apruebe Historia si ha suspendido Matemáticas.

Esta es una probabilidad condicionada: $P(H | M^c)$ . Necesitamos $P(M^c)$ , la probabilidad de suspender Matemáticas.

P(M^c) = 1 - P(M) = 1 - 0,70 = 0,30

Utilizando la fórmula de probabilidad condicionada:

P(H | M^c) = \frac{P(H \cap M^c)}{P(M^c)}

P(H | M^c) = \frac{0,20}{0,30} = \frac{2}{3} \approx 0,6667

d) Determine si los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" son independientes. ¿Son incompatibles?

Para que dos sucesos $H$ y $M$ sean independientes, se debe cumplir que $P(H \cap M) = P(H) \cdot P(M)$ .

P(H \cap M) = 0,30

P(H) \cdot P(M) = 0,50 \cdot 0,70 = 0,35

Dado que $0,30 \neq 0,35$ , los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" no son independientes.Para que dos sucesos sean incompatibles (o mutuamente excluyentes), su intersección debe ser un conjunto vacío, lo que implica que $P(H \cap M) = 0$ .

P(H \cap M) = 0,30

Dado que $0,30 \neq 0$ , los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" no son incompatibles.

T5: Probabilidad

Teorema de la probabilidad total y de Bayes

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

5

BLOQUE C - EJERCICIO 5

Los alumnos de un colegio de una localidad andaluza van a realizar una excursión a la estación de esquí de Sierra Nevada desplazándose en tres autobuses A, B y C. En el autobús A se desplazan cuatro novenos de los alumnos de la excursión, en el B se desplaza la tercera parte y el resto van en el autobús C. Se sabe que el $65\%$ de los alumnos que viajan en el autobús A y el $40\%$ de los del autobús B no sabe esquiar y todos los del autobús C sí que saben esquiar. Se escoge al azar a uno de los alumnos de la excursión. Calcule la probabilidad de que:

a) Sepa esquiar.b) Viaje en el autobús C, si sabe esquiar.c) Sepa esquiar y no viaje en el autobús B.

Teorema de BayesProbabilidad totalDiagrama de árbol

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El alumno viaja en el autobús A. $B$ : El alumno viaja en el autobús B. $C$ : El alumno viaja en el autobús C. $E$ : El alumno sabe esquiar.Las probabilidades de viajar en cada autobús son:

P(A) = \frac{4}{9}

P(B) = \frac{1}{3} = \frac{3}{9}

P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - \frac{4}{9} - \frac{3}{9} = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}

Las probabilidades de no saber esquiar o saber esquiar, condicionales al autobús, son:

P(\bar{E}|A) = 0.65 \implies P(E|A) = 1 - 0.65 = 0.35

P(\bar{E}|B) = 0.40 \implies P(E|B) = 1 - 0.40 = 0.60

P(E|C) = 1

a) Sepa esquiar.

Para calcular la probabilidad de que un alumno escogido al azar sepa esquiar, aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total:

P(E) = P(E|A)P(A) + P(E|B)P(B) + P(E|C)P(C)

P(E) = (0.35)\left(\frac{4}{9}\right) + (0.60)\left(\frac{1}{3}\right) + (1)\left(\frac{2}{9}\right)

P(E) = \frac{1.4}{9} + \frac{0.60 \cdot 3}{9} + \frac{2}{9}

P(E) = \frac{1.4}{9} + \frac{1.8}{9} + \frac{2}{9}

P(E) = \frac{1.4 + 1.8 + 2}{9} = \frac{5.2}{9}

P(E) = \frac{52}{90} = \frac{26}{45} \approx 0.5778

b) Viaje en el autobús C, si sabe esquiar.

Aplicamos el Teorema de Bayes para calcular $P(C|E)$ :

P(C|E) = \frac{P(E|C)P(C)}{P(E)}

Sustituimos los valores calculados en el apartado a):

P(C|E) = \frac{(1)\left(\frac{2}{9}\right)}{\frac{5.2}{9}}

P(C|E) = \frac{2}{5.2} = \frac{20}{52} = \frac{5}{13} \approx 0.3846

c) Sepa esquiar y no viaje en el autobús B.

Se nos pide calcular la probabilidad $P(E \cap \bar{B})$ . Podemos expresar este suceso como la unión de dos sucesos mutuamente excluyentes: el alumno sabe esquiar y viaja en el autobús A ( $E \cap A$ ), o el alumno sabe esquiar y viaja en el autobús C ( $E \cap C$ ). Es decir, $E \cap \bar{B} = (E \cap A) \cup (E \cap C)$ .

P(E \cap \bar{B}) = P(E \cap A) + P(E \cap C)

Calculamos cada término:

P(E \cap A) = P(E|A)P(A) = (0.35)\left(\frac{4}{9}\right) = \frac{1.4}{9}

P(E \cap C) = P(E|C)P(C) = (1)\left(\frac{2}{9}\right) = \frac{2}{9}

Sumando ambas probabilidades:

P(E \cap \bar{B}) = \frac{1.4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3.4}{9}

P(E \cap \bar{B}) = \frac{34}{90} = \frac{17}{45} \approx 0.3778

Alternativamente, también se puede calcular como $P(E \cap \bar{B}) = P(E) - P(E \cap B)$ .

P(E \cap B) = P(E|B)P(B) = (0.60)\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{0.60}{3} = 0.20

P(E \cap B) = \frac{0.60 \cdot 3}{9} = \frac{1.8}{9}

P(E \cap \bar{B}) = P(E) - P(E \cap B) = \frac{5.2}{9} - \frac{1.8}{9} = \frac{3.4}{9} = \frac{17}{45}

T6: Teoría de muestras

Intervalos de confianza para la proporción

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

6

BLOQUE D - EJERCICIO 6

A partir de un estudio muestral se sabe que, con un nivel de confianza del $95\%$ , la proporción de estudiantes de una universidad que tienen carnet de conducir pertenece al intervalo $(0.5616, 0.7184)$ .

a) Calcule la proporción muestral de estudiantes que tienen carnet de conducir.b) Calcule el error máximo cometido en la estimación de la proporción poblacional.c) Calcule el tamaño de la muestra seleccionada.d) Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo un aumento del tamaño muestral.

Intervalo de confianzaProporción poblacionalTamaño muestral

Se nos proporciona un intervalo de confianza para la proporción poblacional de estudiantes que tienen carnet de conducir, junto con el nivel de confianza.Intervalo de confianza: $(0.5616, 0.7184)$ Nivel de confianza: $95\%$

a) Calcule la proporción muestral de estudiantes que tienen carnet de conducir.

La proporción muestral ( $\hat{p}$ ) es el punto medio del intervalo de confianza.

\hat{p} = \frac{\text{Límite inferior} + \text{Límite superior}}{2}

\hat{p} = \frac{0.5616 + 0.7184}{2} = \frac{1.28}{2} = 0.64

La proporción muestral de estudiantes con carnet de conducir es $0.64$ .

b) Calcule el error máximo cometido en la estimación de la proporción poblacional.

El error máximo (E) es la mitad de la amplitud del intervalo de confianza.

E = \frac{\text{Límite superior} - \text{Límite inferior}}{2}

E = \frac{0.7184 - 0.5616}{2} = \frac{0.1568}{2} = 0.0784

El error máximo cometido es $0.0784$ .

c) Calcule el tamaño de la muestra seleccionada.

Para un nivel de confianza del $95\%$ , el valor crítico $z_{\alpha/2}$ se encuentra buscando el valor $P(Z \le z) = 1 - \alpha/2 = 1 - (1-0.95)/2 = 1 - 0.025 = 0.975$ en la tabla de la distribución normal estándar. Este valor es $z_{\alpha/2} = 1.96$ .La fórmula para el error máximo en la estimación de una proporción es:

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Despejamos $n$ :

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}

Sustituimos los valores conocidos: $\hat{p} = 0.64$ , $1-\hat{p} = 0.36$ , $E = 0.0784$ y $z_{\alpha/2} = 1.96$ .

n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.64 \cdot 0.36}{(0.0784)^2}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.2304}{0.00614656}

n = \frac{0.88506896}{0.00614656} \approx 143.999

El tamaño de la muestra debe ser un número entero, por lo tanto, $n = 144$ .

d) Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo un aumento del tamaño muestral.

La amplitud del intervalo de confianza es $2E$ . A partir de la fórmula del error máximo:

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Un aumento del tamaño muestral ( $n$ ) provoca una disminución del valor de $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ . Como consecuencia, el error máximo $E$ se reduce. Al reducirse el error máximo $E$ , la amplitud del intervalo ( $2E$ ) también disminuye. Esto significa que el intervalo de confianza se vuelve más estrecho, lo que implica una estimación más precisa de la proporción poblacional.

Matemáticas CCSS II