Teoría de muestras — Matemáticas CCSS II PEvAU Andalucía

Intervalo de confianza para la proporción

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

6

EJERCICIO 6

Se selecciona una muestra aleatoria de 600 familias a las que se les pregunta si tienen mascota, resultando que 240 de esas familias contestaron afirmativamente. Con un nivel de confianza del $95\%$ ,

a) Obtenga el correspondiente intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de familias que tienen mascota. ¿Puede suponerse que la mitad de las familias de esta población tiene mascota?b) ¿Qué tamaño muestral mínimo se debe tomar para que el error máximo al estimar esta proporción sea 0.025?c) Explique razonadamente el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza de la proporción poblacional el aumento del tamaño de la muestra elegida.

Intervalo de confianzaProporciónTamaño muestral

Datos iniciales:Tamaño de la muestra: $n = 600$ Número de familias con mascota: $x = 240$ Proporción muestral de familias con mascota: $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{240}{600} = 0.4$ Proporción muestral de familias sin mascota: $1 - \hat{p} = 1 - 0.4 = 0.6$ Nivel de confianza: $95\%$ . Esto implica que $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ . El valor crítico de $z$ para este nivel de confianza es $z_{\alpha/2} = z_{0.025}$ . Buscando en la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que $z_{0.025} = 1.96$ (ya que $P(Z \le 1.96) = 0.975$ ).

a) Obtenga el correspondiente intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de familias que tienen mascota. ¿Puede suponerse que la mitad de las familias de esta población tiene mascota?

La fórmula del intervalo de confianza para una proporción poblacional es:

\text{IC} = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Calculamos el error máximo de estimación (margen de error):

E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.4(0.6)}{600}}

E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.24}{600}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.0004} = 1.96 \cdot 0.02 = 0.0392

El intervalo de confianza es:

\text{IC} = 0.4 \pm 0.0392

\text{IC} = (0.4 - 0.0392, 0.4 + 0.0392) = (0.3608, 0.4392)

Para responder si puede suponerse que la mitad de las familias tiene mascota, debemos verificar si la proporción $p = 0.5$ está incluida en el intervalo de confianza calculado. Dado que $0.5$ no se encuentra dentro del intervalo $(0.3608, 0.4392)$ , no puede suponerse con un nivel de confianza del $95\%$ que la mitad de las familias de esta población tiene mascota.

b) ¿Qué tamaño muestral mínimo se debe tomar para que el error máximo al estimar esta proporción sea 0.025?

Se nos pide que el error máximo de estimación sea $E = 0.025$ . Utilizaremos la proporción muestral $\hat{p} = 0.4$ obtenida en el apartado anterior como una estimación de la proporción poblacional. El valor crítico de $z$ sigue siendo $z_{\alpha/2} = 1.96$ para un nivel de confianza del $95\%$ . La fórmula para el tamaño muestral es:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}

Sustituyendo los valores:

n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.4(1-0.4)}{(0.025)^2}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.4 \cdot 0.6}{0.000625}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.24}{0.000625} = \frac{0.921984}{0.000625} \approx 1475.1744

Como el tamaño muestral debe ser un número entero, se debe redondear al alza. Por lo tanto, el tamaño muestral mínimo que se debe tomar es $1476$ familias.

c) Explique razonadamente el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza de la proporción poblacional el aumento del tamaño de la muestra elegida.

La amplitud del intervalo de confianza para una proporción poblacional se define como dos veces el error máximo de estimación ( $A = 2E$ ). La fórmula del error máximo es:

E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Por lo tanto, la amplitud es:

A = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Observando esta fórmula, si el tamaño de la muestra ( $n$ ) aumenta, el denominador de la fracción dentro de la raíz cuadrada ( $n$ ) también aumenta. Esto provoca que el valor de la fracción $\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}$ disminuya. Consecuentemente, su raíz cuadrada $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ también disminuye.Dado que el valor crítico $z_{\alpha/2}$ y las proporciones $\hat{p}(1-\hat{p})$ se mantienen constantes para un nivel de confianza y una estimación dados, la disminución del término de la raíz cuadrada provoca una disminución del error máximo de estimación ( $E$ ) y, por ende, una disminución de la amplitud ( $A$ ) del intervalo de confianza.En resumen, un aumento del tamaño de la muestra elegida reduce la amplitud del intervalo de confianza, lo que significa que la estimación de la proporción poblacional se vuelve más precisa (el intervalo es más estrecho).

T6: Teoría de muestras

Inferencia estadística para la media

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

7

EJERCICIO 7

Se ha realizado un estudio para analizar el peso, en kilogramos, de las mochilas de los estudiantes de ESO de los institutos de una localidad. Para ello, se seleccionó una muestra aleatoria de 13 mochilas, obteniéndose los siguientes datos:4.5, 5.3, 4.9, 5.2, 5.5, 5.5, 5.7, 4.8, 5.6, 4.7, 4.2, 5.8, 4.6 El peso de las mochilas se distribuye según una ley Normal de desviación típica $0.9 \text{ kg}$ y media desconocida.

a) Halle un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

98.5\%

, para estimar el peso medio de las mochilas escolares.b) Para el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño muestral mínimo se debería tomar para que el error cometido al estimar el peso medio de estas mochilas sea inferior al

10\%

?c) El peso medio de las mochilas de los estudiantes de ESO de esa localidad es de

4.9 \text{ kg}

y tomando una muestra aleatoria de 36 mochilas, ¿qué distribución sigue la variable que mide el peso medio de estas 36 mochilas? ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio no supere los

5.2 \text{ kg}

?

Distribución NormalIntervalo de confianza para la mediaTamaño muestral

Cálculos iniciales

Los datos proporcionados son los siguientes:Muestra aleatoria de $n = 13$ mochilas:4.5, 5.3, 4.9, 5.2, 5.5, 5.5, 5.7, 4.8, 5.6, 4.7, 4.2, 5.8, 4.6 Desviación típica poblacional $\sigma = 0.9 \text{ kg}$ .Calculamos la media muestral $\bar{x}$ :

\bar{x} = \frac{4.5 + 5.3 + 4.9 + 5.2 + 5.5 + 5.5 + 5.7 + 4.8 + 5.6 + 4.7 + 4.2 + 5.8 + 4.6}{13}

\bar{x} = \frac{67.3}{13} \approx 5.1769 \approx 5.18 \text{ kg}

a) Halle un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

98.5\%

, para estimar el peso medio de las mochilas escolares.

El nivel de confianza es del $98.5\%$ , por lo tanto, $1 - \alpha = 0.985$ , lo que implica $\alpha = 0.015$ y $\alpha/2 = 0.0075$ .Necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.0075 = 0.9925$ .Consultando la tabla de la distribución Normal estándar, se obtiene $z_{0.0075} = 2.43$ .El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ cuando la desviación típica poblacional $\sigma$ es conocida se calcula mediante la fórmula:

IC = \left[ \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]

Sustituyendo los valores:

IC = \left[ 5.18 - 2.43 \frac{0.9}{\sqrt{13}}, 5.18 + 2.43 \frac{0.9}{\sqrt{13}} \right]

IC = \left[ 5.18 - 2.43 \frac{0.9}{3.6056}, 5.18 + 2.43 \frac{0.9}{3.6056} \right]

IC = \left[ 5.18 - 2.43 \cdot 0.2496, 5.18 + 2.43 \cdot 0.2496 \right]

IC = \left[ 5.18 - 0.6065, 5.18 + 0.6065 \right]

IC = \left[ 4.5735, 5.7865 \right]

Redondeando a dos decimales, el intervalo de confianza es:

IC \approx \left[ 4.57, 5.79 \right]

b) Para el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño muestral mínimo se debería tomar para que el error cometido al estimar el peso medio de estas mochilas sea inferior al

10\%

?

El nivel de confianza sigue siendo del $98.5\%$ , por lo tanto, $z_{\alpha/2} = 2.43$ .El error máximo permitido ( $E$ ) es inferior al $10\%$ , que interpretamos como $0.10 \text{ kg}$ (es decir, $E < 0.10$ ).La fórmula del error es:

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Queremos que $E < 0.10$ , por lo tanto:

0.10 > 2.43 \frac{0.9}{\sqrt{n}}

Despejamos $\sqrt{n}$ :

\sqrt{n} > \frac{2.43 \cdot 0.9}{0.10}

\sqrt{n} > \frac{2.187}{0.10}

\sqrt{n} > 21.87

Elevamos al cuadrado ambos lados para encontrar $n$ :

n > (21.87)^2

n > 478.3069

Dado que el tamaño muestral debe ser un número entero, el tamaño muestral mínimo que se debe tomar es $n = 479$ mochilas.

c) El peso medio de las mochilas de los estudiantes de ESO de esa localidad es de

4.9 \text{ kg}

y tomando una muestra aleatoria de 36 mochilas, ¿qué distribución sigue la variable que mide el peso medio de estas 36 mochilas? ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio no supere los

5.2 \text{ kg}

?

Datos para este apartado:Media poblacional $\mu = 4.9 \text{ kg}$ .Desviación típica poblacional $\sigma = 0.9 \text{ kg}$ .Tamaño muestral $n = 36$ .La variable que mide el peso medio de las 36 mochilas, $\bar{X}$ , sigue una distribución Normal, debido a que la población original es Normal (o por el Teorema Central del Límite, dado que $n=36 \ge 30$ ). Su media es $\mu$ y su desviación típica es $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

Sustituyendo los valores:

\bar{X} \sim N\left(4.9, \frac{0.9}{\sqrt{36}}\right)

\bar{X} \sim N\left(4.9, \frac{0.9}{6}\right)

\bar{X} \sim N(4.9, 0.15)

Por lo tanto, la variable que mide el peso medio de las 36 mochilas sigue una distribución Normal con media $4.9 \text{ kg}$ y desviación típica $0.15 \text{ kg}$ .Para calcular la probabilidad de que el peso medio no supere los $5.2 \text{ kg}$ , es decir, $P(\bar{X} \le 5.2)$ , estandarizamos la variable $\bar{X}$ :

Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{\bar{X} - 4.9}{0.15}

Calculamos el valor de $Z$ para $\bar{X} = 5.2$ :

Z = \frac{5.2 - 4.9}{0.15} = \frac{0.3}{0.15} = 2

Ahora buscamos esta probabilidad en la tabla de la distribución Normal estándar:

P(\bar{X} \le 5.2) = P(Z \le 2)

Consultando la tabla, $P(Z \le 2) = 0.9772$ .La probabilidad de que el peso medio no supere los $5.2 \text{ kg}$ es $0.9772$ .

T6: Teoría de muestras

Inferencia estadística y distribución normal

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

6

Una industria conservera envasa latas de anchoas cuyo peso en gramos sigue una distribución Normal con media poblacional desconocida y desviación típica $1\text{ g}$ . Para estimar la media poblacional, se selecciona al azar una muestra de $30$ latas que dan un peso total de $2404.5\text{ g}$ .

a) Determine un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

99 \%

, para estimar el peso medio de las latas envasadas por la conservera.b) Calcule el tamaño mínimo de una nueva muestra para que, manteniendo el mismo nivel de confianza, el error máximo de estimación de la media poblacional sea menor que

0.3\text{ g}

.c) Explique, razonadamente, el efecto que tendría sobre el error máximo de estimación un aumento del número de latas seleccionadas en la muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza, y explique también qué ocurriría con dicho error si se aumentara el nivel de confianza manteniendo el mismo tamaño muestral.

Intervalos de confianzaDistribución normalError de estimación

Datos proporcionados:Desviación típica poblacional: $\sigma = 1\text{ g}$ Tamaño de la muestra: $n = 30$ Peso total de la muestra: $2404.5\text{ g}$ Nivel de confianza: $99\%$ Cálculo de la media muestral:

\bar{x} = \frac{\text{Peso total}}{n} = \frac{2404.5}{30} = 80.15\text{ g}

a) Determine un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

99 \%

, para estimar el peso medio de las latas envasadas por la conservera.

Para un nivel de confianza del $99\%$ , el valor de $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.005$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.005 = 0.995$ . En la tabla de la distribución Normal estándar, el valor $z_{0.005}$ que corresponde a un área de $0.995$ es $2.575$ .La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ con desviación típica poblacional conocida es:

\text{IC} = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Calculamos el error máximo de estimación (E):

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.575 \frac{1}{\sqrt{30}}

E \approx 2.575 \frac{1}{5.4772} \approx 0.4701

Sustituyendo los valores:

\text{IC} = (80.15 - 0.4701, 80.15 + 0.4701)

\text{IC} = (79.6799, 80.6201)

El intervalo de confianza del $99\%$ para el peso medio de las latas es $(79.68\text{ g}, 80.62\text{ g})$ (redondeado a dos decimales).

b) Calcule el tamaño mínimo de una nueva muestra para que, manteniendo el mismo nivel de confianza, el error máximo de estimación de la media poblacional sea menor que

0.3\text{ g}

.

La fórmula para el error máximo de estimación es $E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Despejando $n$ :

\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \Rightarrow n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2

Tenemos los siguientes datos: $z_{\alpha/2} = 2.575$ (para un nivel de confianza del $99\%$ ) $\sigma = 1\text{ g}$ Error máximo deseado: $E < 0.3\text{ g}$ Sustituyendo los valores en la fórmula:

n = \left( \frac{2.575 \cdot 1}{0.3} \right)^2

n = \left( \frac{2.575}{0.3} \right)^2 = (8.5833...)^2 \approx 73.673

Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser menor que $0.3\text{ g}$ , debemos redondear al siguiente entero superior. Por lo tanto, el tamaño mínimo de la muestra es $74$ latas.

c) Explique, razonadamente, el efecto que tendría sobre el error máximo de estimación un aumento del número de latas seleccionadas en la muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza, y explique también qué ocurriría con dicho error si se aumentara el nivel de confianza manteniendo el mismo tamaño muestral.

El error máximo de estimación ( $E$ ) viene dado por la fórmula $E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .1. Efecto de un aumento del número de latas seleccionadas ( $n$ ):Si se aumenta el número de latas seleccionadas en la muestra ( $n$ ), y se mantiene constante el nivel de confianza ( $z_{\alpha/2}$ ) y la desviación típica poblacional ( $\sigma$ ), el valor de $\sqrt{n}$ aumenta. Dado que $\sqrt{n}$ se encuentra en el denominador de la fórmula del error ( $E$ ), un aumento de $n$ provocará una disminución del error máximo de estimación. Esto significa que la estimación de la media poblacional será más precisa.2. Efecto de un aumento del nivel de confianza:Si se aumenta el nivel de confianza (por ejemplo, del $95\%$ al $99\%$ ), manteniendo constante el tamaño muestral ( $n$ ) y la desviación típica poblacional ( $\sigma$ ), el valor crítico $z_{\alpha/2}$ aumentará (ya que se requiere un intervalo más amplio para asegurar una mayor confianza). Dado que $z_{\alpha/2}$ se encuentra en el numerador de la fórmula del error ( $E$ ), un aumento del nivel de confianza provocará un aumento del error máximo de estimación. Esto implica que el intervalo de confianza se hará más amplio, reflejando una mayor incertidumbre sobre la ubicación exacta de la media poblacional, a cambio de una mayor seguridad de que el verdadero parámetro se encuentra dentro de ese intervalo.

T6: Teoría de muestras

Muestreo y distribuciones muestrales

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

7

a) Dada la población

\{-4, -2, 1, 4, 6\}

, calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño

2

obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.b) Una empresa multinacional con

10\,000

empleados desea realizar un estudio sobre la brecha salarial de género en su organización. La empresa está dividida en tres niveles jerárquicos, en los que se tiene

1000

empleados de nivel ejecutivo, siendo el

30 \%

mujeres,

3000

empleados de nivel medio, de los cuales el

55 \%

son hombres, y el resto empleados de nivel operativo, de los que el

55 \%

son mujeres. Se quiere seleccionar una muestra estratificada de

2000

empleados, manteniendo la proporción de cada nivel jerárquico y la distribución de género dentro de cada nivel. ¿Cuántos empleados deben seleccionarse en cada nivel jerárquico? y dentro de cada uno, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres deben seleccionarse?

Muestreo estratificadoVarianzaMedia muestral

a) Calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño

2

obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.

La población dada es $\{-4, -2, 1, 4, 6\}$ , con un tamaño de población $N=5$ .El tamaño de la muestra es $n=2$ .Primero, calculamos la media poblacional ( $\mu$ ):

\mu = \frac{\sum x_i}{N} = \frac{-4 + (-2) + 1 + 4 + 6}{5} = \frac{5}{5} = 1

Luego, calculamos la varianza poblacional ( $\sigma^2$ ):

\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}

\sum (x_i - \mu)^2 = (-4-1)^2 + (-2-1)^2 + (1-1)^2 + (4-1)^2 + (6-1)^2

\sum (x_i - \mu)^2 = (-5)^2 + (-3)^2 + (0)^2 + (3)^2 + (5)^2

\sum (x_i - \mu)^2 = 25 + 9 + 0 + 9 + 25 = 68

\sigma^2 = \frac{68}{5} = 13.6

Para el muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento de una población finita, la varianza de la distribución de las medias muestrales ( $\sigma_{\bar{x}}^2$ ) se calcula mediante la fórmula:

\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} \cdot \frac{N-n}{N-1}

Sustituyendo los valores conocidos:

\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{13.6}{2} \cdot \frac{5-2}{5-1}

\sigma_{\bar{x}}^2 = 6.8 \cdot \frac{3}{4}

\sigma_{\bar{x}}^2 = 6.8 \cdot 0.75

\sigma_{\bar{x}}^2 = 5.1

La varianza de la distribución de las medias muestrales es $5.1$ .

b) ¿Cuántos empleados deben seleccionarse en cada nivel jerárquico? y dentro de cada uno, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres deben seleccionarse?

La población total de empleados es $N = 10\,000$ . La muestra deseada es de $n = 2000$ empleados.La fracción de muestreo ( $f$ ) es:

f = \frac{n}{N} = \frac{2000}{10000} = 0.2

Calculamos el número de empleados en cada nivel jerárquico de la población y su distribución por género:Nivel Ejecutivo (N1): $1000$ empleados

\text{Mujeres: } 0.30 \cdot 1000 = 300

\text{Hombres: } 0.70 \cdot 1000 = 700

Nivel Medio (N2): $3000$ empleados

\text{Hombres: } 0.55 \cdot 3000 = 1650

\text{Mujeres: } 0.45 \cdot 3000 = 1350

Nivel Operativo (N3): $10000 - 1000 - 3000 = 6000$ empleados

\text{Mujeres: } 0.55 \cdot 6000 = 3300

\text{Hombres: } 0.45 \cdot 6000 = 2700

Ahora, calculamos el número de empleados a seleccionar en cada nivel jerárquico de la muestra, aplicando la fracción de muestreo ( $0.2$ ):Muestra del Nivel Ejecutivo (n1):

n_1 = 0.2 \cdot 1000 = 200 \text{ empleados}

Dentro de este nivel:

\text{Mujeres: } 0.30 \cdot 200 = 60

\text{Hombres: } 0.70 \cdot 200 = 140

Muestra del Nivel Medio (n2):

n_2 = 0.2 \cdot 3000 = 600 \text{ empleados}

Dentro de este nivel:

\text{Hombres: } 0.55 \cdot 600 = 330

\text{Mujeres: } 0.45 \cdot 600 = 270

Muestra del Nivel Operativo (n3):

n_3 = 0.2 \cdot 6000 = 1200 \text{ empleados}

Dentro de este nivel:

\text{Mujeres: } 0.55 \cdot 1200 = 660

\text{Hombres: } 0.45 \cdot 1200 = 540

Resumen de la selección de la muestra: Nivel Ejecutivo: $200$ empleados ( $140$ hombres y $60$ mujeres). Nivel Medio: $600$ empleados ( $330$ hombres y $270$ mujeres). Nivel Operativo: $1200$ empleados ( $540$ hombres y $660$ mujeres).

T6: Teoría de muestras

Intervalos de confianza para la proporción

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

6

BLOQUE D - EJERCICIO 6

A partir de un estudio muestral se sabe que, con un nivel de confianza del $95\%$ , la proporción de estudiantes de una universidad que tienen carnet de conducir pertenece al intervalo $(0.5616, 0.7184)$ .

a) Calcule la proporción muestral de estudiantes que tienen carnet de conducir.b) Calcule el error máximo cometido en la estimación de la proporción poblacional.c) Calcule el tamaño de la muestra seleccionada.d) Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo un aumento del tamaño muestral.

Intervalo de confianzaProporción poblacionalTamaño muestral

Se nos proporciona un intervalo de confianza para la proporción poblacional de estudiantes que tienen carnet de conducir, junto con el nivel de confianza.Intervalo de confianza: $(0.5616, 0.7184)$ Nivel de confianza: $95\%$

a) Calcule la proporción muestral de estudiantes que tienen carnet de conducir.

La proporción muestral ( $\hat{p}$ ) es el punto medio del intervalo de confianza.

\hat{p} = \frac{\text{Límite inferior} + \text{Límite superior}}{2}

\hat{p} = \frac{0.5616 + 0.7184}{2} = \frac{1.28}{2} = 0.64

La proporción muestral de estudiantes con carnet de conducir es $0.64$ .

b) Calcule el error máximo cometido en la estimación de la proporción poblacional.

El error máximo (E) es la mitad de la amplitud del intervalo de confianza.

E = \frac{\text{Límite superior} - \text{Límite inferior}}{2}

E = \frac{0.7184 - 0.5616}{2} = \frac{0.1568}{2} = 0.0784

El error máximo cometido es $0.0784$ .

c) Calcule el tamaño de la muestra seleccionada.

Para un nivel de confianza del $95\%$ , el valor crítico $z_{\alpha/2}$ se encuentra buscando el valor $P(Z \le z) = 1 - \alpha/2 = 1 - (1-0.95)/2 = 1 - 0.025 = 0.975$ en la tabla de la distribución normal estándar. Este valor es $z_{\alpha/2} = 1.96$ .La fórmula para el error máximo en la estimación de una proporción es:

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Despejamos $n$ :

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}

Sustituimos los valores conocidos: $\hat{p} = 0.64$ , $1-\hat{p} = 0.36$ , $E = 0.0784$ y $z_{\alpha/2} = 1.96$ .

n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.64 \cdot 0.36}{(0.0784)^2}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.2304}{0.00614656}

n = \frac{0.88506896}{0.00614656} \approx 143.999

El tamaño de la muestra debe ser un número entero, por lo tanto, $n = 144$ .

d) Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo un aumento del tamaño muestral.

La amplitud del intervalo de confianza es $2E$ . A partir de la fórmula del error máximo:

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Un aumento del tamaño muestral ( $n$ ) provoca una disminución del valor de $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ . Como consecuencia, el error máximo $E$ se reduce. Al reducirse el error máximo $E$ , la amplitud del intervalo ( $2E$ ) también disminuye. Esto significa que el intervalo de confianza se vuelve más estrecho, lo que implica una estimación más precisa de la proporción poblacional.

T6: Teoría de muestras

Distribución de la media muestral

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

7

BLOQUE D - EJERCICIO 7

El tiempo de adaptación a la guardería, en días, de los menores de dos años andaluces, sigue una distribución Normal de media $10.5$ días y desviación típica $1.5$ días.

a) Se toma una muestra aleatoria de

25

menores de estas características. ¿Qué distribución sigue la media muestral del tiempo de adaptación? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los

10

días?b) ¿Qué porcentaje de muestras de tamaño

25

nos proporcionará un tiempo medio de adaptación entre

8

y

11

días?

Distribución NormalMedia muestralProbabilidad

La variable aleatoria $X$ que representa el tiempo de adaptación a la guardería sigue una distribución Normal con media $\mu = 10.5$ días y desviación típica $\sigma = 1.5$ días. Es decir, $X \sim N(10.5, 1.5)$ .

a) Se toma una muestra aleatoria de

n=25

menores.

La media muestral $\bar{X}$ del tiempo de adaptación sigue una distribución Normal, ya que la población es Normal. Su media es $\mu_{\bar{X}} = \mu = 10.5$ y su desviación típica es $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

\sigma_{\bar{X}} = \frac{1.5}{\sqrt{25}} = \frac{1.5}{5} = 0.3

Por lo tanto, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución $N(10.5, 0.3)$ .Para calcular la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los $10$ días, estandarizamos la variable $\bar{X}$ :

P(\bar{X} > 10) = P\left(Z > \frac{10 - 10.5}{0.3}\right)

P(Z > -1.67)

Usando las propiedades de la distribución Normal estándar, tenemos:

P(Z > -1.67) = 1 - P(Z \le -1.67) = 1 - (1 - P(Z \le 1.67)) = P(Z \le 1.67)

Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar, $P(Z \le 1.67) \approx 0.9525$ .

P(\bar{X} > 10) \approx 0.9525

La probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los $10$ días es aproximadamente $0.9525$ .

b) Queremos calcular el porcentaje de muestras de tamaño

25

que proporcionará un tiempo medio de adaptación entre

8

y

11

días, es decir,

P(8 < \bar{X} < 11)

.

Estandarizamos los valores de $\bar{X}$ :

Z_1 = \frac{8 - 10.5}{0.3} = \frac{-2.5}{0.3} \approx -8.33

Z_2 = \frac{11 - 10.5}{0.3} = \frac{0.5}{0.3} \approx 1.67

Entonces, la probabilidad es:

P(8 < \bar{X} < 11) = P(-8.33 < Z < 1.67)

P(-8.33 < Z < 1.67) = P(Z < 1.67) - P(Z < -8.33)

Como $Z = -8.33$ es un valor muy extremo, $P(Z < -8.33)$ es prácticamente $0$ .

P(Z < 1.67) - P(Z < -8.33) \approx 0.9525 - 0 = 0.9525

El porcentaje de muestras de tamaño $25$ que proporcionará un tiempo medio de adaptación entre $8$ y $11$ días es del $95.25\%$ . Este valor se obtiene multiplicando la probabilidad por $100$ .

T6: Teoría de muestras

Intervalos de confianza para la proporción

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

7

En un invernadero de Palos de la Frontera (Huelva), se cultivan fresas y frambuesas. Se desea estimar la proporción de fresas y frambuesas que se recolectan. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de $300 \text{ kg}$ , obteniéndose que $180 \text{ kg}$ de ellos son fresas y el resto frambuesas.

a) Obtenga, con un nivel de confianza del

97\%

, un intervalo para estimar la proporción de fresas recolectadas en el invernadero y otro intervalo para estimar la proporción de frambuesas recolectadas.b) Con las proporciones muestrales iniciales y con un nivel de confianza del

95\%

, ¿cuántos kilogramos de frutos deberían seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que las proporciones muestrales difieran de las proporciones poblacionales a lo sumo en un

2\%

?

Inferencia estadísticaIntervalo de confianzaTamaño muestral

a) Obtenga, con un nivel de confianza del

97\%

, un intervalo para estimar la proporción de fresas recolectadas en el invernadero y otro intervalo para estimar la proporción de frambuesas recolectadas.

Datos proporcionados:Tamaño de la muestra: $n = 300\text{ kg}$ Cantidad de fresas: $X_F = 180\text{ kg}$ Cantidad de frambuesas: $X_{Fr} = 300 - 180 = 120\text{ kg}$ Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$ Para un nivel de confianza del $97\%$ , tenemos $\alpha = 0.03$ , lo que implica $\alpha/2 = 0.015$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$ .

z_{0.015} \approx 2.17

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción poblacional $p$ es:

\left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)

1. Intervalo para la proporción de fresas:La proporción muestral de fresas es $\hat{p}_F = \frac{180}{300} = 0.6$ .Entonces, $1 - \hat{p}_F = 1 - 0.6 = 0.4$ .El error máximo de estimación para las fresas es:

E_F = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_F(1-\hat{p}_F)}{n}} = 2.17 \sqrt{\frac{0.6 \cdot 0.4}{300}}

E_F = 2.17 \sqrt{\frac{0.24}{300}} = 2.17 \sqrt{0.0008} \approx 2.17 \cdot 0.02828 \approx 0.0613

El intervalo de confianza para la proporción de fresas es:

(0.6 - 0.0613, 0.6 + 0.0613) = (0.5387, 0.6613)

2. Intervalo para la proporción de frambuesas:La proporción muestral de frambuesas es $\hat{p}_{Fr} = \frac{120}{300} = 0.4$ .Entonces, $1 - \hat{p}_{Fr} = 1 - 0.4 = 0.6$ .El error máximo de estimación para las frambuesas es:

E_{Fr} = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_{Fr}(1-\hat{p}_{Fr})}{n}} = 2.17 \sqrt{\frac{0.4 \cdot 0.6}{300}}

E_{Fr} = 2.17 \sqrt{\frac{0.24}{300}} = 2.17 \sqrt{0.0008} \approx 2.17 \cdot 0.02828 \approx 0.0613

El intervalo de confianza para la proporción de frambuesas es:

(0.4 - 0.0613, 0.4 + 0.0613) = (0.3387, 0.4613)

b) Con las proporciones muestrales iniciales y con un nivel de confianza del

95\%

, ¿cuántos kilogramos de frutos deberían seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que las proporciones muestrales difieran de las proporciones poblacionales a lo sumo en un

2\%

?

Datos para este apartado:Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ Error máximo de estimación: $E = 2\% = 0.02$ Proporciones muestrales iniciales: $\hat{p} = 0.6$ y $1-\hat{p} = 0.4$ (usando la proporción de fresas, el producto $\hat{p}(1-\hat{p})$ es el mismo para frambuesas).Para un nivel de confianza del $95\%$ , tenemos $\alpha = 0.05$ , lo que implica $\alpha/2 = 0.025$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.025 = 0.975$ .

z_{0.025} = 1.96

La fórmula para el tamaño mínimo de la muestra $n$ es:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}

Sustituyendo los valores:

n = \frac{(1.96)^2 \cdot (0.6)(0.4)}{(0.02)^2}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.24}{0.0004}

n = \frac{0.921984}{0.0004} = 2304.96

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y se requiere que sea como mínimo, se debe redondear al siguiente entero superior.

n = 2305

Deberían seleccionarse aleatoriamente como mínimo $2305\text{ kg}$ de frutos.

T6: Teoría de muestras

Intervalos de confianza para la media

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

6

El tiempo que tardan los usuarios de un sistema de salud en conseguir una cita en Atención Primaria sigue una distribución Normal con media desconocida y desviación típica $4.2$ días.

a) Elegidos al azar

30

usuarios, se obtiene que el tiempo medio que tardan en obtener cita en Atención Primaria es de

11.3

días. Determine un intervalo de confianza para estimar la media poblacional, con un nivel de confianza del

97\%

. La gerencia del sistema de salud asegura que el promedio de días para obtener una cita en Atención Primaria es de

9.8

días. Según el intervalo obtenido ¿podría asumirse la afirmación de la gerencia como posible?b) ¿Cuántos usuarios como mínimo se deberían seleccionar en una nueva muestra para que, con un nivel de confianza del

95\%

, el error máximo en el intervalo de la media poblacional sea de

0.6

días.

Distribución NormalIntervalo de confianzaMedia poblacional+1

a) Para determinar el intervalo de confianza para la media poblacional

(\mu)

con un nivel de confianza del

97\%

, utilizamos la fórmula para el intervalo de confianza cuando la desviación típica poblacional (

\sigma

) es conocida:

IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Donde:Media muestral $\bar{x} = 11.3$ días.Desviación típica poblacional $\sigma = 4.2$ días.Tamaño de la muestra $n = 30$ usuarios.Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.97$ . Esto implica $\alpha = 0.03$ y $\alpha/2 = 0.015$ .El valor crítico $z_{\alpha/2}$ se busca en la tabla de la distribución Normal Estándar para una probabilidad acumulada de $1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$ . Para $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.985$ , encontramos que $z_{\alpha/2} \approx 2.17$ .Calculamos el margen de error $E$ :

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \frac{4.2}{\sqrt{30}}

E \approx 2.17 \frac{4.2}{5.477} \approx 2.17 \cdot 0.7668 \approx 1.665

Ahora construimos el intervalo de confianza:

IC = (11.3 - 1.665, 11.3 + 1.665)

IC = (9.635, 12.965)

El intervalo de confianza del $97\%$ para la media poblacional es $(9.635, 12.965)$ días.Respecto a la afirmación de la gerencia de que el promedio de días es de $9.8$ días: como el valor $9.8$ se encuentra dentro del intervalo de confianza calculado $(9.635, 12.965)$ , la afirmación de la gerencia podría asumirse como posible.

b) Para determinar el número mínimo de usuarios (

n

) en una nueva muestra para que el error máximo (

E

) sea de

0.6

días con un nivel de confianza del

95\%

, usamos la fórmula del error:

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Despejamos $n$ :

\sqrt{n} = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{E}

n = \left( z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{E} \right)^2

Donde:Desviación típica poblacional $\sigma = 4.2$ días.Error máximo $E = 0.6$ días.Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.95$ . Esto implica $\alpha = 0.05$ y $\alpha/2 = 0.025$ .El valor crítico $z_{\alpha/2}$ para una probabilidad acumulada de $1 - \alpha/2 = 1 - 0.025 = 0.975$ es $z_{\alpha/2} = 1.96$ .Sustituimos los valores:

n = \left( 1.96 \frac{4.2}{0.6} \right)^2

n = \left( 1.96 \cdot 7 \right)^2

n = (13.72)^2

n = 188.24

Como el número de usuarios debe ser un número entero y se requiere un "mínimo", debemos redondear al alza. Por lo tanto, se deberían seleccionar como mínimo $189$ usuarios.

T6: Teoría de muestras

Inferencia para proporciones

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

7

Se desea estimar la proporción de personas de una determinada localidad que se muestran favorables a la celebración de las fiestas locales durante el mes de mayo. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de $200$ personas resultando que $130$ de ellas están a favor.

a) Obtenga un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

96.5\%

, para estimar la proporción de personas de esta localidad que está a favor de celebrar las fiestas locales durante el mes de mayo.b) Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del

99\%

, ¿cuál es el número mínimo de personas que deberán seleccionarse aleatoriamente para que la proporción muestral y la poblacional no difieran en más de un

2\%

?c) Manteniendo el tamaño de la muestra y la proporción muestral, si se aumenta el nivel de confianza, razone cómo influye en el error máximo de estimación.

Proporción muestralIntervalo de confianzaError de estimación+1

Datos iniciales:Tamaño de la muestra, $n = 200$ personas.Número de personas a favor, $x = 130$ .Proporción muestral de personas a favor: $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{130}{200} = 0.65$ .Proporción muestral de personas en contra: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.65 = 0.35$ .

a) Obtenga un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

96.5\%

, para estimar la proporción de personas de esta localidad que está a favor de celebrar las fiestas locales durante el mes de mayo.

El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.965$ .Entonces, $\alpha = 1 - 0.965 = 0.035$ .Y $\alpha/2 = 0.035 / 2 = 0.0175$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.0175 = 0.9825$ .Consultando la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que $z_{0.0175} \approx 2.11$ .El intervalo de confianza para una proporción poblacional $p$ viene dado por la fórmula:

\text{IC} = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)

Sustituyendo los valores:

\text{IC} = \left( 0.65 - 2.11 \sqrt{\frac{0.65 \cdot 0.35}{200}}, 0.65 + 2.11 \sqrt{\frac{0.65 \cdot 0.35}{200}} \right)

\text{IC} = \left( 0.65 - 2.11 \sqrt{\frac{0.2275}{200}}, 0.65 + 2.11 \sqrt{\frac{0.2275}{200}} \right)

\text{IC} = \left( 0.65 - 2.11 \sqrt{0.0011375}, 0.65 + 2.11 \sqrt{0.0011375} \right)

\text{IC} = \left( 0.65 - 2.11 \cdot 0.033726, 0.65 + 2.11 \cdot 0.033726 \right)

\text{IC} = \left( 0.65 - 0.07119, 0.65 + 0.07119 \right)

\text{IC} = \left( 0.57881, 0.72119 \right)

El intervalo de confianza para la proporción de personas a favor de las fiestas es $(0.5788, 0.7212)$ .

b) Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del

99\%

, ¿cuál es el número mínimo de personas que deberán seleccionarse aleatoriamente para que la proporción muestral y la poblacional no difieran en más de un

2\%

?

Proporción muestral $\hat{p} = 0.65$ , $\hat{q} = 0.35$ .Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.99$ .Entonces, $\alpha = 0.01$ , y $\alpha/2 = 0.005$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.005 = 0.995$ .Consultando la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que $z_{0.005} \approx 2.575$ .El error máximo de estimación $(E)$ es del $2\%$ , es decir, $E = 0.02$ .La fórmula para el tamaño mínimo de la muestra $(n)$ es:

n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \hat{p}\hat{q}

Sustituyendo los valores:

n = \left( \frac{2.575}{0.02} \right)^2 (0.65)(0.35)

n = (128.75)^2 (0.2275)

n = 16576.5625 \cdot 0.2275

n = 3770.81

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debemos garantizar el error, se debe redondear al siguiente entero.El número mínimo de personas que deberán seleccionarse es $3771$ .

c) Manteniendo el tamaño de la muestra y la proporción muestral, si se aumenta el nivel de confianza, razone cómo influye en el error máximo de estimación.

El error máximo de estimación para una proporción muestral se define como $E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$ .En esta expresión, $\hat{p}$ , $\hat{q}$ y $n$ se mantienen constantes según el enunciado.Si se aumenta el nivel de confianza $(1 - \alpha)$ , esto implica que el valor de $\alpha$ disminuye.Una disminución de $\alpha$ lleva a una disminución de $\alpha/2$ .El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el valor de Z que deja una probabilidad de $\alpha/2$ en la cola superior (o $1 - \alpha/2$ a su izquierda).A medida que disminuye $\alpha/2$ (y por lo tanto aumenta $1 - \alpha/2$ ), el valor de $z_{\alpha/2}$ aumenta (se necesita un valor de Z más alejado de la media para cubrir una mayor área central).Dado que $z_{\alpha/2}$ aumenta y los otros términos bajo la raíz cuadrada y la raíz cuadrada misma permanecen constantes, el error máximo de estimación $E$ también aumenta.Por lo tanto, si se aumenta el nivel de confianza, el error máximo de estimación aumenta.

T6: Teoría de muestras

Intervalos de confianza para la media

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

6

El tiempo de estudio semanal de los estudiantes andaluces, medido en horas, se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 5 horas. A partir de una muestra de 81 estudiantes se ha obtenido que el intervalo de confianza para la media poblacional es (10.794, 13.206), con un nivel de confianza del 97%. a) Obtenga el tiempo medio de estudio de esa muestra de estudiantes. b) Si se amplía el tamaño de la muestra, razone si manteniendo el nivel de confianza, la amplitud del intervalo de confianza aumenta o disminuye. c) Si se desea reducir la amplitud del intervalo de confianza, razone si manteniendo el tamaño muestral, ha de reducirse o aumentarse el nivel de confianza. d) Si la media de la población es de 10.2 horas y sabiendo que la media muestral es de 12 horas, calcule el tamaño máximo de la muestra para obtener un intervalo de confianza que contenga la media poblacional, manteniendo el 97% de confianza.

Distribución NormalIntervalo de confianzaError de estimación+1

a) En un intervalo de confianza para la media de una distribución Normal, el estimador puntual (la media muestral) se encuentra exactamente en el centro del intervalo. Por lo tanto, podemos calcularla como el valor medio de los extremos del intervalo proporcionado.

\bar{x} = \frac{10.794 + 13.206}{2}

\bar{x} = \frac{24}{2} = 12 \text{ horas}

b) La amplitud de un intervalo de confianza se define como la diferencia entre el extremo superior y el inferior, lo cual equivale a dos veces el error máximo admisible:

A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Si se mantiene el nivel de confianza (y por tanto el valor crítico) y aumenta el tamaño de la muestra, el denominador de la fracción crece. Al ser la amplitud inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño muestral, si el tamaño de la muestra aumenta, la amplitud del intervalo de confianza disminuye. c) Analizando de nuevo la fórmula de la amplitud, observamos que esta es directamente proporcional al valor crítico, el cual depende del nivel de confianza. Para reducir la amplitud manteniendo el tamaño muestral constante, es necesario que el valor crítico disminuya. Una disminución en el valor crítico implica que el área central de la distribución Normal es menor, por lo que el nivel de confianza debe reducirse. d) Para que el intervalo de confianza contenga a la media poblacional, la distancia entre la media muestral y la poblacional debe ser menor o igual al error máximo admisible:

|\bar{x} - \mu| \le E \implies |\bar{x} - \mu| \le z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Primero, calculamos el valor crítico para un nivel de confianza del 97%:

1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015

P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985 \implies z_{\alpha/2} = 2.17

Sustituimos los valores conocidos en la desigualdad para despejar el tamaño muestral:

|12 - 10.2| \le 2.17 \cdot \frac{5}{\sqrt{n}}

1.8 \le \frac{10.85}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} \le \frac{10.85}{1.8}

\sqrt{n} \le 6.0277 \implies n \le (6.0277)^2 \implies n \le 36.33$}

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero, el valor máximo posible para que se cumpla la condición es 36.

T6: Teoría de muestras

Intervalos de confianza y cálculo de probabilidades en la normal

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

7

Los desajustes sobre el horario previsto de llegada de los trenes de alta velocidad, medidos en minutos, sigue una ley Normal con media 0 y desviación típica 2.2. a) Calcule el porcentaje de trenes que tienen un desajuste máximo de un minuto. b) Elegidos al azar 15 trenes de alta velocidad, los desajustes han sido: 0, 1.3, -2.1, -1.5, 2, 0.8, 5, 2.1, -3, 1.8, 3.1, 4, -0.7, 1.6, -5.4 b1) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 96%, para la media poblacional. ¿Cuál es el error máximo que se comete en la estimación de esta media? Con este nivel de confianza y a partir de los datos obtenidos, ¿puede afirmarse que un tren tenga un retraso de 2 minutos? b2) Con un nivel de confianza del 98%, ¿cuántos trenes de alta velocidad deberían elegirse, como mínimo, para que la diferencia entre la media poblacional y su estimación muestral sea como máximo de 1.1 minutos?

Distribución NormalIntervalo de confianzaEstimación de la media+1

Definimos la variable aleatoria X como el desajuste horario en minutos de los trenes de alta velocidad. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución Normal:

X \sim N(0, \, 2.2)

a) Para calcular el porcentaje de trenes con un desajuste máximo de un minuto, debemos hallar la probabilidad del intervalo central de un minuto respecto a la media. Es decir, calculamos la probabilidad de que el valor absoluto del desajuste sea menor o igual a 1, tipificando la variable para usar la tabla de la normal estándar Z:

P(|X| \le 1) = P(-1 \le X \le 1) = P\left( \frac{-1 - 0}{2.2} \le Z \le \frac{1 - 0}{2.2} \right) = P(-0.45 \le Z \le 0.45)

P(Z \le 0.45) - P(Z \le -0.45) = P(Z \le 0.45) - (1 - P(Z \le 0.45)) = 2 \cdot P(Z \le 0.45) - 1

Buscando el valor en la tabla de la normal estándar para 0.45:

2 \cdot 0.6736 - 1 = 1.3472 - 1 = 0.3472

El porcentaje de trenes con un desajuste máximo de un minuto es del 34.72%.b1) Primero, calculamos la media de la muestra de 15 trenes proporcionada:

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{0 + 1.3 - 2.1 - 1.5 + 2 + 0.8 + 5 + 2.1 - 3 + 1.8 + 3.1 + 4 - 0.7 + 1.6 - 5.4}{15} = \frac{9}{15} = 0.6 \text{ min}

Para un nivel de confianza del 96%, determinamos el valor crítico correspondiente:

1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04 \implies \alpha/2 = 0.02

P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.98 \implies z_{\alpha/2} = 2.05

Calculamos el error máximo admitido para este intervalo:

E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.05 \cdot \frac{2.2}{\sqrt{15}} \approx 2.05 \cdot 0.568 = 1.1644 \text{ min}

El intervalo de confianza se construye sumando y restando el error a la media muestral:

I.C. = (\bar{x} - E, \, \bar{x} + E) = (0.6 - 1.1644, \, 0.6 + 1.1644) = (-0.5644, \, 1.7644)

El error máximo es de 1.1644 minutos. Dado que el valor de 2 minutos no se encuentra dentro del intervalo de confianza calculado, no se puede afirmar, con un nivel de confianza del 96%, que un tren tenga un retraso de 2 minutos.b2) Para calcular el tamaño mínimo de la muestra con un nivel de confianza del 98% y un error máximo de 1.1 minutos, buscamos el nuevo valor crítico:

1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02 \implies \alpha/2 = 0.01

P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99 \implies z_{\alpha/2} = 2.33

Utilizamos la fórmula del tamaño muestral despejando n de la fórmula del error:

n \ge \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2 = \left( \frac{2.33 \cdot 2.2}{1.1} \right)^2

n \ge (2.33 \cdot 2)^2 = (4.66)^2 = 21.7156

Dado que el número de trenes debe ser un entero, redondeamos al alza. Se deberían elegir, como mínimo, 22 trenes.

T6: Teoría de muestras

Muestreo y Distribución de la media muestral

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

7

En un invernadero de Almería se realiza un estudio sobre dos de sus productos, melones y sandías.

a) De los

4000

melones recolectados en un determinado periodo,

1420

son de la variedad

A

,

980

de la

B

,

720

de la

C

y el resto de la

D

. Si se selecciona una muestra de

200

de estos melones, ¿cuál debe ser la composición que debe tener dicha muestra si se realiza mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional?b) El peso de las sandías sigue una distribución Normal de media

3.85 \text{ kg}

y desviación típica

1.32 \text{ kg}

. Se selecciona, de forma aleatoria, una muestra de

121

sandías.b.1) Indique la distribución que sigue la media muestral del peso de las sandías.b.2) Calcule la probabilidad de que el peso medio de la muestra esté comprendido entre

3.6 \text{ kg}

y

4 \text{ kg}

.

Muestreo estratificadoDistribución NormalProbabilidad

a) Para realizar el muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, primero calculamos el número de melones de la variedad D y las proporciones de cada variedad sobre el total.

Número total de melones: $4000$ .Variedades dadas: Variedad A ( $1420$ ), Variedad B ( $980$ ), Variedad C ( $720$ ).Número de melones de la variedad D:

\text{N}_D = 4000 - (1420 + 980 + 720) = 4000 - 3120 = 880

Ahora calculamos la proporción de cada variedad sobre el total de $4000$ melones:

P_A = \frac{1420}{4000} = 0.355

P_B = \frac{980}{4000} = 0.245

P_C = \frac{720}{4000} = 0.18

P_D = \frac{880}{4000} = 0.22

Para una muestra de $200$ melones, la composición con afijación proporcional será:

n_A = 200 \times 0.355 = 71 \text{ melones de la variedad A}

n_B = 200 \times 0.245 = 49 \text{ melones de la variedad B}

n_C = 200 \times 0.18 = 36 \text{ melones de la variedad C}

n_D = 200 \times 0.22 = 44 \text{ melones de la variedad D}

b.1) La distribución del peso de las sandías sigue una distribución Normal de media

\mu = 3.85 \text{ kg}

y desviación típica

\sigma = 1.32 \text{ kg}

. Se selecciona una muestra aleatoria de

n = 121

sandías. La media muestral

\bar{X}

sigue una distribución Normal.

La media de la distribución de la media muestral es la misma que la media poblacional:

E[\bar{X}] = \mu = 3.85 \text{ kg}

La desviación típica de la distribución de la media muestral (error estándar) se calcula como:

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.32}{\sqrt{121}} = \frac{1.32}{11} = 0.12 \text{ kg}

Por lo tanto, la media muestral del peso de las sandías sigue una distribución:

\bar{X} \sim N(3.85, 0.12)

b.2) Para calcular la probabilidad de que el peso medio de la muestra esté comprendido entre

3.6 \text{ kg}

y

4 \text{ kg}

, estandarizamos los valores usando la distribución

N(3.85, 0.12)

.

Para $\bar{X} = 3.6 \text{ kg}$ :

Z_1 = \frac{3.6 - 3.85}{0.12} = \frac{-0.25}{0.12} \approx -2.08

Para $\bar{X} = 4 \text{ kg}$ :

Z_2 = \frac{4 - 3.85}{0.12} = \frac{0.15}{0.12} = 1.25

Ahora calculamos la probabilidad $P(3.6 \le \bar{X} \le 4) = P(-2.08 \le Z \le 1.25)$ .

P(-2.08 \le Z \le 1.25) = P(Z \le 1.25) - P(Z \le -2.08)

Usando la tabla de la distribución Normal estándar:

P(Z \le 1.25) \approx 0.8944

P(Z \le -2.08) = 1 - P(Z \le 2.08) \approx 1 - 0.9812 = 0.0188

Por lo tanto:

P(3.6 \le \bar{X} \le 4) = 0.8944 - 0.0188 = 0.8756

T6: Teoría de muestras

Intervalos de confianza

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

8

Una empresa farmacéutica desea revisar la efectividad de un nuevo medicamento antipirético (reduce la fiebre). Se conoce que el tiempo en el que este medicamento comienza a hacer efecto sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica de $5$ minutos. Para estimar la media poblacional, se ha seleccionado una muestra aleatoria de $10$ individuos con fiebre y tras administrarse el medicamento, se han anotado los tiempos en los que comienza a remitir. Los tiempos obtenidos, en minutos, fueron:

20, 25, 30, 35, 35, 20, 20, 25, 30, 30

a) Determine un intervalo, con un nivel de confianza del

98\%

, para estimar el tiempo medio de respuesta de este medicamento. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el tiempo medio en el que el medicamento comienza a hacer efecto es superior a

35

minutos.b) Un estudio posterior ha revelado que el tiempo de respuesta a este medicamento sigue una ley Normal de media

27.2

minutos y desviación típica de

5

minutos. Determine la probabilidad de que a un paciente con fiebre que ha ingerido el medicamento no le haya hecho efecto hasta pasados

20

minutos.

Intervalo de confianzaDistribución NormalMedia poblacional

a) Determine un intervalo, con un nivel de confianza del

98\%

, para estimar el tiempo medio de respuesta de este medicamento. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el tiempo medio en el que el medicamento comienza a hacer efecto es superior a

35

minutos.

Datos proporcionados:Desviación típica poblacional conocida, $\sigma = 5$ minutos.Tamaño de la muestra, $n = 10$ individuos.Nivel de confianza, $CL = 98\% = 0.98$ .Muestra de tiempos: $20, 25, 30, 35, 35, 20, 20, 25, 30, 30$ .Primero, calculamos la media muestral $(\bar{x})$ :

\bar{x} = \frac{20+25+30+35+35+20+20+25+30+30}{10} = \frac{270}{10} = 27 \text{ minutos}

Para un nivel de confianza del $98\%$ , el valor crítico $z_{\alpha/2}$ se calcula de la siguiente manera:

1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.01

P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.01 = 0.99

Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar, el valor $z_{\alpha/2}$ para una probabilidad acumulada de $0.99$ es $z_{\alpha/2} \approx 2.326$ .El intervalo de confianza para la media poblacional $(\mu)$ viene dado por la fórmula:

\text{IC} = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Calculamos el margen de error $E$ :

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.326 \frac{5}{\sqrt{10}}

E = 2.326 \frac{5}{3.162277} \approx 2.326 \times 1.5819 \approx 3.671 \text{ minutos}

Ahora construimos el intervalo de confianza:

\text{IC} = (27 - 3.671, 27 + 3.671) = (23.329, 30.671)

El intervalo de confianza del $98\%$ para el tiempo medio de respuesta del medicamento es $(23.329, 30.671)$ minutos.Respecto a la pregunta de si puede admitirse que el tiempo medio es superior a $35$ minutos:Dado que el intervalo de confianza $(23.329, 30.671)$ no incluye el valor $35$ y su límite superior es $30.671$ , que es menor que $35$ , no puede admitirse que el tiempo medio en el que el medicamento comienza a hacer efecto sea superior a $35$ minutos con un $98\%$ de confianza. De hecho, el intervalo sugiere que el tiempo medio es significativamente menor que $35$ minutos.

b) Un estudio posterior ha revelado que el tiempo de respuesta a este medicamento sigue una ley Normal de media

27.2

minutos y desviación típica de

5

minutos. Determine la probabilidad de que a un paciente con fiebre que ha ingerido el medicamento no le haya hecho efecto hasta pasados

20

minutos.

Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo en que el medicamento comienza a hacer efecto. Según el estudio posterior, $X$ sigue una distribución Normal con:Media $\mu = 27.2$ minutos.Desviación típica $\sigma = 5$ minutos.Se pide calcular la probabilidad de que el medicamento no haya hecho efecto hasta pasados $20$ minutos, lo cual se traduce como $P(X > 20)$ .Estandarizamos la variable $X$ a la distribución Normal estándar $Z$ :

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Z = \frac{20 - 27.2}{5} = \frac{-7.2}{5} = -1.44

Ahora calculamos la probabilidad:

P(X > 20) = P(Z > -1.44)

Utilizando las propiedades de simetría de la distribución Normal estándar:

P(Z > -1.44) = P(Z < 1.44)

Consultando la tabla de la distribución Normal estándar para $Z = 1.44$ , encontramos:

P(Z < 1.44) = 0.9251

La probabilidad de que a un paciente no le haya hecho efecto hasta pasados $20$ minutos es $0.9251$ .

T6: Teoría de muestras

Inferencia estadística para la proporción

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

7

BLOQUE D

Una tienda decide evaluar a su empresa de transporte para determinar si está cumpliendo con sus estándares de calidad. Para ello, se analizan 400 de sus envíos y se comprueba que 370 han sido entregados a tiempo.

a) Si los estándares de calidad de dicha empresa requieren que al menos el 88% de los envíos sean entregados a tiempo, estime, mediante un intervalo de confianza al 93%, si la empresa de transporte cumple con los estándares de calidad.b) Si se mantiene la misma proporción muestral y se aumenta el nivel de confianza al 95%, ¿cuántos envíos, como mínimo, habrá que analizar para que la amplitud del intervalo de confianza sea inferior a 0.03?

EstadísticaIntervalo de confianzaProporción+1

Resolución del ejercicio de probabilidad

Datos proporcionados:Número total de envíos analizados, $n = 400$ .Número de envíos entregados a tiempo, $X = 370$ .La proporción muestral de envíos entregados a tiempo es:

\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{370}{400} = 0.925

La proporción muestral de envíos no entregados a tiempo es:

\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.925 = 0.075

a) Si los estándares de calidad de dicha empresa requieren que al menos el 88% de los envíos sean entregados a tiempo, estime, mediante un intervalo de confianza al 93%, si la empresa de transporte cumple con los estándares de calidad.

El nivel de confianza es del 93%, lo que implica que $\alpha = 1 - 0.93 = 0.07$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.035$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.035 = 0.965$ .Consultando las tablas de la distribución normal estándar o usando una calculadora, obtenemos $z_{0.035} \approx 1.81$ .El intervalo de confianza para la proporción se calcula mediante la fórmula:

IC = \left[\hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\right]

Calculamos el error máximo de la estimación ( $E$ ):

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1.81 \sqrt{\frac{0.925 \cdot 0.075}{400}}

E = 1.81 \sqrt{\frac{0.069375}{400}} = 1.81 \sqrt{0.0001734375} \approx 1.81 \cdot 0.013169 \approx 0.0238

Ahora construimos el intervalo de confianza:

IC = [0.925 - 0.0238, 0.925 + 0.0238]

IC = [0.9012, 0.9488]

Los estándares de calidad requieren que al menos el 88% ( $0.88$ ) de los envíos sean entregados a tiempo. Dado que el intervalo de confianza para la proporción poblacional de envíos a tiempo es $[0.9012, 0.9488]$ , y todo el intervalo está por encima de $0.88$ , podemos concluir, con un 93% de confianza, que la empresa de transporte cumple con los estándares de calidad.

b) Si se mantiene la misma proporción muestral y se aumenta el nivel de confianza al 95%, ¿cuántos envíos, como mínimo, habrá que analizar para que la amplitud del intervalo de confianza sea inferior a 0.03?

La proporción muestral $\hat{p} = 0.925$ y $\hat{q} = 0.075$ se mantienen.El nuevo nivel de confianza es del 95%, lo que implica que $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.025$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.025 = 0.975$ .Consultando las tablas de la distribución normal estándar o usando una calculadora, obtenemos $z_{0.025} \approx 1.96$ .La amplitud del intervalo de confianza ( $A$ ) es el doble del error máximo de la estimación ( $E$ ). Queremos que la amplitud sea inferior a $0.03$ , es decir, $A < 0.03$ .

A = 2E < 0.03 \implies E < 0.015

Usamos la fórmula del error máximo de la estimación y despejamos $n$ :

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}

0.015 > 1.96 \sqrt{\frac{0.925 \cdot 0.075}{n}}

0.015 > 1.96 \sqrt{\frac{0.069375}{n}}

\frac{0.015}{1.96} > \sqrt{\frac{0.069375}{n}}

0.00765306 > \sqrt{\frac{0.069375}{n}}

Elevamos al cuadrado ambos lados de la inecuación:

(0.00765306)^2 > \frac{0.069375}{n}

0.0000585695 > \frac{0.069375}{n}

n > \frac{0.069375}{0.0000585695}

n > 1184.67

Dado que $n$ debe ser un número entero de envíos, el número mínimo de envíos que habrá que analizar es $1185$ .

T6: Teoría de muestras

Distribución de la media muestral e inferencia para la media

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

8

a) El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una mesa sigue una distribución Normal de media 60 minutos y desviación típica de 30 minutos. Si en un mes ese carpintero ha fabricado 100 mesas, calcule la probabilidad de que el tiempo medio de fabricación de las mesas de esa muestra sea superior a 54 minutos.b) El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una puerta sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica de 20 minutos. En un mes ese carpintero ha fabricado 25 puertas, obteniendo un tiempo medio de fabricación de 40 minutos. Halle un intervalo de confianza para el tiempo medio de fabricación de una puerta con un nivel de confianza del 97%. Determine el error máximo cometido al realizar la estimación.

EstadísticaDistribución NormalMedia muestral+2

a) El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una mesa,

X

, sigue una distribución Normal con media

\mu = 60

minutos y desviación típica

\sigma = 30

minutos. Para una muestra de

n = 100

mesas, el tiempo medio de fabricación de las mesas de la muestra,

\bar{X}

, sigue una distribución Normal con media

\mu_{\bar{X}} = \mu = 60

y desviación típica

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{30}{\sqrt{100}} = \frac{30}{10} = 3

.

Entonces, $\bar{X} \sim N(60, 3)$ . Queremos calcular la probabilidad de que el tiempo medio de fabricación de las mesas de esa muestra sea superior a 54 minutos, es decir, $P(\bar{X} > 54)$ .Estandarizamos la variable $\bar{X}$ :

Z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}}

Z = \frac{54 - 60}{3} = \frac{-6}{3} = -2

Por lo tanto, la probabilidad es:

P(\bar{X} > 54) = P(Z > -2)

P(Z > -2) = 1 - P(Z \le -2) = 1 - (1 - P(Z < 2)) = P(Z < 2)

Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar, $P(Z < 2)$ es:

P(Z < 2) = 0.9772

La probabilidad de que el tiempo medio de fabricación sea superior a 54 minutos es $0.9772$ .

b) Se nos proporciona la siguiente información para el tiempo de fabricación de una puerta:

- Desviación típica de la población, $\sigma = 20$ minutos.- Tamaño de la muestra, $n = 25$ puertas.- Tiempo medio de fabricación de la muestra, $\bar{x} = 40$ minutos.- Nivel de confianza del 97%.Para un nivel de confianza del 97%, tenemos $1 - \alpha = 0.97$ , lo que implica $\alpha = 0.03$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.015$ .Necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$ . Consultando la tabla de la distribución Normal estándar, encontramos que $z_{0.015} = 2.17$ .El intervalo de confianza para la media de la población ( $\mu$ ) se calcula mediante la fórmula:

IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Calculamos el error máximo (E):

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{20}{\sqrt{25}} = 2.17 \cdot \frac{20}{5} = 2.17 \cdot 4 = 8.68

Ahora construimos el intervalo de confianza:

IC = (40 - 8.68, 40 + 8.68)

IC = (31.32, 48.68)

El intervalo de confianza para el tiempo medio de fabricación de una puerta con un nivel de confianza del 97% es $(31.32, 48.68)$ minutos.El error máximo cometido al realizar la estimación es el valor de $E$ , que es $8.68$ minutos.

T6: Teoría de muestras

Distribución Normal

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

7

La altura de un cierto tipo de plantas de maíz sigue una distribución Normal de media $145 \text{ cm}$ y desviación típica $22 \text{ cm}$ .

a) ¿Qué porcentaje de plantas tiene una altura comprendida entre

135 \text{ cm}

y

155 \text{ cm}

?b) ¿Qué altura, como mínimo, debe tener una planta para estar entre el 50% de las más altas?c) Se selecciona una muestra aleatoria de 16 plantas. Halle la probabilidad de que la altura media de las plantas de esta muestra esté comprendida entre

140 \text{ cm}

y

151 \text{ cm}

.

Distribución NormalMuestreoProbabilidad

Sea $X$ la altura de las plantas de maíz. Sabemos que $X$ sigue una distribución Normal con media $\mu = 145 \text{ cm}$ y desviación típica $\sigma = 22 \text{ cm}$ . Es decir, $X \sim N(145, 22)$ .

a) ¿Qué porcentaje de plantas tiene una altura comprendida entre

135 \text{ cm}

y

155 \text{ cm}

?

Queremos calcular $P(135 < X < 155)$ . Para ello, estandarizamos los valores de $X$ a la variable $Z$ mediante la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ .

Z_1 = \frac{135 - 145}{22} = \frac{-10}{22} \approx -0.45

Z_2 = \frac{155 - 145}{22} = \frac{10}{22} \approx 0.45

Así, $P(135 < X < 155) = P(-0.45 < Z < 0.45)$ . Utilizando las tablas de la distribución Normal estándar o una calculadora, sabemos que:

P(-0.45 < Z < 0.45) = P(Z < 0.45) - P(Z < -0.45)

P(Z < -0.45) = 1 - P(Z < 0.45)

P(-0.45 < Z < 0.45) = P(Z < 0.45) - (1 - P(Z < 0.45)) = 2 \cdot P(Z < 0.45) - 1

Consultando la tabla de la Normal estándar, $P(Z < 0.45) \approx 0.6736$ .

P(-0.45 < Z < 0.45) \approx 2 \cdot 0.6736 - 1 = 1.3472 - 1 = 0.3472

Esto significa que aproximadamente el $34.72\%$ de las plantas tienen una altura comprendida entre $135 \text{ cm}$ y $155 \text{ cm}$ .

b) ¿Qué altura, como mínimo, debe tener una planta para estar entre el 50% de las más altas?

Estar entre el $50\%$ de las plantas más altas significa que la probabilidad de que una planta tenga una altura $X$ mayor o igual a un cierto valor $x_0$ es $0.50$ . Es decir, $P(X \ge x_0) = 0.50$ . Para una distribución Normal, debido a su simetría, la mediana coincide con la media. Por lo tanto, el valor $x_0$ que deja el $50\%$ de los datos por encima de él es precisamente la media de la distribución.

x_0 = \mu = 145 \text{ cm}

Así, una planta debe tener, como mínimo, $145 \text{ cm}$ para estar entre el $50\%$ de las más altas.

c) Se selecciona una muestra aleatoria de 16 plantas. Halle la probabilidad de que la altura media de las plantas de esta muestra esté comprendida entre

140 \text{ cm}

y

151 \text{ cm}

.

Sea $\bar{X}$ la altura media de una muestra de $n=16$ plantas. Por el Teorema Central del Límite (o directamente, dado que la población es Normal), la distribución de la media muestral $\bar{X}$ también es Normal con: Media: $\mu_{\bar{X}} = \mu = 145 \text{ cm}$ Desviación típica (error estándar): $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

\sigma_{\bar{X}} = \frac{22}{\sqrt{16}} = \frac{22}{4} = 5.5 \text{ cm}

Entonces, $\bar{X} \sim N(145, 5.5)$ . Queremos calcular $P(140 < \bar{X} < 151)$ . Estandarizamos los valores de $\bar{X}$ a la variable $Z$ :

Z_1 = \frac{140 - 145}{5.5} = \frac{-5}{5.5} \approx -0.91

Z_2 = \frac{151 - 145}{5.5} = \frac{6}{5.5} \approx 1.09

Así, $P(140 < \bar{X} < 151) = P(-0.91 < Z < 1.09)$ . Utilizando las tablas de la distribución Normal estándar:

P(-0.91 < Z < 1.09) = P(Z < 1.09) - P(Z < -0.91)

Consultando la tabla de la Normal estándar: $P(Z < 1.09) \approx 0.8621$ $P(Z < -0.91) = 1 - P(Z < 0.91) \approx 1 - 0.8186 = 0.1814$

P(-0.91 < Z < 1.09) \approx 0.8621 - 0.1814 = 0.6807

La probabilidad de que la altura media de las plantas de esta muestra esté comprendida entre $140 \text{ cm}$ y $151 \text{ cm}$ es aproximadamente $0.6807$ .

T6: Teoría de muestras

Intervalos de confianza para proporciones

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

8

Se desea estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota. Para ello, se selecciona una muestra aleatoria de 300 viajeros, obteniéndose que 12 de ellos viajan con su mascota.

a) Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del 97%, para estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota.b) Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuántas personas que viajan en tren deberán seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un 2%?

Inferencia estadísticaIntervalo de confianzaTamaño muestral

Datos iniciales:Tamaño de la muestra: $n = 300$ Número de viajeros con mascota: $x = 12$ Proporción muestral de viajeros con mascota: $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{12}{300} = 0.04$ Proporción muestral de viajeros sin mascota: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.04 = 0.96$

a) Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del 97%, para estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota.

Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97 \Rightarrow \alpha = 0.03 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.015$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$ . De las tablas de la distribución normal estándar, obtenemos $z_{0.015} \approx 2.17$ .La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción poblacional es:

\text{IC} = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)

Calculamos el error máximo de estimación (E):

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 2.17 \sqrt{\frac{0.04 \cdot 0.96}{300}}

E = 2.17 \sqrt{\frac{0.0384}{300}} = 2.17 \sqrt{0.000128}

E \approx 2.17 \cdot 0.011318 \approx 0.02456

Ahora construimos el intervalo de confianza:

\text{IC} = (0.04 - 0.02456, 0.04 + 0.02456)

\text{IC} = (0.01544, 0.06456)

El intervalo de confianza del 97% para la proporción de personas que viajan en tren con su mascota es $(0.0154, 0.0646)$ .

b) Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuántas personas que viajan en tren deberán seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un 2%?

Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95 \Rightarrow \alpha = 0.05 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 0.025$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$ . De las tablas de la distribución normal estándar, obtenemos $z_{0.025} = 1.96$ .Error máximo permitido (E): $2\% = 0.02$ Proporción muestral ( $\hat{p}$ ) a utilizar: $0.04$ (la misma que en el apartado a))Proporción $\hat{q}$ : $1 - 0.04 = 0.96$ La fórmula para el tamaño muestral es:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p}\hat{q}}{E^2}

Sustituyendo los valores:

n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.04 \cdot 0.96}{(0.02)^2}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.0384}{0.0004}

n = \frac{0.147502144}{0.0004}

n = 368.75536

Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y se necesita un mínimo, se redondea al siguiente entero superior.Se deberán seleccionar aleatoriamente al menos $369$ personas.

T6: Teoría de muestras

Intervalos de confianza para proporciones

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

7

EJERCICIO 7

a) Para estimar la proporción de mujeres matriculadas en carreras STEM en Andalucía, se realiza una encuesta a

2000

universitarias andaluzas elegidas al azar y se obtiene que

710

de ellas están matriculadas en carreras STEM. Con un nivel de confianza del

96.5\%

, calcule un intervalo de confianza para estimar la proporción de mujeres matriculadas en carreras STEM en Andalucía.b) En otra comunidad autónoma, al seleccionar una muestra de universitarias, se observa que el porcentaje de mujeres matriculadas en carreras STEM es del

37\%

. Con un nivel de confianza del

98\%

, calcule el tamaño mínimo de esa nueva muestra para que el error máximo cometido sea del

1.5\%

.

Inferencia estadísticaIntervalo de confianzaTamaño muestral

a) Para estimar la proporción de mujeres matriculadas en carreras STEM en Andalucía, se realiza una encuesta a

2000

universitarias andaluzas elegidas al azar y se obtiene que

710

de ellas están matriculadas en carreras STEM. Con un nivel de confianza del

96.5\%

, calcule un intervalo de confianza para estimar la proporción de mujeres matriculadas en carreras STEM en Andalucía.

Los datos proporcionados son:Tamaño de la muestra: $n = 2000$ Número de "éxitos" (mujeres en carreras STEM): $x = 710$ Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.965$ Calculamos la proporción muestral:

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{710}{2000} = 0.355

La proporción complementaria es:

\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.355 = 0.645

Ahora, determinamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ . Dado que el nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.965$ , entonces $\alpha = 1 - 0.965 = 0.035$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.035 / 2 = 0.0175$ .Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.0175 = 0.9825$ .Consultando las tablas de la distribución normal estándar o usando una calculadora, obtenemos que:

z_{\alpha/2} \approx 2.10

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es:

\text{IC} = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}

Sustituyendo los valores:

\text{IC} = 0.355 \pm 2.10 \sqrt{\frac{0.355 \cdot 0.645}{2000}}

\text{IC} = 0.355 \pm 2.10 \sqrt{\frac{0.229075}{2000}}

\text{IC} = 0.355 \pm 2.10 \sqrt{0.0001145375}

\text{IC} = 0.355 \pm 2.10 \cdot 0.010702

\text{IC} = 0.355 \pm 0.022474

Calculamos los límites del intervalo:

\text{Límite inferior} = 0.355 - 0.022474 = 0.332526

\text{Límite superior} = 0.355 + 0.022474 = 0.377474

El intervalo de confianza para la proporción de mujeres matriculadas en carreras STEM en Andalucía es aproximadamente $[0.3325, 0.3775]$ .

b) En otra comunidad autónoma, al seleccionar una muestra de universitarias, se observa que el porcentaje de mujeres matriculadas en carreras STEM es del

37\%

. Con un nivel de confianza del

98\%

, calcule el tamaño mínimo de esa nueva muestra para que el error máximo cometido sea del

1.5\%

.

Los datos proporcionados son:Proporción estimada: $p = 0.37$ (el porcentaje observado en la muestra se usa como estimación de $p$ para el cálculo del tamaño muestral).Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98$ Error máximo permitido: $E = 1.5\% = 0.015$ Calculamos $\alpha = 1 - 0.98 = 0.02$ , por lo tanto, $\alpha/2 = 0.01$ .Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.01 = 0.99$ .Consultando las tablas de la distribución normal estándar o usando una calculadora, obtenemos que:

z_{\alpha/2} \approx 2.33

La fórmula para el error máximo en la estimación de una proporción es:

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

Despejamos $n$ de la fórmula:

E^2 = z_{\alpha/2}^2 \frac{p(1-p)}{n}

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{E^2}

Sustituimos los valores conocidos:

n = \frac{(2.33)^2 \cdot 0.37 \cdot (1 - 0.37)}{(0.015)^2}

n = \frac{5.4289 \cdot 0.37 \cdot 0.63}{0.000225}

n = \frac{5.4289 \cdot 0.2331}{0.000225}

n = \frac{1.26622659}{0.000225}

n \approx 5627.67

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y se busca el tamaño mínimo para garantizar el error deseado, debemos redondear al entero superior.El tamaño mínimo de la muestra es $5628$ universitarias.

T6: Teoría de muestras

Intervalos de confianza para la media

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

8

EJERCICIO 8

La cuota mensual de las hipotecas en una ciudad es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica igual a $140 \,\text{euros}$ .

a) Se toma una muestra aleatoria de hipotecas en dicha ciudad y se obtiene que el intervalo de confianza al

95\%

para la media de las cuotas mensuales es

(517.65, 551.95)

. Calcule el valor de la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.b) Escogida otra muestra de

78

hipotecas en esa ciudad y con un nivel de confianza del

97\%

, calcule el error máximo cometido para estimar la cuota mensual media.c) Si en otra ciudad la cuota mensual de las hipotecas sigue una distribución Normal de media

540 \,\text{euros}

y desviación típica de

150 \,\text{euros}

, calcule la probabilidad de que la cuota de una hipoteca elegida al azar en dicha ciudad esté comprendida entre

600

y

700

euros.

Distribución NormalIntervalo de confianzaError máximo

a) Se toma una muestra aleatoria de hipotecas en dicha ciudad y se obtiene que el intervalo de confianza al

95\%

para la media de las cuotas mensuales es

(517.65, 551.95)

. Calcule el valor de la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.

El intervalo de confianza para la media de una población con desviación típica conocida ( $\sigma$ ) se calcula mediante la expresión:

IC = \left(\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

Se nos da la desviación típica $\sigma = 140 \,\text{euros}$ y un nivel de confianza del $95\%$ . Para este nivel de confianza, $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ , por lo que $\alpha/2 = 0.025$ . Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ en la tabla de la distribución Normal estándar tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$ . Este valor es $z_{0.025} = 1.96$ .La media muestral $\bar{x}$ se encuentra en el centro del intervalo de confianza. Por lo tanto:

\bar{x} = \frac{517.65 + 551.95}{2} = \frac{1069.6}{2} = 534.8

El margen de error ( $E$ ) es la mitad de la amplitud del intervalo:

E = \frac{551.95 - 517.65}{2} = \frac{34.3}{2} = 17.15

También sabemos que el margen de error es $E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Sustituyendo los valores conocidos, podemos despejar el tamaño de la muestra $n$ :

17.15 = 1.96 \cdot \frac{140}{\sqrt{n}}

\sqrt{n} = \frac{1.96 \cdot 140}{17.15} = \frac{274.4}{17.15} = 16

n = 16^2 = 256

La media muestral es $\bar{x} = 534.8 \,\text{euros}$ y el tamaño de la muestra es $n = 256$ .

b) Escogida otra muestra de

78

hipotecas en esa ciudad y con un nivel de confianza del

97\%

, calcule el error máximo cometido para estimar la cuota mensual media.

Tenemos los siguientes datos: desviación típica $\sigma = 140 \,\text{euros}$ , tamaño de la muestra $n = 78$ , y un nivel de confianza del $97\%$ . Para este nivel de confianza, $\alpha = 1 - 0.97 = 0.03$ , por lo que $\alpha/2 = 0.015$ . Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$ . De la tabla de la distribución Normal estándar, obtenemos $z_{0.015} \approx 2.17$ .El error máximo ( $E$ ) para estimar la media se calcula con la fórmula:

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Sustituyendo los valores:

E = 2.17 \cdot \frac{140}{\sqrt{78}}

E = 2.17 \cdot \frac{140}{8.8318}

E \approx 2.17 \cdot 15.851

E \approx 34.402

El error máximo cometido para estimar la cuota mensual media es aproximadamente $34.40 \,\text{euros}$ .

c) Si en otra ciudad la cuota mensual de las hipotecas sigue una distribución Normal de media

540 \,\text{euros}

y desviación típica de

150 \,\text{euros}

, calcule la probabilidad de que la cuota de una hipoteca elegida al azar en dicha ciudad esté comprendida entre

600

y

700

euros.

La variable aleatoria $X$ (cuota mensual de las hipotecas) sigue una distribución Normal con media $\mu = 540 \,\text{euros}$ y desviación típica $\sigma = 150 \,\text{euros}$ . Queremos calcular $P(600 < X < 700)$ .Estandarizamos los valores de $X$ a la distribución Normal estándar $Z$ utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ .Para $X_1 = 600$ :

Z_1 = \frac{600 - 540}{150} = \frac{60}{150} = 0.4

Para $X_2 = 700$ :

Z_2 = \frac{700 - 540}{150} = \frac{160}{150} \approx 1.07

Ahora calculamos la probabilidad en términos de $Z$ :

P(600 < X < 700) = P(0.4 < Z < 1.07)

P(0.4 < Z < 1.07) = P(Z < 1.07) - P(Z < 0.4)

Consultando la tabla de la distribución Normal estándar (o una calculadora):

P(Z < 1.07) \approx 0.8577

P(Z < 0.4) \approx 0.6554

Restamos estos valores para obtener la probabilidad deseada:

P(0.4 < Z < 1.07) = 0.8577 - 0.6554 = 0.2023

La probabilidad de que la cuota de una hipoteca elegida al azar en dicha ciudad esté comprendida entre $600$ y $700$ euros es aproximadamente $0.2023$ .

T6: Teoría de muestras

Intervalos de confianza para la proporción

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

7

Se ha administrado un determinado medicamento a una muestra de 220 enfermos de una población que padece una cierta enfermedad y se ha observado una respuesta positiva en 165 de ellos.

a) Estime, mediante un intervalo de confianza del 97.5%, la proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se administrase a la población de la que se ha extraído la muestra. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el porcentaje de enfermos que responderían positivamente al medicamento administrado es del 70%.b) Con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea menor que el 2.5%?

Inferencia estadísticaIntervalo de confianzaProporción

a) Estime, mediante un intervalo de confianza del 97.5%, la proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se administrase a la población de la que se ha extraído la muestra. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el porcentaje de enfermos que responderían positivamente al medicamento administrado es del 70%.

Datos:

n = 220 \text{ (tamaño de la muestra)}

x = 165 \text{ (número de respuestas positivas)}

\text{Nivel de confianza} = 97.5\%

Cálculo de la proporción muestral $\hat{p}$ :

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{165}{220} = 0.75

1 - \hat{p} = 1 - 0.75 = 0.25

Para un nivel de confianza del 97.5%, el nivel de significación $\alpha$ es $1 - 0.975 = 0.025$ . El valor crítico $Z_{\alpha/2}$ se encuentra buscando el área $1 - \alpha/2 = 1 - 0.025/2 = 1 - 0.0125 = 0.9875$ en la tabla de la distribución normal estándar. El valor $Z_{\alpha/2}$ es aproximadamente 2.24.

Z_{\alpha/2} = Z_{0.0125} \approx 2.24

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es:

IC = \left( \hat{p} - Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)

Primero, calculamos el error máximo de estimación (E):

E = Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 2.24 \sqrt{\frac{0.75 \cdot 0.25}{220}}

E = 2.24 \sqrt{\frac{0.1875}{220}} = 2.24 \sqrt{0.00085227...}

E \approx 2.24 \cdot 0.02919 \approx 0.06539

Ahora construimos el intervalo de confianza:

IC = (0.75 - 0.06539, 0.75 + 0.06539)

IC = (0.68461, 0.81539)

El intervalo de confianza del 97.5% para la proporción de enfermos que responderían positivamente es $(0.6846, 0.8154)$ . Esto significa que, con un 97.5% de confianza, la verdadera proporción poblacional se encuentra entre el 68.46% y el 81.54%.Para razonar si puede admitirse que el porcentaje de enfermos que responderían positivamente es del 70%, comprobamos si el valor 0.70 (70%) está contenido dentro del intervalo de confianza. Dado que $0.6846 < 0.70 < 0.8154$ , el valor 0.70 se encuentra dentro del intervalo. Por lo tanto, sí puede admitirse que el porcentaje de enfermos que responderían positivamente al medicamento es del 70%.

b) Con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea menor que el 2.5%?

Datos:

\text{Nivel de confianza} = 97.5\% \implies Z_{\alpha/2} = 2.24

\text{Proporción muestral} \hat{p} = 0.75

\text{Error de estimación deseado } E < 2.5\% = 0.025

La fórmula para el tamaño de la muestra ( $n$ ) cuando se busca un error de estimación específico es:

n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}

Sustituyendo los valores:

n = \frac{(2.24)^2 \cdot 0.75 \cdot (1-0.75)}{(0.025)^2}

n = \frac{5.0176 \cdot 0.75 \cdot 0.25}{0.000625}

n = \frac{5.0176 \cdot 0.1875}{0.000625}

n = \frac{0.94125}{0.000625}

n = 1506

Para que el error de estimación sea menor que el 2.5%, el tamaño mínimo de la nueva muestra debe ser de 1506 individuos.