T6: Teoría de muestras · Inferencia estadística y distribución normal — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Inferencia estadística y distribución normal

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

Una industria conservera envasa latas de anchoas cuyo peso en gramos sigue una distribución Normal con media poblacional desconocida y desviación típica $1\text{ g}$ . Para estimar la media poblacional, se selecciona al azar una muestra de $30$ latas que dan un peso total de $2404.5\text{ g}$ .

a) Determine un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

99 \%

, para estimar el peso medio de las latas envasadas por la conservera.b) Calcule el tamaño mínimo de una nueva muestra para que, manteniendo el mismo nivel de confianza, el error máximo de estimación de la media poblacional sea menor que

0.3\text{ g}

.c) Explique, razonadamente, el efecto que tendría sobre el error máximo de estimación un aumento del número de latas seleccionadas en la muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza, y explique también qué ocurriría con dicho error si se aumentara el nivel de confianza manteniendo el mismo tamaño muestral.

Intervalos de confianzaDistribución normalError de estimación

Datos proporcionados:Desviación típica poblacional: $\sigma = 1\text{ g}$ Tamaño de la muestra: $n = 30$ Peso total de la muestra: $2404.5\text{ g}$ Nivel de confianza: $99\%$ Cálculo de la media muestral:

\bar{x} = \frac{\text{Peso total}}{n} = \frac{2404.5}{30} = 80.15\text{ g}

a) Determine un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

99 \%

, para estimar el peso medio de las latas envasadas por la conservera.

Para un nivel de confianza del $99\%$ , el valor de $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.005$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.005 = 0.995$ . En la tabla de la distribución Normal estándar, el valor $z_{0.005}$ que corresponde a un área de $0.995$ es $2.575$ .La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ con desviación típica poblacional conocida es:

\text{IC} = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Calculamos el error máximo de estimación (E):

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.575 \frac{1}{\sqrt{30}}

E \approx 2.575 \frac{1}{5.4772} \approx 0.4701

Sustituyendo los valores:

\text{IC} = (80.15 - 0.4701, 80.15 + 0.4701)

\text{IC} = (79.6799, 80.6201)

El intervalo de confianza del $99\%$ para el peso medio de las latas es $(79.68\text{ g}, 80.62\text{ g})$ (redondeado a dos decimales).

b) Calcule el tamaño mínimo de una nueva muestra para que, manteniendo el mismo nivel de confianza, el error máximo de estimación de la media poblacional sea menor que

0.3\text{ g}

La fórmula para el error máximo de estimación es $E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Despejando $n$ :

\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \Rightarrow n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2

Tenemos los siguientes datos: $z_{\alpha/2} = 2.575$ (para un nivel de confianza del $99\%$ ) $\sigma = 1\text{ g}$ Error máximo deseado: $E < 0.3\text{ g}$ Sustituyendo los valores en la fórmula:

n = \left( \frac{2.575 \cdot 1}{0.3} \right)^2

n = \left( \frac{2.575}{0.3} \right)^2 = (8.5833...)^2 \approx 73.673

Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser menor que $0.3\text{ g}$ , debemos redondear al siguiente entero superior. Por lo tanto, el tamaño mínimo de la muestra es $74$ latas.

c) Explique, razonadamente, el efecto que tendría sobre el error máximo de estimación un aumento del número de latas seleccionadas en la muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza, y explique también qué ocurriría con dicho error si se aumentara el nivel de confianza manteniendo el mismo tamaño muestral.

El error máximo de estimación ( $E$ ) viene dado por la fórmula $E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .1. Efecto de un aumento del número de latas seleccionadas ( $n$ ):Si se aumenta el número de latas seleccionadas en la muestra ( $n$ ), y se mantiene constante el nivel de confianza ( $z_{\alpha/2}$ ) y la desviación típica poblacional ( $\sigma$ ), el valor de $\sqrt{n}$ aumenta. Dado que $\sqrt{n}$ se encuentra en el denominador de la fórmula del error ( $E$ ), un aumento de $n$ provocará una disminución del error máximo de estimación. Esto significa que la estimación de la media poblacional será más precisa.2. Efecto de un aumento del nivel de confianza:Si se aumenta el nivel de confianza (por ejemplo, del $95\%$ al $99\%$ ), manteniendo constante el tamaño muestral ( $n$ ) y la desviación típica poblacional ( $\sigma$ ), el valor crítico $z_{\alpha/2}$ aumentará (ya que se requiere un intervalo más amplio para asegurar una mayor confianza). Dado que $z_{\alpha/2}$ se encuentra en el numerador de la fórmula del error ( $E$ ), un aumento del nivel de confianza provocará un aumento del error máximo de estimación. Esto implica que el intervalo de confianza se hará más amplio, reflejando una mayor incertidumbre sobre la ubicación exacta de la media poblacional, a cambio de una mayor seguridad de que el verdadero parámetro se encuentra dentro de ese intervalo.