T6: Teoría de muestras · Inferencia estadística para la media — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Inferencia estadística para la media

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

EJERCICIO 7

Se ha realizado un estudio para analizar el peso, en kilogramos, de las mochilas de los estudiantes de ESO de los institutos de una localidad. Para ello, se seleccionó una muestra aleatoria de 13 mochilas, obteniéndose los siguientes datos:4.5, 5.3, 4.9, 5.2, 5.5, 5.5, 5.7, 4.8, 5.6, 4.7, 4.2, 5.8, 4.6 El peso de las mochilas se distribuye según una ley Normal de desviación típica $0.9 \text{ kg}$ y media desconocida.

a) Halle un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

98.5\%

, para estimar el peso medio de las mochilas escolares.b) Para el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño muestral mínimo se debería tomar para que el error cometido al estimar el peso medio de estas mochilas sea inferior al

10\%

?c) El peso medio de las mochilas de los estudiantes de ESO de esa localidad es de

4.9 \text{ kg}

y tomando una muestra aleatoria de 36 mochilas, ¿qué distribución sigue la variable que mide el peso medio de estas 36 mochilas? ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio no supere los

5.2 \text{ kg}

Distribución NormalIntervalo de confianza para la mediaTamaño muestral

Cálculos iniciales

Los datos proporcionados son los siguientes:Muestra aleatoria de $n = 13$ mochilas:4.5, 5.3, 4.9, 5.2, 5.5, 5.5, 5.7, 4.8, 5.6, 4.7, 4.2, 5.8, 4.6 Desviación típica poblacional $\sigma = 0.9 \text{ kg}$ .Calculamos la media muestral $\bar{x}$ :

\bar{x} = \frac{4.5 + 5.3 + 4.9 + 5.2 + 5.5 + 5.5 + 5.7 + 4.8 + 5.6 + 4.7 + 4.2 + 5.8 + 4.6}{13}

\bar{x} = \frac{67.3}{13} \approx 5.1769 \approx 5.18 \text{ kg}

a) Halle un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del

98.5\%

, para estimar el peso medio de las mochilas escolares.

El nivel de confianza es del $98.5\%$ , por lo tanto, $1 - \alpha = 0.985$ , lo que implica $\alpha = 0.015$ y $\alpha/2 = 0.0075$ .Necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.0075 = 0.9925$ .Consultando la tabla de la distribución Normal estándar, se obtiene $z_{0.0075} = 2.43$ .El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ cuando la desviación típica poblacional $\sigma$ es conocida se calcula mediante la fórmula:

IC = \left[ \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]

Sustituyendo los valores:

IC = \left[ 5.18 - 2.43 \frac{0.9}{\sqrt{13}}, 5.18 + 2.43 \frac{0.9}{\sqrt{13}} \right]

IC = \left[ 5.18 - 2.43 \frac{0.9}{3.6056}, 5.18 + 2.43 \frac{0.9}{3.6056} \right]

IC = \left[ 5.18 - 2.43 \cdot 0.2496, 5.18 + 2.43 \cdot 0.2496 \right]

IC = \left[ 5.18 - 0.6065, 5.18 + 0.6065 \right]

IC = \left[ 4.5735, 5.7865 \right]

Redondeando a dos decimales, el intervalo de confianza es:

IC \approx \left[ 4.57, 5.79 \right]

b) Para el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño muestral mínimo se debería tomar para que el error cometido al estimar el peso medio de estas mochilas sea inferior al

10\%

El nivel de confianza sigue siendo del $98.5\%$ , por lo tanto, $z_{\alpha/2} = 2.43$ .El error máximo permitido ( $E$ ) es inferior al $10\%$ , que interpretamos como $0.10 \text{ kg}$ (es decir, $E < 0.10$ ).La fórmula del error es:

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Queremos que $E < 0.10$ , por lo tanto:

0.10 > 2.43 \frac{0.9}{\sqrt{n}}

Despejamos $\sqrt{n}$ :

\sqrt{n} > \frac{2.43 \cdot 0.9}{0.10}

\sqrt{n} > \frac{2.187}{0.10}

\sqrt{n} > 21.87

Elevamos al cuadrado ambos lados para encontrar $n$ :

n > (21.87)^2

n > 478.3069

Dado que el tamaño muestral debe ser un número entero, el tamaño muestral mínimo que se debe tomar es $n = 479$ mochilas.

c) El peso medio de las mochilas de los estudiantes de ESO de esa localidad es de

4.9 \text{ kg}

y tomando una muestra aleatoria de 36 mochilas, ¿qué distribución sigue la variable que mide el peso medio de estas 36 mochilas? ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio no supere los

5.2 \text{ kg}

Datos para este apartado:Media poblacional $\mu = 4.9 \text{ kg}$ .Desviación típica poblacional $\sigma = 0.9 \text{ kg}$ .Tamaño muestral $n = 36$ .La variable que mide el peso medio de las 36 mochilas, $\bar{X}$ , sigue una distribución Normal, debido a que la población original es Normal (o por el Teorema Central del Límite, dado que $n=36 \ge 30$ ). Su media es $\mu$ y su desviación típica es $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

Sustituyendo los valores:

\bar{X} \sim N\left(4.9, \frac{0.9}{\sqrt{36}}\right)

\bar{X} \sim N\left(4.9, \frac{0.9}{6}\right)

\bar{X} \sim N(4.9, 0.15)

Por lo tanto, la variable que mide el peso medio de las 36 mochilas sigue una distribución Normal con media $4.9 \text{ kg}$ y desviación típica $0.15 \text{ kg}$ .Para calcular la probabilidad de que el peso medio no supere los $5.2 \text{ kg}$ , es decir, $P(\bar{X} \le 5.2)$ , estandarizamos la variable $\bar{X}$ :

Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{\bar{X} - 4.9}{0.15}

Calculamos el valor de $Z$ para $\bar{X} = 5.2$ :

Z = \frac{5.2 - 4.9}{0.15} = \frac{0.3}{0.15} = 2

Ahora buscamos esta probabilidad en la tabla de la distribución Normal estándar:

P(\bar{X} \le 5.2) = P(Z \le 2)

Consultando la tabla, $P(Z \le 2) = 0.9772$ .La probabilidad de que el peso medio no supere los $5.2 \text{ kg}$ es $0.9772$ .