T6: Teoría de muestras · Distribución de la media muestral e inferencia para la media — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Distribución de la media muestral e inferencia para la media

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

a) El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una mesa sigue una distribución Normal de media 60 minutos y desviación típica de 30 minutos. Si en un mes ese carpintero ha fabricado 100 mesas, calcule la probabilidad de que el tiempo medio de fabricación de las mesas de esa muestra sea superior a 54 minutos.b) El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una puerta sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica de 20 minutos. En un mes ese carpintero ha fabricado 25 puertas, obteniendo un tiempo medio de fabricación de 40 minutos. Halle un intervalo de confianza para el tiempo medio de fabricación de una puerta con un nivel de confianza del 97%. Determine el error máximo cometido al realizar la estimación.

EstadísticaDistribución NormalMedia muestral+2

a) El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una mesa,

X

, sigue una distribución Normal con media

\mu = 60

minutos y desviación típica

\sigma = 30

minutos. Para una muestra de

n = 100

mesas, el tiempo medio de fabricación de las mesas de la muestra,

\bar{X}

, sigue una distribución Normal con media

\mu_{\bar{X}} = \mu = 60

y desviación típica

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{30}{\sqrt{100}} = \frac{30}{10} = 3

Entonces, $\bar{X} \sim N(60, 3)$ . Queremos calcular la probabilidad de que el tiempo medio de fabricación de las mesas de esa muestra sea superior a 54 minutos, es decir, $P(\bar{X} > 54)$ .Estandarizamos la variable $\bar{X}$ :

Z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}}

Z = \frac{54 - 60}{3} = \frac{-6}{3} = -2

Por lo tanto, la probabilidad es:

P(\bar{X} > 54) = P(Z > -2)

P(Z > -2) = 1 - P(Z \le -2) = 1 - (1 - P(Z < 2)) = P(Z < 2)

Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar, $P(Z < 2)$ es:

P(Z < 2) = 0.9772

La probabilidad de que el tiempo medio de fabricación sea superior a 54 minutos es $0.9772$ .

b) Se nos proporciona la siguiente información para el tiempo de fabricación de una puerta:

- Desviación típica de la población, $\sigma = 20$ minutos.- Tamaño de la muestra, $n = 25$ puertas.- Tiempo medio de fabricación de la muestra, $\bar{x} = 40$ minutos.- Nivel de confianza del 97%.Para un nivel de confianza del 97%, tenemos $1 - \alpha = 0.97$ , lo que implica $\alpha = 0.03$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.015$ .Necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$ . Consultando la tabla de la distribución Normal estándar, encontramos que $z_{0.015} = 2.17$ .El intervalo de confianza para la media de la población ( $\mu$ ) se calcula mediante la fórmula:

IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Calculamos el error máximo (E):

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{20}{\sqrt{25}} = 2.17 \cdot \frac{20}{5} = 2.17 \cdot 4 = 8.68

Ahora construimos el intervalo de confianza:

IC = (40 - 8.68, 40 + 8.68)

IC = (31.32, 48.68)

El intervalo de confianza para el tiempo medio de fabricación de una puerta con un nivel de confianza del 97% es $(31.32, 48.68)$ minutos.El error máximo cometido al realizar la estimación es el valor de $E$ , que es $8.68$ minutos.