T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Intervalos de confianza

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

Una empresa farmacéutica desea revisar la efectividad de un nuevo medicamento antipirético (reduce la fiebre). Se conoce que el tiempo en el que este medicamento comienza a hacer efecto sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica de $5$ minutos. Para estimar la media poblacional, se ha seleccionado una muestra aleatoria de $10$ individuos con fiebre y tras administrarse el medicamento, se han anotado los tiempos en los que comienza a remitir. Los tiempos obtenidos, en minutos, fueron:

20, 25, 30, 35, 35, 20, 20, 25, 30, 30

a) Determine un intervalo, con un nivel de confianza del

98\%

, para estimar el tiempo medio de respuesta de este medicamento. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el tiempo medio en el que el medicamento comienza a hacer efecto es superior a

35

minutos.b) Un estudio posterior ha revelado que el tiempo de respuesta a este medicamento sigue una ley Normal de media

27.2

minutos y desviación típica de

5

minutos. Determine la probabilidad de que a un paciente con fiebre que ha ingerido el medicamento no le haya hecho efecto hasta pasados

20

minutos.

Intervalo de confianzaDistribución NormalMedia poblacional

a) Determine un intervalo, con un nivel de confianza del

98\%

35

minutos.

Datos proporcionados:Desviación típica poblacional conocida, $\sigma = 5$ minutos.Tamaño de la muestra, $n = 10$ individuos.Nivel de confianza, $CL = 98\% = 0.98$ .Muestra de tiempos: $20, 25, 30, 35, 35, 20, 20, 25, 30, 30$ .Primero, calculamos la media muestral $(\bar{x})$ :

\bar{x} = \frac{20+25+30+35+35+20+20+25+30+30}{10} = \frac{270}{10} = 27 \text{ minutos}

Para un nivel de confianza del $98\%$ , el valor crítico $z_{\alpha/2}$ se calcula de la siguiente manera:

1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.01

P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.01 = 0.99

Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar, el valor $z_{\alpha/2}$ para una probabilidad acumulada de $0.99$ es $z_{\alpha/2} \approx 2.326$ .El intervalo de confianza para la media poblacional $(\mu)$ viene dado por la fórmula:

\text{IC} = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Calculamos el margen de error $E$ :

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.326 \frac{5}{\sqrt{10}}

E = 2.326 \frac{5}{3.162277} \approx 2.326 \times 1.5819 \approx 3.671 \text{ minutos}

Ahora construimos el intervalo de confianza:

\text{IC} = (27 - 3.671, 27 + 3.671) = (23.329, 30.671)

El intervalo de confianza del $98\%$ para el tiempo medio de respuesta del medicamento es $(23.329, 30.671)$ minutos.Respecto a la pregunta de si puede admitirse que el tiempo medio es superior a $35$ minutos:Dado que el intervalo de confianza $(23.329, 30.671)$ no incluye el valor $35$ y su límite superior es $30.671$ , que es menor que $35$ , no puede admitirse que el tiempo medio en el que el medicamento comienza a hacer efecto sea superior a $35$ minutos con un $98\%$ de confianza. De hecho, el intervalo sugiere que el tiempo medio es significativamente menor que $35$ minutos.

b) Un estudio posterior ha revelado que el tiempo de respuesta a este medicamento sigue una ley Normal de media

27.2

minutos y desviación típica de

5

minutos. Determine la probabilidad de que a un paciente con fiebre que ha ingerido el medicamento no le haya hecho efecto hasta pasados

20

minutos.

Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo en que el medicamento comienza a hacer efecto. Según el estudio posterior, $X$ sigue una distribución Normal con:Media $\mu = 27.2$ minutos.Desviación típica $\sigma = 5$ minutos.Se pide calcular la probabilidad de que el medicamento no haya hecho efecto hasta pasados $20$ minutos, lo cual se traduce como $P(X > 20)$ .Estandarizamos la variable $X$ a la distribución Normal estándar $Z$ :

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Z = \frac{20 - 27.2}{5} = \frac{-7.2}{5} = -1.44

Ahora calculamos la probabilidad:

P(X > 20) = P(Z > -1.44)

Utilizando las propiedades de simetría de la distribución Normal estándar:

P(Z > -1.44) = P(Z < 1.44)

Consultando la tabla de la distribución Normal estándar para $Z = 1.44$ , encontramos:

P(Z < 1.44) = 0.9251

La probabilidad de que a un paciente no le haya hecho efecto hasta pasados $20$ minutos es $0.9251$ .