El intervalo de confianza para la media de una población con desviación típica conocida ($\sigma$) se calcula mediante la expresión:

Se nos da la desviación típica $\sigma = 140 \,\text{euros}$ y un nivel de confianza del $95\%$. Para este nivel de confianza, $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$, por lo que $\alpha/2 = 0.025$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ en la tabla de la distribución Normal estándar tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. Este valor es $z_{0.025} = 1.96$.La media muestral $\bar{x}$ se encuentra en el centro del intervalo de confianza. Por lo tanto:

El margen de error ($E$) es la mitad de la amplitud del intervalo:

También sabemos que el margen de error es $E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Sustituyendo los valores conocidos, podemos despejar el tamaño de la muestra $n$:

La media muestral es $\bar{x} = 534.8 \,\text{euros}$ y el tamaño de la muestra es $n = 256$.

Tenemos los siguientes datos: desviación típica $\sigma = 140 \,\text{euros}$, tamaño de la muestra $n = 78$, y un nivel de confianza del $97\%$. Para este nivel de confianza, $\alpha = 1 - 0.97 = 0.03$, por lo que $\alpha/2 = 0.015$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$. De la tabla de la distribución Normal estándar, obtenemos $z_{0.015} \approx 2.17$.El error máximo ($E$) para estimar la media se calcula con la fórmula:

Sustituyendo los valores:

El error máximo cometido para estimar la cuota mensual media es aproximadamente $34.40 \,\text{euros}$.

La variable aleatoria $X$ (cuota mensual de las hipotecas) sigue una distribución Normal con media $\mu = 540 \,\text{euros}$ y desviación típica $\sigma = 150 \,\text{euros}$. Queremos calcular $P(600 < X < 700)$.Estandarizamos los valores de $X$ a la distribución Normal estándar $Z$ utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.Para $X_1 = 600$:

Para $X_2 = 700$:

Ahora calculamos la probabilidad en términos de $Z$:

Consultando la tabla de la distribución Normal estándar (o una calculadora):

Restamos estos valores para obtener la probabilidad deseada:

La probabilidad de que la cuota de una hipoteca elegida al azar en dicha ciudad esté comprendida entre $600$ y $700$ euros es aproximadamente $0.2023$.