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T6: Teoría de muestras
Muestreo y distribuciones muestrales
Problema
2025 · Extraordinaria · Suplente
7
Examen
a) Dada la población {−4,−2,1,4,6}\{-4, -2, 1, 4, 6\}, calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño 22 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.b) Una empresa multinacional con 10 00010\,000 empleados desea realizar un estudio sobre la brecha salarial de género en su organización. La empresa está dividida en tres niveles jerárquicos, en los que se tiene 10001000 empleados de nivel ejecutivo, siendo el 30%30 \% mujeres, 30003000 empleados de nivel medio, de los cuales el 55%55 \% son hombres, y el resto empleados de nivel operativo, de los que el 55%55 \% son mujeres. Se quiere seleccionar una muestra estratificada de 20002000 empleados, manteniendo la proporción de cada nivel jerárquico y la distribución de género dentro de cada nivel. ¿Cuántos empleados deben seleccionarse en cada nivel jerárquico? y dentro de cada uno, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres deben seleccionarse?
Muestreo estratificadoVarianzaMedia muestral
a) Calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño 22 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.

La población dada es {−4,−2,1,4,6}\{-4, -2, 1, 4, 6\}, con un tamaño de población N=5N=5.El tamaño de la muestra es n=2n=2.Primero, calculamos la media poblacional (μ\mu):

μ=∑xiN=−4+(−2)+1+4+65=55=1\mu = \frac{\sum x_i}{N} = \frac{-4 + (-2) + 1 + 4 + 6}{5} = \frac{5}{5} = 1

Luego, calculamos la varianza poblacional (σ2\sigma^2):

σ2=∑(xi−μ)2N\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}
∑(xi−μ)2=(−4−1)2+(−2−1)2+(1−1)2+(4−1)2+(6−1)2\sum (x_i - \mu)^2 = (-4-1)^2 + (-2-1)^2 + (1-1)^2 + (4-1)^2 + (6-1)^2
∑(xi−μ)2=(−5)2+(−3)2+(0)2+(3)2+(5)2\sum (x_i - \mu)^2 = (-5)^2 + (-3)^2 + (0)^2 + (3)^2 + (5)^2
∑(xi−μ)2=25+9+0+9+25=68\sum (x_i - \mu)^2 = 25 + 9 + 0 + 9 + 25 = 68
σ2=685=13.6\sigma^2 = \frac{68}{5} = 13.6

Para el muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento de una población finita, la varianza de la distribución de las medias muestrales (σxˉ2\sigma_{\bar{x}}^2) se calcula mediante la fórmula:

σxˉ2=σ2n⋅N−nN−1\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} \cdot \frac{N-n}{N-1}

Sustituyendo los valores conocidos:

σxˉ2=13.62⋅5−25−1\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{13.6}{2} \cdot \frac{5-2}{5-1}
σxˉ2=6.8⋅34\sigma_{\bar{x}}^2 = 6.8 \cdot \frac{3}{4}
σxˉ2=6.8⋅0.75\sigma_{\bar{x}}^2 = 6.8 \cdot 0.75
σxˉ2=5.1\sigma_{\bar{x}}^2 = 5.1

La varianza de la distribución de las medias muestrales es 5.15.1.

b) ¿Cuántos empleados deben seleccionarse en cada nivel jerárquico? y dentro de cada uno, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres deben seleccionarse?

La población total de empleados es N=10 000N = 10\,000. La muestra deseada es de n=2000n = 2000 empleados.La fracción de muestreo (ff) es:

f=nN=200010000=0.2f = \frac{n}{N} = \frac{2000}{10000} = 0.2

Calculamos el número de empleados en cada nivel jerárquico de la población y su distribución por género:Nivel Ejecutivo (N1): 10001000 empleados

Mujeres: 0.30⋅1000=300\text{Mujeres: } 0.30 \cdot 1000 = 300
Hombres: 0.70⋅1000=700\text{Hombres: } 0.70 \cdot 1000 = 700

Nivel Medio (N2): 30003000 empleados

Hombres: 0.55⋅3000=1650\text{Hombres: } 0.55 \cdot 3000 = 1650
Mujeres: 0.45⋅3000=1350\text{Mujeres: } 0.45 \cdot 3000 = 1350

Nivel Operativo (N3): 10000−1000−3000=600010000 - 1000 - 3000 = 6000 empleados

Mujeres: 0.55⋅6000=3300\text{Mujeres: } 0.55 \cdot 6000 = 3300
Hombres: 0.45⋅6000=2700\text{Hombres: } 0.45 \cdot 6000 = 2700

Ahora, calculamos el número de empleados a seleccionar en cada nivel jerárquico de la muestra, aplicando la fracción de muestreo (0.20.2):Muestra del Nivel Ejecutivo (n1):

n1=0.2⋅1000=200 empleadosn_1 = 0.2 \cdot 1000 = 200 \text{ empleados}

Dentro de este nivel:

Mujeres: 0.30⋅200=60\text{Mujeres: } 0.30 \cdot 200 = 60
Hombres: 0.70⋅200=140\text{Hombres: } 0.70 \cdot 200 = 140

Muestra del Nivel Medio (n2):

n2=0.2⋅3000=600 empleadosn_2 = 0.2 \cdot 3000 = 600 \text{ empleados}

Dentro de este nivel:

Hombres: 0.55⋅600=330\text{Hombres: } 0.55 \cdot 600 = 330
Mujeres: 0.45⋅600=270\text{Mujeres: } 0.45 \cdot 600 = 270

Muestra del Nivel Operativo (n3):

n3=0.2⋅6000=1200 empleadosn_3 = 0.2 \cdot 6000 = 1200 \text{ empleados}

Dentro de este nivel:

Mujeres: 0.55⋅1200=660\text{Mujeres: } 0.55 \cdot 1200 = 660
Hombres: 0.45⋅1200=540\text{Hombres: } 0.45 \cdot 1200 = 540

Resumen de la selección de la muestra: Nivel Ejecutivo: 200200 empleados (140140 hombres y 6060 mujeres). Nivel Medio: 600600 empleados (330330 hombres y 270270 mujeres). Nivel Operativo: 12001200 empleados (540540 hombres y 660660 mujeres).