T6: Teoría de muestras · Intervalo de confianza para la proporción — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Intervalo de confianza para la proporción

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

EJERCICIO 6

Se selecciona una muestra aleatoria de 600 familias a las que se les pregunta si tienen mascota, resultando que 240 de esas familias contestaron afirmativamente. Con un nivel de confianza del $95\%$ ,

a) Obtenga el correspondiente intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de familias que tienen mascota. ¿Puede suponerse que la mitad de las familias de esta población tiene mascota?b) ¿Qué tamaño muestral mínimo se debe tomar para que el error máximo al estimar esta proporción sea 0.025?c) Explique razonadamente el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza de la proporción poblacional el aumento del tamaño de la muestra elegida.

Intervalo de confianzaProporciónTamaño muestral

Datos iniciales:Tamaño de la muestra: $n = 600$ Número de familias con mascota: $x = 240$ Proporción muestral de familias con mascota: $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{240}{600} = 0.4$ Proporción muestral de familias sin mascota: $1 - \hat{p} = 1 - 0.4 = 0.6$ Nivel de confianza: $95\%$ . Esto implica que $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ . El valor crítico de $z$ para este nivel de confianza es $z_{\alpha/2} = z_{0.025}$ . Buscando en la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que $z_{0.025} = 1.96$ (ya que $P(Z \le 1.96) = 0.975$ ).

La fórmula del intervalo de confianza para una proporción poblacional es:

\text{IC} = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Calculamos el error máximo de estimación (margen de error):

E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.4(0.6)}{600}}

E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.24}{600}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.0004} = 1.96 \cdot 0.02 = 0.0392

El intervalo de confianza es:

\text{IC} = 0.4 \pm 0.0392

\text{IC} = (0.4 - 0.0392, 0.4 + 0.0392) = (0.3608, 0.4392)

Para responder si puede suponerse que la mitad de las familias tiene mascota, debemos verificar si la proporción $p = 0.5$ está incluida en el intervalo de confianza calculado. Dado que $0.5$ no se encuentra dentro del intervalo $(0.3608, 0.4392)$ , no puede suponerse con un nivel de confianza del $95\%$ que la mitad de las familias de esta población tiene mascota.

b) ¿Qué tamaño muestral mínimo se debe tomar para que el error máximo al estimar esta proporción sea 0.025?

Se nos pide que el error máximo de estimación sea $E = 0.025$ . Utilizaremos la proporción muestral $\hat{p} = 0.4$ obtenida en el apartado anterior como una estimación de la proporción poblacional. El valor crítico de $z$ sigue siendo $z_{\alpha/2} = 1.96$ para un nivel de confianza del $95\%$ . La fórmula para el tamaño muestral es:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}

Sustituyendo los valores:

n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.4(1-0.4)}{(0.025)^2}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.4 \cdot 0.6}{0.000625}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.24}{0.000625} = \frac{0.921984}{0.000625} \approx 1475.1744

Como el tamaño muestral debe ser un número entero, se debe redondear al alza. Por lo tanto, el tamaño muestral mínimo que se debe tomar es $1476$ familias.

c) Explique razonadamente el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza de la proporción poblacional el aumento del tamaño de la muestra elegida.

La amplitud del intervalo de confianza para una proporción poblacional se define como dos veces el error máximo de estimación ( $A = 2E$ ). La fórmula del error máximo es:

E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Por lo tanto, la amplitud es:

A = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Observando esta fórmula, si el tamaño de la muestra ( $n$ ) aumenta, el denominador de la fracción dentro de la raíz cuadrada ( $n$ ) también aumenta. Esto provoca que el valor de la fracción $\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}$ disminuya. Consecuentemente, su raíz cuadrada $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ también disminuye.Dado que el valor crítico $z_{\alpha/2}$ y las proporciones $\hat{p}(1-\hat{p})$ se mantienen constantes para un nivel de confianza y una estimación dados, la disminución del término de la raíz cuadrada provoca una disminución del error máximo de estimación ( $E$ ) y, por ende, una disminución de la amplitud ( $A$ ) del intervalo de confianza.En resumen, un aumento del tamaño de la muestra elegida reduce la amplitud del intervalo de confianza, lo que significa que la estimación de la proporción poblacional se vuelve más precisa (el intervalo es más estrecho).