T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para la proporción — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Intervalos de confianza para la proporción

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

BLOQUE D - EJERCICIO 6

A partir de un estudio muestral se sabe que, con un nivel de confianza del $95\%$ , la proporción de estudiantes de una universidad que tienen carnet de conducir pertenece al intervalo $(0.5616, 0.7184)$ .

a) Calcule la proporción muestral de estudiantes que tienen carnet de conducir.b) Calcule el error máximo cometido en la estimación de la proporción poblacional.c) Calcule el tamaño de la muestra seleccionada.d) Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo un aumento del tamaño muestral.

Intervalo de confianzaProporción poblacionalTamaño muestral

Se nos proporciona un intervalo de confianza para la proporción poblacional de estudiantes que tienen carnet de conducir, junto con el nivel de confianza.Intervalo de confianza: $(0.5616, 0.7184)$ Nivel de confianza: $95\%$

a) Calcule la proporción muestral de estudiantes que tienen carnet de conducir.

La proporción muestral ( $\hat{p}$ ) es el punto medio del intervalo de confianza.

\hat{p} = \frac{\text{Límite inferior} + \text{Límite superior}}{2}

\hat{p} = \frac{0.5616 + 0.7184}{2} = \frac{1.28}{2} = 0.64

La proporción muestral de estudiantes con carnet de conducir es $0.64$ .

b) Calcule el error máximo cometido en la estimación de la proporción poblacional.

El error máximo (E) es la mitad de la amplitud del intervalo de confianza.

E = \frac{\text{Límite superior} - \text{Límite inferior}}{2}

E = \frac{0.7184 - 0.5616}{2} = \frac{0.1568}{2} = 0.0784

El error máximo cometido es $0.0784$ .

c) Calcule el tamaño de la muestra seleccionada.

Para un nivel de confianza del $95\%$ , el valor crítico $z_{\alpha/2}$ se encuentra buscando el valor $P(Z \le z) = 1 - \alpha/2 = 1 - (1-0.95)/2 = 1 - 0.025 = 0.975$ en la tabla de la distribución normal estándar. Este valor es $z_{\alpha/2} = 1.96$ .La fórmula para el error máximo en la estimación de una proporción es:

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Despejamos $n$ :

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}

Sustituimos los valores conocidos: $\hat{p} = 0.64$ , $1-\hat{p} = 0.36$ , $E = 0.0784$ y $z_{\alpha/2} = 1.96$ .

n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.64 \cdot 0.36}{(0.0784)^2}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.2304}{0.00614656}

n = \frac{0.88506896}{0.00614656} \approx 143.999

El tamaño de la muestra debe ser un número entero, por lo tanto, $n = 144$ .

d) Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo un aumento del tamaño muestral.

La amplitud del intervalo de confianza es $2E$ . A partir de la fórmula del error máximo:

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Un aumento del tamaño muestral ( $n$ ) provoca una disminución del valor de $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ . Como consecuencia, el error máximo $E$ se reduce. Al reducirse el error máximo $E$ , la amplitud del intervalo ( $2E$ ) también disminuye. Esto significa que el intervalo de confianza se vuelve más estrecho, lo que implica una estimación más precisa de la proporción poblacional.