T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para la media — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Intervalos de confianza para la media

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

El tiempo que tardan los usuarios de un sistema de salud en conseguir una cita en Atención Primaria sigue una distribución Normal con media desconocida y desviación típica $4.2$ días.

a) Elegidos al azar

30

usuarios, se obtiene que el tiempo medio que tardan en obtener cita en Atención Primaria es de

11.3

días. Determine un intervalo de confianza para estimar la media poblacional, con un nivel de confianza del

97\%

. La gerencia del sistema de salud asegura que el promedio de días para obtener una cita en Atención Primaria es de

9.8

días. Según el intervalo obtenido ¿podría asumirse la afirmación de la gerencia como posible?b) ¿Cuántos usuarios como mínimo se deberían seleccionar en una nueva muestra para que, con un nivel de confianza del

95\%

, el error máximo en el intervalo de la media poblacional sea de

0.6

días.

Distribución NormalIntervalo de confianzaMedia poblacional+1

a) Para determinar el intervalo de confianza para la media poblacional

(\mu)

con un nivel de confianza del

97\%

, utilizamos la fórmula para el intervalo de confianza cuando la desviación típica poblacional (

\sigma

) es conocida:

IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Donde:Media muestral $\bar{x} = 11.3$ días.Desviación típica poblacional $\sigma = 4.2$ días.Tamaño de la muestra $n = 30$ usuarios.Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.97$ . Esto implica $\alpha = 0.03$ y $\alpha/2 = 0.015$ .El valor crítico $z_{\alpha/2}$ se busca en la tabla de la distribución Normal Estándar para una probabilidad acumulada de $1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$ . Para $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.985$ , encontramos que $z_{\alpha/2} \approx 2.17$ .Calculamos el margen de error $E$ :

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \frac{4.2}{\sqrt{30}}

E \approx 2.17 \frac{4.2}{5.477} \approx 2.17 \cdot 0.7668 \approx 1.665

Ahora construimos el intervalo de confianza:

IC = (11.3 - 1.665, 11.3 + 1.665)

IC = (9.635, 12.965)

El intervalo de confianza del $97\%$ para la media poblacional es $(9.635, 12.965)$ días.Respecto a la afirmación de la gerencia de que el promedio de días es de $9.8$ días: como el valor $9.8$ se encuentra dentro del intervalo de confianza calculado $(9.635, 12.965)$ , la afirmación de la gerencia podría asumirse como posible.

b) Para determinar el número mínimo de usuarios (

n

) en una nueva muestra para que el error máximo (

E

) sea de

0.6

días con un nivel de confianza del

95\%

, usamos la fórmula del error:

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Despejamos $n$ :

\sqrt{n} = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{E}

n = \left( z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{E} \right)^2

Donde:Desviación típica poblacional $\sigma = 4.2$ días.Error máximo $E = 0.6$ días.Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.95$ . Esto implica $\alpha = 0.05$ y $\alpha/2 = 0.025$ .El valor crítico $z_{\alpha/2}$ para una probabilidad acumulada de $1 - \alpha/2 = 1 - 0.025 = 0.975$ es $z_{\alpha/2} = 1.96$ .Sustituimos los valores:

n = \left( 1.96 \frac{4.2}{0.6} \right)^2

n = \left( 1.96 \cdot 7 \right)^2

n = (13.72)^2

n = 188.24

Como el número de usuarios debe ser un número entero y se requiere un "mínimo", debemos redondear al alza. Por lo tanto, se deberían seleccionar como mínimo $189$ usuarios.