T6: Teoría de muestras · Muestreo y Distribución de la media muestral — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Muestreo y Distribución de la media muestral

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

En un invernadero de Almería se realiza un estudio sobre dos de sus productos, melones y sandías.

a) De los

4000

melones recolectados en un determinado periodo,

1420

son de la variedad

A

980

de la

B

720

de la

C

y el resto de la

D

. Si se selecciona una muestra de

200

de estos melones, ¿cuál debe ser la composición que debe tener dicha muestra si se realiza mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional?b) El peso de las sandías sigue una distribución Normal de media

3.85 \text{ kg}

y desviación típica

1.32 \text{ kg}

. Se selecciona, de forma aleatoria, una muestra de

121

sandías.b.1) Indique la distribución que sigue la media muestral del peso de las sandías.b.2) Calcule la probabilidad de que el peso medio de la muestra esté comprendido entre

3.6 \text{ kg}

4 \text{ kg}

Muestreo estratificadoDistribución NormalProbabilidad

a) Para realizar el muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, primero calculamos el número de melones de la variedad D y las proporciones de cada variedad sobre el total.

Número total de melones: $4000$ .Variedades dadas: Variedad A ( $1420$ ), Variedad B ( $980$ ), Variedad C ( $720$ ).Número de melones de la variedad D:

\text{N}_D = 4000 - (1420 + 980 + 720) = 4000 - 3120 = 880

Ahora calculamos la proporción de cada variedad sobre el total de $4000$ melones:

P_A = \frac{1420}{4000} = 0.355

P_B = \frac{980}{4000} = 0.245

P_C = \frac{720}{4000} = 0.18

P_D = \frac{880}{4000} = 0.22

Para una muestra de $200$ melones, la composición con afijación proporcional será:

n_A = 200 \times 0.355 = 71 \text{ melones de la variedad A}

n_B = 200 \times 0.245 = 49 \text{ melones de la variedad B}

n_C = 200 \times 0.18 = 36 \text{ melones de la variedad C}

n_D = 200 \times 0.22 = 44 \text{ melones de la variedad D}

b.1) La distribución del peso de las sandías sigue una distribución Normal de media

\mu = 3.85 \text{ kg}

y desviación típica

\sigma = 1.32 \text{ kg}

. Se selecciona una muestra aleatoria de

n = 121

sandías. La media muestral

\bar{X}

sigue una distribución Normal.

La media de la distribución de la media muestral es la misma que la media poblacional:

E[\bar{X}] = \mu = 3.85 \text{ kg}

La desviación típica de la distribución de la media muestral (error estándar) se calcula como:

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.32}{\sqrt{121}} = \frac{1.32}{11} = 0.12 \text{ kg}

Por lo tanto, la media muestral del peso de las sandías sigue una distribución:

\bar{X} \sim N(3.85, 0.12)

b.2) Para calcular la probabilidad de que el peso medio de la muestra esté comprendido entre

3.6 \text{ kg}

4 \text{ kg}

, estandarizamos los valores usando la distribución

N(3.85, 0.12)

Para $\bar{X} = 3.6 \text{ kg}$ :

Z_1 = \frac{3.6 - 3.85}{0.12} = \frac{-0.25}{0.12} \approx -2.08

Para $\bar{X} = 4 \text{ kg}$ :

Z_2 = \frac{4 - 3.85}{0.12} = \frac{0.15}{0.12} = 1.25

Ahora calculamos la probabilidad $P(3.6 \le \bar{X} \le 4) = P(-2.08 \le Z \le 1.25)$ .

P(-2.08 \le Z \le 1.25) = P(Z \le 1.25) - P(Z \le -2.08)

Usando la tabla de la distribución Normal estándar:

P(Z \le 1.25) \approx 0.8944

P(Z \le -2.08) = 1 - P(Z \le 2.08) \approx 1 - 0.9812 = 0.0188

Por lo tanto:

P(3.6 \le \bar{X} \le 4) = 0.8944 - 0.0188 = 0.8756