T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para la proporción — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Intervalos de confianza para la proporción

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

Se ha administrado un determinado medicamento a una muestra de 220 enfermos de una población que padece una cierta enfermedad y se ha observado una respuesta positiva en 165 de ellos.

a) Estime, mediante un intervalo de confianza del 97.5%, la proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se administrase a la población de la que se ha extraído la muestra. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el porcentaje de enfermos que responderían positivamente al medicamento administrado es del 70%.b) Con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea menor que el 2.5%?

Inferencia estadísticaIntervalo de confianzaProporción

Datos:

n = 220 \text{ (tamaño de la muestra)}

x = 165 \text{ (número de respuestas positivas)}

\text{Nivel de confianza} = 97.5\%

Cálculo de la proporción muestral $\hat{p}$ :

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{165}{220} = 0.75

1 - \hat{p} = 1 - 0.75 = 0.25

Para un nivel de confianza del 97.5%, el nivel de significación $\alpha$ es $1 - 0.975 = 0.025$ . El valor crítico $Z_{\alpha/2}$ se encuentra buscando el área $1 - \alpha/2 = 1 - 0.025/2 = 1 - 0.0125 = 0.9875$ en la tabla de la distribución normal estándar. El valor $Z_{\alpha/2}$ es aproximadamente 2.24.

Z_{\alpha/2} = Z_{0.0125} \approx 2.24

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es:

IC = \left( \hat{p} - Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)

Primero, calculamos el error máximo de estimación (E):

E = Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 2.24 \sqrt{\frac{0.75 \cdot 0.25}{220}}

E = 2.24 \sqrt{\frac{0.1875}{220}} = 2.24 \sqrt{0.00085227...}

E \approx 2.24 \cdot 0.02919 \approx 0.06539

Ahora construimos el intervalo de confianza:

IC = (0.75 - 0.06539, 0.75 + 0.06539)

IC = (0.68461, 0.81539)

El intervalo de confianza del 97.5% para la proporción de enfermos que responderían positivamente es $(0.6846, 0.8154)$ . Esto significa que, con un 97.5% de confianza, la verdadera proporción poblacional se encuentra entre el 68.46% y el 81.54%.Para razonar si puede admitirse que el porcentaje de enfermos que responderían positivamente es del 70%, comprobamos si el valor 0.70 (70%) está contenido dentro del intervalo de confianza. Dado que $0.6846 < 0.70 < 0.8154$ , el valor 0.70 se encuentra dentro del intervalo. Por lo tanto, sí puede admitirse que el porcentaje de enfermos que responderían positivamente al medicamento es del 70%.

b) Con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea menor que el 2.5%?

Datos:

\text{Nivel de confianza} = 97.5\% \implies Z_{\alpha/2} = 2.24

\text{Proporción muestral} \hat{p} = 0.75

\text{Error de estimación deseado } E < 2.5\% = 0.025

La fórmula para el tamaño de la muestra ( $n$ ) cuando se busca un error de estimación específico es:

n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}

Sustituyendo los valores:

n = \frac{(2.24)^2 \cdot 0.75 \cdot (1-0.75)}{(0.025)^2}

n = \frac{5.0176 \cdot 0.75 \cdot 0.25}{0.000625}

n = \frac{5.0176 \cdot 0.1875}{0.000625}

n = \frac{0.94125}{0.000625}

n = 1506

Para que el error de estimación sea menor que el 2.5%, el tamaño mínimo de la nueva muestra debe ser de 1506 individuos.