T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para la proporción — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Intervalos de confianza para la proporción

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

En un invernadero de Palos de la Frontera (Huelva), se cultivan fresas y frambuesas. Se desea estimar la proporción de fresas y frambuesas que se recolectan. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de $300 \text{ kg}$ , obteniéndose que $180 \text{ kg}$ de ellos son fresas y el resto frambuesas.

a) Obtenga, con un nivel de confianza del

97\%

, un intervalo para estimar la proporción de fresas recolectadas en el invernadero y otro intervalo para estimar la proporción de frambuesas recolectadas.b) Con las proporciones muestrales iniciales y con un nivel de confianza del

95\%

, ¿cuántos kilogramos de frutos deberían seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que las proporciones muestrales difieran de las proporciones poblacionales a lo sumo en un

2\%

Inferencia estadísticaIntervalo de confianzaTamaño muestral

a) Obtenga, con un nivel de confianza del

97\%

, un intervalo para estimar la proporción de fresas recolectadas en el invernadero y otro intervalo para estimar la proporción de frambuesas recolectadas.

Datos proporcionados:Tamaño de la muestra: $n = 300\text{ kg}$ Cantidad de fresas: $X_F = 180\text{ kg}$ Cantidad de frambuesas: $X_{Fr} = 300 - 180 = 120\text{ kg}$ Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$ Para un nivel de confianza del $97\%$ , tenemos $\alpha = 0.03$ , lo que implica $\alpha/2 = 0.015$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$ .

z_{0.015} \approx 2.17

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción poblacional $p$ es:

\left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)

1. Intervalo para la proporción de fresas:La proporción muestral de fresas es $\hat{p}_F = \frac{180}{300} = 0.6$ .Entonces, $1 - \hat{p}_F = 1 - 0.6 = 0.4$ .El error máximo de estimación para las fresas es:

E_F = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_F(1-\hat{p}_F)}{n}} = 2.17 \sqrt{\frac{0.6 \cdot 0.4}{300}}

E_F = 2.17 \sqrt{\frac{0.24}{300}} = 2.17 \sqrt{0.0008} \approx 2.17 \cdot 0.02828 \approx 0.0613

El intervalo de confianza para la proporción de fresas es:

(0.6 - 0.0613, 0.6 + 0.0613) = (0.5387, 0.6613)

2. Intervalo para la proporción de frambuesas:La proporción muestral de frambuesas es $\hat{p}_{Fr} = \frac{120}{300} = 0.4$ .Entonces, $1 - \hat{p}_{Fr} = 1 - 0.4 = 0.6$ .El error máximo de estimación para las frambuesas es:

E_{Fr} = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_{Fr}(1-\hat{p}_{Fr})}{n}} = 2.17 \sqrt{\frac{0.4 \cdot 0.6}{300}}

E_{Fr} = 2.17 \sqrt{\frac{0.24}{300}} = 2.17 \sqrt{0.0008} \approx 2.17 \cdot 0.02828 \approx 0.0613

El intervalo de confianza para la proporción de frambuesas es:

(0.4 - 0.0613, 0.4 + 0.0613) = (0.3387, 0.4613)

b) Con las proporciones muestrales iniciales y con un nivel de confianza del

95\%

, ¿cuántos kilogramos de frutos deberían seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que las proporciones muestrales difieran de las proporciones poblacionales a lo sumo en un

2\%

Datos para este apartado:Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ Error máximo de estimación: $E = 2\% = 0.02$ Proporciones muestrales iniciales: $\hat{p} = 0.6$ y $1-\hat{p} = 0.4$ (usando la proporción de fresas, el producto $\hat{p}(1-\hat{p})$ es el mismo para frambuesas).Para un nivel de confianza del $95\%$ , tenemos $\alpha = 0.05$ , lo que implica $\alpha/2 = 0.025$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.025 = 0.975$ .

z_{0.025} = 1.96

La fórmula para el tamaño mínimo de la muestra $n$ es:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}

Sustituyendo los valores:

n = \frac{(1.96)^2 \cdot (0.6)(0.4)}{(0.02)^2}

n = \frac{3.8416 \cdot 0.24}{0.0004}

n = \frac{0.921984}{0.0004} = 2304.96

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y se requiere que sea como mínimo, se debe redondear al siguiente entero superior.

n = 2305

Deberían seleccionarse aleatoriamente como mínimo $2305\text{ kg}$ de frutos.