AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T2: Sistemas de ecuaciones lineales
Problemas de sistemas de ecuaciones lineales
Problema
2025 · Extraordinaria · Reserva
1
Examen
EJERCICIO 1
a) La suma de tres números naturales es 113; al dividir el mayor entre el menor se obtiene de cociente 6 y resto 4 y al dividir el mayor entre el intermedio se obtiene de cociente 2 y resto 6. Halle dichos números.b) Dadas las matrices A=(1−123)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} y B=(0121)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, compruebe si la inversa de la suma de dichas matrices coincide con la suma de las inversas de cada una.
MatricesSistemas de ecuacionesMatriz inversa
a) La suma de tres números naturales es 113; al dividir el mayor entre el menor se obtiene de cociente 6 y resto 4 y al dividir el mayor entre el intermedio se obtiene de cociente 2 y resto 6. Halle dichos números.

Sean x,y,zx, y, z los tres números naturales, ordenados de menor a mayor (x<y<zx < y < z). Las condiciones del enunciado se pueden expresar como un sistema de ecuaciones:

x+y+z=113(I)x + y + z = 113 \quad (I)
z=6x+4(II)z = 6x + 4 \quad (II)
z=2y+6(III)z = 2y + 6 \quad (III)

De las propiedades de la división, el divisor debe ser mayor que el resto. Por tanto, de la ecuación (II), x>4x > 4, y de la ecuación (III), y>6y > 6.Igualamos las expresiones de zz de las ecuaciones (II) y (III):

6x+4=2y+66x + 4 = 2y + 6
6x−2y=26x - 2y = 2
3x−y=13x - y = 1
y=3x−1(IV)y = 3x - 1 \quad (IV)

Ahora sustituimos las expresiones de yy (ecuación IV) y zz (ecuación II) en la ecuación (I) (x+y+z=113x + y + z = 113):

x+(3x−1)+(6x+4)=113x + (3x - 1) + (6x + 4) = 113
10x+3=11310x + 3 = 113
10x=11010x = 110
x=11x = 11

Con el valor de xx, calculamos yy usando la ecuación (IV) y zz usando la ecuación (II):

y=3(11)−1=33−1=32y = 3(11) - 1 = 33 - 1 = 32
z=6(11)+4=66+4=70z = 6(11) + 4 = 66 + 4 = 70

Los números naturales son 11,32,7011, 32, 70. Comprobamos que cumplen las condiciones iniciales: x=11>4x=11 > 4 y y=32>6y=32 > 6.Suma: 11+32+70=11311+32+70 = 113.División del mayor entre el menor: 70=6⋅11+470 = 6 \cdot 11 + 4.División del mayor entre el intermedio: 70=2⋅32+670 = 2 \cdot 32 + 6.

b) Dadas las matrices A=(1−123)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} y B=(0121)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, compruebe si la inversa de la suma de dichas matrices coincide con la suma de las inversas de cada una.

Para comprobar la afirmación, calcularemos (A+B)−1(A+B)^{-1} y A−1+B−1A^{-1} + B^{-1} por separado y compararemos los resultados.

Cálculo de $(A+B)^{-1}$

Primero, sumamos las matrices AA y BB:

A+B=(1−123)+(0121)=(1+0−1+12+23+1)=(1044)A+B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & -1+1 \\ 2+2 & 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos el determinante de A+BA+B:

det(A+B)=(1)(4)−(0)(4)=4−0=4\text{det}(A+B) = (1)(4) - (0)(4) = 4 - 0 = 4

Puesto que det(A+B)=4≠0\text{det}(A+B) = 4 \neq 0, la matriz A+BA+B tiene inversa. Su inversa es:

(A+B)−1=1det(A+B)adj(A+B)T=14(40−41)=(10−11/4)(A+B)^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A+B)} \text{adj}(A+B)^T = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1/4 \end{pmatrix}
Cálculo de $A^{-1}$

Primero, calculamos el determinante de AA:

det(A)=(1)(3)−(−1)(2)=3−(−2)=5\text{det}(A) = (1)(3) - (-1)(2) = 3 - (-2) = 5

Puesto que det(A)=5≠0\text{det}(A) = 5 \neq 0, la matriz AA tiene inversa. Su inversa es:

A−1=1det(A)adj(A)T=15(31−21)=(3/51/5−2/51/5)A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A)^T = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/5 & 1/5 \\ -2/5 & 1/5 \end{pmatrix}
Cálculo de $B^{-1}$

Primero, calculamos el determinante de BB:

det(B)=(0)(1)−(1)(2)=0−2=−2\text{det}(B) = (0)(1) - (1)(2) = 0 - 2 = -2

Puesto que det(B)=−2≠0\text{det}(B) = -2 \neq 0, la matriz BB tiene inversa. Su inversa es:

B−1=1det(B)adj(B)T=1−2(1−1−20)=(−1/21/210)B^{-1} = \frac{1}{\text{det}(B)} \text{adj}(B)^T = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
Cálculo de $A^{-1} + B^{-1}$

Ahora sumamos las inversas calculadas:

A−1+B−1=(3/51/5−2/51/5)+(−1/21/210)A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 3/5 & 1/5 \\ -2/5 & 1/5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
A−1+B−1=(3/5−1/21/5+1/2−2/5+11/5+0)A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 3/5 - 1/2 & 1/5 + 1/2 \\ -2/5 + 1 & 1/5 + 0 \end{pmatrix}
A−1+B−1=(6/10−5/102/10+5/10−2/5+5/51/5)A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 6/10 - 5/10 & 2/10 + 5/10 \\ -2/5 + 5/5 & 1/5 \end{pmatrix}
A−1+B−1=(1/107/103/51/5)A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/10 & 7/10 \\ 3/5 & 1/5 \end{pmatrix}
Conclusión

Comparamos los resultados obtenidos para (A+B)−1(A+B)^{-1} y A−1+B−1A^{-1} + B^{-1}:

(A+B)−1=(10−11/4)(A+B)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1/4 \end{pmatrix}
A−1+B−1=(1/107/103/51/5)A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/10 & 7/10 \\ 3/5 & 1/5 \end{pmatrix}

Dado que las matrices resultantes no son iguales, se concluye que la inversa de la suma de dichas matrices NO coincide con la suma de las inversas de cada una. Es decir, (A+B)−1≠A−1+B−1(A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}.