T4: Funciones · Análisis de funciones racionales y aplicaciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Análisis de funciones racionales y aplicaciones

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

Un grupo de emprendedores valora crear una empresa y, para ello, ha encargado un estudio de mercado en el que se estima que los beneficios para los próximos $10$ años, en millones de euros, vendrán dados por la función:

B(t) = \frac{3t}{t+2} - 1; \quad 0 \le t \le 10

donde $t$ representa los años transcurridos desde la apertura de la empresa.

a) ¿En qué intervalo de tiempo la empresa no tendrá beneficios?b) ¿En qué momento se alcanza el máximo beneficio y a cuánto asciende su valor?c) ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que la empresa obtenga un beneficio de

800\,000\text{ \,\text{euros}}

?d) Si la función de beneficios se mantuviera y transcurrieran los años de manera indefinida, ¿A que valor tendería el beneficio de la empresa?

Funciones racionalesOptimizaciónEconomía+1

a) Para determinar en qué intervalo de tiempo la empresa no tendrá beneficios, debemos encontrar los valores de

t

para los cuales

B(t) \le 0

. Dado que

t

representa los años y

0 \le t \le 10

t

debe ser no negativo.

B(t) = \frac{3t}{t+2} - 1 \le 0

\frac{3t - (t+2)}{t+2} \le 0

\frac{2t - 2}{t+2} \le 0

Analizamos la desigualdad. El denominador $t+2$ es siempre positivo para $t \ge 0$ . Por lo tanto, el signo de la expresión depende únicamente del numerador.

2t - 2 \le 0

2t \le 2

t \le 1

Considerando el dominio de la función $0 \le t \le 10$ , el intervalo de tiempo en el que la empresa no tendrá beneficios es $0 \le t \le 1$ .

b) Para encontrar el momento en que se alcanza el máximo beneficio, calculamos la derivada de la función

B(t)

y estudiamos su signo.

B(t) = \frac{3t}{t+2} - 1

B'(t) = \frac{3(t+2) - 3t(1)}{(t+2)^2} - 0

B'(t) = \frac{3t+6 - 3t}{(t+2)^2}

B'(t) = \frac{6}{(t+2)^2}

Para $0 \le t \le 10$ , el denominador $(t+2)^2$ es siempre positivo. Como el numerador es $6$ (positivo), $B'(t) > 0$ para todo $t$ en el dominio. Esto significa que la función de beneficios $B(t)$ es estrictamente creciente en el intervalo $[0, 10]$ . Por lo tanto, el máximo beneficio se alcanza en el valor máximo de $t$ dentro del dominio, que es $t=10$ años.El valor del beneficio máximo es:

B(10) = \frac{3(10)}{10+2} - 1 = \frac{30}{12} - 1 = \frac{5}{2} - 1 = 2.5 - 1 = 1.5

El máximo beneficio se alcanza a los $10$ años y asciende a $1.5$ millones de euros.

c) Para que la empresa obtenga un beneficio de

800\,000\text{ \,\text{euros}}

, el valor de

B(t)

debe ser

0.8

millones de euros.

B(t) = \frac{3t}{t+2} - 1 = 0.8

\frac{3t}{t+2} = 1.8

3t = 1.8(t+2)

3t = 1.8t + 3.6

3t - 1.8t = 3.6

1.2t = 3.6

t = \frac{3.6}{1.2}

t = 3

Para que la empresa obtenga un beneficio de $800\,000\text{ \,\text{euros}}$ , han de pasar $3$ años.

d) Si la función de beneficios se mantuviera y transcurrieran los años de manera indefinida, debemos calcular el límite de

B(t)

cuando

t \to \infty

\lim_{t \to \infty} B(t) = \lim_{t \to \infty} \left( \frac{3t}{t+2} - 1 \right)

Primero, evaluamos el límite de la fracción principal. Dividimos el numerador y el denominador por la mayor potencia de $t$ :

\lim_{t \to \infty} \frac{3t}{t+2} = \lim_{t \to \infty} \frac{\frac{3t}{t}}{\frac{t}{t} + \frac{2}{t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{3}{1 + \frac{2}{t}}

Cuando $t \to \infty$ , el término $\frac{2}{t} \to 0$ . Por lo tanto:

\lim_{t \to \infty} \frac{3}{1 + \frac{2}{t}} = \frac{3}{1 + 0} = 3

Ahora, sustituimos este resultado en la expresión original de $B(t)$ :

\lim_{t \to \infty} B(t) = 3 - 1 = 2

El beneficio de la empresa tendería a $2$ millones de euros.