T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada e independencia — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Probabilidad condicionada e independencia

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

BLOQUE C - EJERCICIO 4

En un determinado centro educativo, el $50\%$ del alumnado aprueba Historia, el $70\%$ aprueba Matemáticas y el $30\%$ aprueba ambas asignaturas. Si se elige un alumno al azar:

a) Halle la probabilidad de que apruebe solo una de las dos asignaturas.b) Halle la probabilidad de que no apruebe más de una asignatura.c) Halle la probabilidad de que apruebe Historia si ha suspendido Matemáticas.d) Determine si los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" son independientes. ¿Son incompatibles?

ProbabilidadIndependenciaIncompatibilidad

Definimos los sucesos: $H$ : el alumno aprueba Historia. $M$ : el alumno aprueba Matemáticas.Las probabilidades dadas son:

P(H) = 0,50

P(M) = 0,70

P(H \cap M) = 0,30

A partir de estos datos, podemos calcular otras probabilidades:Probabilidad de aprobar al menos una asignatura (unión):

P(H \cup M) = P(H) + P(M) - P(H \cap M) = 0,50 + 0,70 - 0,30 = 0,90

Probabilidad de aprobar solo Historia ( $H$ y no $M$ ):

P(H \cap M^c) = P(H) - P(H \cap M) = 0,50 - 0,30 = 0,20

Probabilidad de aprobar solo Matemáticas ( $M$ y no $H$ ):

P(M \cap H^c) = P(M) - P(H \cap M) = 0,70 - 0,30 = 0,40

Probabilidad de no aprobar ninguna asignatura:

P(H^c \cap M^c) = P((H \cup M)^c) = 1 - P(H \cup M) = 1 - 0,90 = 0,10

a) Halle la probabilidad de que apruebe solo una de las dos asignaturas.

La probabilidad de aprobar solo una asignatura es la suma de la probabilidad de aprobar solo Historia y la probabilidad de aprobar solo Matemáticas.

P(\text{solo una}) = P(H \cap M^c) + P(M \cap H^c)

P(\text{solo una}) = 0,20 + 0,40 = 0,60

b) Halle la probabilidad de que no apruebe más de una asignatura.

Esto significa que el alumno aprueba cero asignaturas o aprueba exactamente una asignatura. Es el complemento de aprobar ambas asignaturas.

P(\text{no apruebe más de una}) = 1 - P(H \cap M)

P(\text{no apruebe más de una}) = 1 - 0,30 = 0,70

Alternativamente, es la suma de las probabilidades de no aprobar ninguna, solo Historia o solo Matemáticas:

P(\text{no apruebe más de una}) = P(H^c \cap M^c) + P(H \cap M^c) + P(M \cap H^c)

P(\text{no apruebe más de una}) = 0,10 + 0,20 + 0,40 = 0,70

c) Halle la probabilidad de que apruebe Historia si ha suspendido Matemáticas.

Esta es una probabilidad condicionada: $P(H | M^c)$ . Necesitamos $P(M^c)$ , la probabilidad de suspender Matemáticas.

P(M^c) = 1 - P(M) = 1 - 0,70 = 0,30

Utilizando la fórmula de probabilidad condicionada:

P(H | M^c) = \frac{P(H \cap M^c)}{P(M^c)}

P(H | M^c) = \frac{0,20}{0,30} = \frac{2}{3} \approx 0,6667

d) Determine si los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" son independientes. ¿Son incompatibles?

Para que dos sucesos $H$ y $M$ sean independientes, se debe cumplir que $P(H \cap M) = P(H) \cdot P(M)$ .

P(H \cap M) = 0,30

P(H) \cdot P(M) = 0,50 \cdot 0,70 = 0,35

Dado que $0,30 \neq 0,35$ , los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" no son independientes.Para que dos sucesos sean incompatibles (o mutuamente excluyentes), su intersección debe ser un conjunto vacío, lo que implica que $P(H \cap M) = 0$ .

P(H \cap M) = 0,30

Dado que $0,30 \neq 0$ , los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" no son incompatibles.