Probabilidad — Matemáticas CCSS II PEvAU Andalucía

Probabilidad condicional y Teorema de Bayes

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

4

EJERCICIO 4

Una empresa de tecnología fabrica tres modelos de teléfonos móviles: Básico, Intermedio y Premium. Cada modelo puede estar fabricado con uno de los siguientes tipos de pantalla: $A$ o $B$ . El $20\%$ de los móviles fabricados por esta empresa son del modelo Básico, el $45\%$ son del Intermedio y el resto son Premium. Se sabe que el $80\%$ de los móviles fabricados del modelo Básico tienen una pantalla del tipo $A$ , mientras que en el modelo Premium solo un $5\%$ dispone de esta pantalla. Finalmente, el $53\%$ de los teléfonos producidos tienen pantalla del tipo $A$ . Se selecciona un teléfono al azar de la línea de producción. Determine la probabilidad de que:

a) Tenga una pantalla del tipo

A

sabiendo que es del modelo Intermedio.b) Sea del modelo Intermedio sabiendo que tiene pantalla del tipo

A

.

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad total

Definimos los siguientes sucesos: $B$ : El móvil es del modelo Básico. $I$ : El móvil es del modelo Intermedio. $P$ : El móvil es del modelo Premium. $A$ : El móvil tiene pantalla del tipo A.Las probabilidades dadas son:

P(B) = 0.20

P(I) = 0.45

El resto son Premium, por lo tanto:

P(P) = 1 - P(B) - P(I) = 1 - 0.20 - 0.45 = 0.35

También se conocen las siguientes probabilidades condicionales y la probabilidad total de pantalla tipo A:

P(A|B) = 0.80

P(A|P) = 0.05

P(A) = 0.53

a) Tenga una pantalla del tipo

A

sabiendo que es del modelo Intermedio.

Debemos calcular $P(A|I)$ . Para ello, utilizamos la Ley de Probabilidad Total para $P(A)$ :

P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|I)P(I) + P(A|P)P(P)

Sustituimos los valores conocidos en la fórmula:

0.53 = (0.80)(0.20) + P(A|I)(0.45) + (0.05)(0.35)

0.53 = 0.16 + 0.45 \cdot P(A|I) + 0.0175

0.53 = 0.1775 + 0.45 \cdot P(A|I)

0.53 - 0.1775 = 0.45 \cdot P(A|I)

0.3525 = 0.45 \cdot P(A|I)

P(A|I) = \frac{0.3525}{0.45} = \frac{3525}{4500} = \frac{47}{60}

La probabilidad de que un móvil tenga una pantalla del tipo $A$ sabiendo que es del modelo Intermedio es $P(A|I) = \frac{47}{60} \approx 0.7833$ .

b) Sea del modelo Intermedio sabiendo que tiene pantalla del tipo

A

.

Debemos calcular $P(I|A)$ . Aplicamos el Teorema de Bayes:

P(I|A) = \frac{P(A|I)P(I)}{P(A)}

Sustituimos los valores ya calculados y conocidos:

P(I|A) = \frac{\left(\frac{47}{60}\right) (0.45)}{0.53}

P(I|A) = \frac{\frac{47}{60} \cdot \frac{45}{100}}{\frac{53}{100}}

P(I|A) = \frac{47 \cdot 45}{60 \cdot 53}

P(I|A) = \frac{2115}{3180}

Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por 15:

P(I|A) = \frac{2115 \div 15}{3180 \div 15} = \frac{141}{212}

La probabilidad de que el móvil sea del modelo Intermedio sabiendo que tiene pantalla del tipo $A$ es $P(I|A) = \frac{141}{212} \approx 0.6651$ .

T5: Probabilidad

Probabilidad condicional

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

5

EJERCICIO 5

El $20\%$ de los estudiantes de danza de una localidad andaluza están matriculados en la escuela $A$ y el resto en la $B$ . En estas escuelas se practica danza clásica y moderna y cada estudiante solo se puede matricular en una de estas dos especialidades. De los matriculados en $A$ , el $70\%$ practica danza clásica y el resto danza moderna. Se sabe también que el $32\%$ de los estudiantes de danza son de la escuela $B$ y practican danza clásica. Elegido al azar un estudiante de danza de la localidad, calcule la probabilidad de que:

a) Practique danza clásica.b) Practique danza moderna si es de la escuela

B

.c) Estudie en la escuela

B

si resulta ser un estudiante de danza moderna.d) Sea de la escuela

A

, practique danza clásica y realice un Máster, sabiendo que el

80\%

de los estudiantes de danza clásica de la escuela

A

realiza un Máster.

ProbabilidadTeorema de BayesSucesos independientes

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El estudiante está matriculado en la escuela $A$ . $B$ : El estudiante está matriculado en la escuela $B$ . $C$ : El estudiante practica danza clásica. $M$ : El estudiante practica danza moderna. $Mas$ : El estudiante realiza un Máster.A partir del enunciado, tenemos las siguientes probabilidades:

P(A) = 0.20 \Rightarrow P(B) = 1 - P(A) = 0.80

P(C|A) = 0.70 \Rightarrow P(M|A) = 1 - P(C|A) = 0.30

P(B \cap C) = 0.32

Calculamos las probabilidades de las intersecciones:

P(A \cap C) = P(C|A) \cdot P(A) = 0.70 \cdot 0.20 = 0.14

P(A \cap M) = P(M|A) \cdot P(A) = 0.30 \cdot 0.20 = 0.06

Para la escuela $B$ , sabiendo $P(B \cap C) = 0.32$ y $P(B) = 0.80$ , podemos calcular $P(C|B)$ :

P(C|B) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)} = \frac{0.32}{0.80} = 0.40

Y, por lo tanto, $P(M|B)$ :

P(M|B) = 1 - P(C|B) = 1 - 0.40 = 0.60

Finalmente, calculamos $P(B \cap M)$ :

P(B \cap M) = P(M|B) \cdot P(B) = 0.60 \cdot 0.80 = 0.48

Resumiendo las probabilidades de las intersecciones:

P(A \cap C) = 0.14

P(A \cap M) = 0.06

P(B \cap C) = 0.32

P(B \cap M) = 0.48

La suma total es $0.14 + 0.06 + 0.32 + 0.48 = 1.00$ , lo cual es correcto.

a) Practique danza clásica.

Se pide calcular $P(C)$ . Aplicamos el teorema de la probabilidad total:

P(C) = P(C \cap A) + P(C \cap B)

P(C) = 0.14 + 0.32 = 0.46

b) Practique danza moderna si es de la escuela

B

.

Se pide calcular $P(M|B)$ . Este valor ya lo hemos calculado previamente:

P(M|B) = \frac{P(B \cap M)}{P(B)} = \frac{0.48}{0.80} = 0.60

c) Estudie en la escuela

B

si resulta ser un estudiante de danza moderna.

Se pide calcular $P(B|M)$ . Para ello, primero necesitamos $P(M)$ :

P(M) = P(A \cap M) + P(B \cap M) = 0.06 + 0.48 = 0.54

Ahora aplicamos la definición de probabilidad condicionada:

P(B|M) = \frac{P(B \cap M)}{P(M)} = \frac{0.48}{0.54} = \frac{8}{9} \approx 0.8889

d) Sea de la escuela

A

, practique danza clásica y realice un Máster, sabiendo que el

80\%

de los estudiantes de danza clásica de la escuela

A

realiza un Máster.

Se pide calcular $P(A \cap C \cap Mas)$ . Sabemos que el $80\%$ de los estudiantes de danza clásica de la escuela $A$ realiza un Máster, lo que se traduce como $P(Mas | (A \cap C)) = 0.80$ .Aplicamos la definición de probabilidad condicionada:

P(A \cap C \cap Mas) = P(Mas | (A \cap C)) \cdot P(A \cap C)

Ya calculamos $P(A \cap C) = 0.14$ .

P(A \cap C \cap Mas) = 0.80 \cdot 0.14 = 0.112

T5: Probabilidad

Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

5

En un estudio sobre la presencia de mujeres en las empresas tecnológicas se observa que el $20 \%$ de los operarios, el $40 \%$ de los ingenieros y el $30 \%$ de los directivos son mujeres. Se sabe que en estas empresas el $20 \%$ de las plantillas son directivos, el $35 \%$ son ingenieros y el resto son operarios. Se elige un trabajador al azar de una de estas empresas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un operario y sea mujer?b) Si el trabajador elegido no es un operario, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?c) Si el trabajador elegido es hombre, ¿a qué colectivo es más probable que pertenezca?

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad total

Definimos los siguientes sucesos: $O$ : El trabajador es operario. $I$ : El trabajador es ingeniero. $D$ : El trabajador es directivo. $M$ : El trabajador es mujer. $H$ : El trabajador es hombre.Las probabilidades dadas son:

P(M|O) = 0.20 \Rightarrow P(H|O) = 1 - 0.20 = 0.80

P(M|I) = 0.40 \Rightarrow P(H|I) = 1 - 0.40 = 0.60

P(M|D) = 0.30 \Rightarrow P(H|D) = 1 - 0.30 = 0.70

P(D) = 0.20

P(I) = 0.35

La probabilidad de que sea operario es $P(O) = 1 - P(D) - P(I) = 1 - 0.20 - 0.35 = 0.45$ .

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un operario y sea mujer?

Queremos calcular $P(O^c \cap M)$ . El suceso "no ser operario" ( $O^c$ ) significa ser ingeniero ( $I$ ) o directivo ( $D$ ). Por lo tanto, $O^c = I \cup D$ . Así, la probabilidad es:

P(O^c \cap M) = P((I \cup D) \cap M)

Dado que los sucesos $I$ y $D$ son mutuamente excluyentes, $(I \cap M)$ y $(D \cap M)$ también lo son. Por lo tanto:

P(O^c \cap M) = P(I \cap M) + P(D \cap M)

Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$ :

P(I \cap M) = P(M|I) \cdot P(I) = 0.40 \cdot 0.35 = 0.14

P(D \cap M) = P(M|D) \cdot P(D) = 0.30 \cdot 0.20 = 0.06

Entonces:

P(O^c \cap M) = 0.14 + 0.06 = 0.20

b) Si el trabajador elegido no es un operario, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Queremos calcular la probabilidad condicionada $P(M|O^c)$ . Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ :

P(M|O^c) = \frac{P(M \cap O^c)}{P(O^c)}

Del apartado a), sabemos que $P(M \cap O^c) = 0.20$ .La probabilidad de no ser operario es $P(O^c) = P(I) + P(D) = 0.35 + 0.20 = 0.55$ . (También se puede calcular como $P(O^c) = 1 - P(O) = 1 - 0.45 = 0.55$ ).Sustituyendo los valores:

P(M|O^c) = \frac{0.20}{0.55} = \frac{20}{55} = \frac{4}{11} \approx 0.3636

c) Si el trabajador elegido es hombre, ¿a qué colectivo es más probable que pertenezca?

Necesitamos calcular y comparar $P(O|H)$ , $P(I|H)$ y $P(D|H)$ .Primero, calculamos la probabilidad total de que un trabajador sea hombre, $P(H)$ .

P(H) = P(H \cap O) + P(H \cap I) + P(H \cap D)

P(H \cap O) = P(H|O) \cdot P(O) = 0.80 \cdot 0.45 = 0.36

P(H \cap I) = P(H|I) \cdot P(I) = 0.60 \cdot 0.35 = 0.21

P(H \cap D) = P(H|D) \cdot P(D) = 0.70 \cdot 0.20 = 0.14

P(H) = 0.36 + 0.21 + 0.14 = 0.71

Ahora, aplicamos el Teorema de Bayes para calcular las probabilidades condicionadas:

P(O|H) = \frac{P(H|O) \cdot P(O)}{P(H)} = \frac{0.36}{0.71} \approx 0.5070

P(I|H) = \frac{P(H|I) \cdot P(I)}{P(H)} = \frac{0.21}{0.71} \approx 0.2958

P(D|H) = \frac{P(H|D) \cdot P(D)}{P(H)} = \frac{0.14}{0.71} \approx 0.1972

Comparando las probabilidades, observamos que $P(O|H) \approx 0.5070$ es la mayor.Por lo tanto, si el trabajador elegido es hombre, es más probable que pertenezca al colectivo de operarios.

T5: Probabilidad

Probabilidad condicionada e independencia

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

4

BLOQUE C - EJERCICIO 4

En un determinado centro educativo, el $50\%$ del alumnado aprueba Historia, el $70\%$ aprueba Matemáticas y el $30\%$ aprueba ambas asignaturas. Si se elige un alumno al azar:

a) Halle la probabilidad de que apruebe solo una de las dos asignaturas.b) Halle la probabilidad de que no apruebe más de una asignatura.c) Halle la probabilidad de que apruebe Historia si ha suspendido Matemáticas.d) Determine si los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" son independientes. ¿Son incompatibles?

ProbabilidadIndependenciaIncompatibilidad

Definimos los sucesos: $H$ : el alumno aprueba Historia. $M$ : el alumno aprueba Matemáticas.Las probabilidades dadas son:

P(H) = 0,50

P(M) = 0,70

P(H \cap M) = 0,30

A partir de estos datos, podemos calcular otras probabilidades:Probabilidad de aprobar al menos una asignatura (unión):

P(H \cup M) = P(H) + P(M) - P(H \cap M) = 0,50 + 0,70 - 0,30 = 0,90

Probabilidad de aprobar solo Historia ( $H$ y no $M$ ):

P(H \cap M^c) = P(H) - P(H \cap M) = 0,50 - 0,30 = 0,20

Probabilidad de aprobar solo Matemáticas ( $M$ y no $H$ ):

P(M \cap H^c) = P(M) - P(H \cap M) = 0,70 - 0,30 = 0,40

Probabilidad de no aprobar ninguna asignatura:

P(H^c \cap M^c) = P((H \cup M)^c) = 1 - P(H \cup M) = 1 - 0,90 = 0,10

a) Halle la probabilidad de que apruebe solo una de las dos asignaturas.

La probabilidad de aprobar solo una asignatura es la suma de la probabilidad de aprobar solo Historia y la probabilidad de aprobar solo Matemáticas.

P(\text{solo una}) = P(H \cap M^c) + P(M \cap H^c)

P(\text{solo una}) = 0,20 + 0,40 = 0,60

b) Halle la probabilidad de que no apruebe más de una asignatura.

Esto significa que el alumno aprueba cero asignaturas o aprueba exactamente una asignatura. Es el complemento de aprobar ambas asignaturas.

P(\text{no apruebe más de una}) = 1 - P(H \cap M)

P(\text{no apruebe más de una}) = 1 - 0,30 = 0,70

Alternativamente, es la suma de las probabilidades de no aprobar ninguna, solo Historia o solo Matemáticas:

P(\text{no apruebe más de una}) = P(H^c \cap M^c) + P(H \cap M^c) + P(M \cap H^c)

P(\text{no apruebe más de una}) = 0,10 + 0,20 + 0,40 = 0,70

c) Halle la probabilidad de que apruebe Historia si ha suspendido Matemáticas.

Esta es una probabilidad condicionada: $P(H | M^c)$ . Necesitamos $P(M^c)$ , la probabilidad de suspender Matemáticas.

P(M^c) = 1 - P(M) = 1 - 0,70 = 0,30

Utilizando la fórmula de probabilidad condicionada:

P(H | M^c) = \frac{P(H \cap M^c)}{P(M^c)}

P(H | M^c) = \frac{0,20}{0,30} = \frac{2}{3} \approx 0,6667

d) Determine si los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" son independientes. ¿Son incompatibles?

Para que dos sucesos $H$ y $M$ sean independientes, se debe cumplir que $P(H \cap M) = P(H) \cdot P(M)$ .

P(H \cap M) = 0,30

P(H) \cdot P(M) = 0,50 \cdot 0,70 = 0,35

Dado que $0,30 \neq 0,35$ , los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" no son independientes.Para que dos sucesos sean incompatibles (o mutuamente excluyentes), su intersección debe ser un conjunto vacío, lo que implica que $P(H \cap M) = 0$ .

P(H \cap M) = 0,30

Dado que $0,30 \neq 0$ , los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" no son incompatibles.

T5: Probabilidad

Teorema de la probabilidad total y de Bayes

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

5

BLOQUE C - EJERCICIO 5

Los alumnos de un colegio de una localidad andaluza van a realizar una excursión a la estación de esquí de Sierra Nevada desplazándose en tres autobuses A, B y C. En el autobús A se desplazan cuatro novenos de los alumnos de la excursión, en el B se desplaza la tercera parte y el resto van en el autobús C. Se sabe que el $65\%$ de los alumnos que viajan en el autobús A y el $40\%$ de los del autobús B no sabe esquiar y todos los del autobús C sí que saben esquiar. Se escoge al azar a uno de los alumnos de la excursión. Calcule la probabilidad de que:

a) Sepa esquiar.b) Viaje en el autobús C, si sabe esquiar.c) Sepa esquiar y no viaje en el autobús B.

Teorema de BayesProbabilidad totalDiagrama de árbol

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El alumno viaja en el autobús A. $B$ : El alumno viaja en el autobús B. $C$ : El alumno viaja en el autobús C. $E$ : El alumno sabe esquiar.Las probabilidades de viajar en cada autobús son:

P(A) = \frac{4}{9}

P(B) = \frac{1}{3} = \frac{3}{9}

P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - \frac{4}{9} - \frac{3}{9} = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}

Las probabilidades de no saber esquiar o saber esquiar, condicionales al autobús, son:

P(\bar{E}|A) = 0.65 \implies P(E|A) = 1 - 0.65 = 0.35

P(\bar{E}|B) = 0.40 \implies P(E|B) = 1 - 0.40 = 0.60

P(E|C) = 1

a) Sepa esquiar.

Para calcular la probabilidad de que un alumno escogido al azar sepa esquiar, aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total:

P(E) = P(E|A)P(A) + P(E|B)P(B) + P(E|C)P(C)

P(E) = (0.35)\left(\frac{4}{9}\right) + (0.60)\left(\frac{1}{3}\right) + (1)\left(\frac{2}{9}\right)

P(E) = \frac{1.4}{9} + \frac{0.60 \cdot 3}{9} + \frac{2}{9}

P(E) = \frac{1.4}{9} + \frac{1.8}{9} + \frac{2}{9}

P(E) = \frac{1.4 + 1.8 + 2}{9} = \frac{5.2}{9}

P(E) = \frac{52}{90} = \frac{26}{45} \approx 0.5778

b) Viaje en el autobús C, si sabe esquiar.

Aplicamos el Teorema de Bayes para calcular $P(C|E)$ :

P(C|E) = \frac{P(E|C)P(C)}{P(E)}

Sustituimos los valores calculados en el apartado a):

P(C|E) = \frac{(1)\left(\frac{2}{9}\right)}{\frac{5.2}{9}}

P(C|E) = \frac{2}{5.2} = \frac{20}{52} = \frac{5}{13} \approx 0.3846

c) Sepa esquiar y no viaje en el autobús B.

Se nos pide calcular la probabilidad $P(E \cap \bar{B})$ . Podemos expresar este suceso como la unión de dos sucesos mutuamente excluyentes: el alumno sabe esquiar y viaja en el autobús A ( $E \cap A$ ), o el alumno sabe esquiar y viaja en el autobús C ( $E \cap C$ ). Es decir, $E \cap \bar{B} = (E \cap A) \cup (E \cap C)$ .

P(E \cap \bar{B}) = P(E \cap A) + P(E \cap C)

Calculamos cada término:

P(E \cap A) = P(E|A)P(A) = (0.35)\left(\frac{4}{9}\right) = \frac{1.4}{9}

P(E \cap C) = P(E|C)P(C) = (1)\left(\frac{2}{9}\right) = \frac{2}{9}

Sumando ambas probabilidades:

P(E \cap \bar{B}) = \frac{1.4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3.4}{9}

P(E \cap \bar{B}) = \frac{34}{90} = \frac{17}{45} \approx 0.3778

Alternativamente, también se puede calcular como $P(E \cap \bar{B}) = P(E) - P(E \cap B)$ .

P(E \cap B) = P(E|B)P(B) = (0.60)\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{0.60}{3} = 0.20

P(E \cap B) = \frac{0.60 \cdot 3}{9} = \frac{1.8}{9}

P(E \cap \bar{B}) = P(E) - P(E \cap B) = \frac{5.2}{9} - \frac{1.8}{9} = \frac{3.4}{9} = \frac{17}{45}

T5: Probabilidad

Probabilidad condicionada y sucesos

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

5

Una encuesta realizada a personas que utilizan productos de cosmética arroja los siguientes datos: el $66\%$ de las personas encuestadas son mujeres y, de estas, el $71\%$ utilizan cosmética natural. Además, se sabe que el $17.86\%$ son hombres que no utilizan cosmética natural. Se selecciona una de estas personas al azar.

a) Calcule la probabilidad de que sea mujer o use cosmética natural.b) Calcule la probabilidad de que sea hombre y utilice cosmética natural.c) Sabiendo que no usa cosmética natural, calcule la probabilidad de que sea hombre.d) ¿Son sucesos incompatibles "utilizar cosmética natural" y "ser mujer"? ¿Son independientes?

Teorema de BayesProbabilidad totalSucesos independientes

Definimos los siguientes sucesos: $M$ : la persona es mujer. $H$ : la persona es hombre. $N$ : la persona utiliza cosmética natural. $N'$ : la persona no utiliza cosmética natural.A partir de los datos proporcionados, tenemos las siguientes probabilidades:

P(M) = 0.66 \implies P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0.66 = 0.34

P(N|M) = 0.71

P(H \cap N') = 0.1786

Calculamos otras probabilidades necesarias:

P(M \cap N) = P(N|M) \cdot P(M) = 0.71 \cdot 0.66 = 0.4686

P(M \cap N') = P(M) - P(M \cap N) = 0.66 - 0.4686 = 0.1914

P(H \cap N) = P(H) - P(H \cap N') = 0.34 - 0.1786 = 0.1614

P(N) = P(M \cap N) + P(H \cap N) = 0.4686 + 0.1614 = 0.63

P(N') = P(M \cap N') + P(H \cap N') = 0.1914 + 0.1786 = 0.37

a) Calcule la probabilidad de que sea mujer o use cosmética natural.

Nos piden $P(M \cup N)$ . Usamos la fórmula de la probabilidad de la unión:

P(M \cup N) = P(M) + P(N) - P(M \cap N)

P(M \cup N) = 0.66 + 0.63 - 0.4686 = 1.29 - 0.4686 = 0.8214

b) Calcule la probabilidad de que sea hombre y utilice cosmética natural.

Nos piden $P(H \cap N)$ . Esta probabilidad ya ha sido calculada previamente:

P(H \cap N) = 0.1614

c) Sabiendo que no usa cosmética natural, calcule la probabilidad de que sea hombre.

Nos piden $P(H|N')$ . Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(H|N') = \frac{P(H \cap N')}{P(N')}

P(H|N') = \frac{0.1786}{0.37} \approx 0.4827

d) ¿Son sucesos incompatibles "utilizar cosmética natural" y "ser mujer"? ¿Son independientes?

Para que los sucesos "utilizar cosmética natural" ( $N$ ) y "ser mujer" ( $M$ ) sean incompatibles, su intersección debe ser 0.

P(M \cap N) = 0.4686

Dado que $P(M \cap N) = 0.4686 \neq 0$ , los sucesos $M$ y $N$ no son incompatibles.Para que los sucesos $M$ y $N$ sean independientes, debe cumplirse que $P(M \cap N) = P(M) \cdot P(N)$ .

P(M \cap N) = 0.4686

P(M) \cdot P(N) = 0.66 \cdot 0.63 = 0.4158

Dado que $0.4686 \neq 0.4158$ , los sucesos $M$ y $N$ no son independientes.

T5: Probabilidad

Teorema de la probabilidad total y Bayes

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

5

Un nuevo servicio de streaming utiliza un algoritmo para recomendar películas a sus usuarios en función de las películas vistas anteriormente. Como la plataforma es de reciente creación, solo tiene disponibles tres géneros: ciencia ficción, terror y musicales. El $62\%$ de las películas disponibles son de ciencia ficción, la cuarta parte son de terror y el resto musicales. De las películas de ciencia ficción, el algoritmo hace una recomendación correcta en el $70\%$ de las ocasiones, de las de terror, el $75\%$ de las veces y de los musicales, el $15\%$ . Un usuario selecciona al azar una película de su lista de recomendaciones:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el algoritmo haya hecho una recomendación correcta?b) Si no ha sido recomendada correctamente, ¿qué probabilidad hay de que la película sea de terror?c) De las recomendaciones correctas del género de ciencia ficción, el usuario queda satisfecho con la elección de la película en el

55\%

de las ocasiones. ¿Qué probabilidad hay de que la película sea de ciencia ficción, esté recomendada correctamente y el usuario haya quedado satisfecho?

ProbabilidadProbabilidad TotalTeorema de Bayes

Definimos los siguientes sucesos:- $CF$ : La película es de ciencia ficción.- $T$ : La película es de terror.- $M$ : La película es musical.- $C$ : El algoritmo hace una recomendación correcta.- $S$ : El usuario queda satisfecho con la elección de la película.A partir de la información proporcionada, tenemos las siguientes probabilidades:

P(CF) = 0.62

P(T) = \frac{1}{4} = 0.25

P(M) = 1 - P(CF) - P(T) = 1 - 0.62 - 0.25 = 0.13

P(C|CF) = 0.70

P(C|T) = 0.75

P(C|M) = 0.15

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el algoritmo haya hecho una recomendación correcta?

Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total para calcular $P(C)$ :

P(C) = P(C|CF)P(CF) + P(C|T)P(T) + P(C|M)P(M)

P(C) = (0.70)(0.62) + (0.75)(0.25) + (0.15)(0.13)

P(C) = 0.434 + 0.1875 + 0.0195

P(C) = 0.641

b) Si no ha sido recomendada correctamente, ¿qué probabilidad hay de que la película sea de terror?

Queremos calcular $P(T|C^c)$ . Primero, necesitamos $P(C^c)$ , la probabilidad de que la recomendación no sea correcta.

P(C^c) = 1 - P(C) = 1 - 0.641 = 0.359

Las probabilidades de que la recomendación no sea correcta para cada género son:

P(C^c|CF) = 1 - P(C|CF) = 1 - 0.70 = 0.30

P(C^c|T) = 1 - P(C|T) = 1 - 0.75 = 0.25

P(C^c|M) = 1 - P(C|M) = 1 - 0.15 = 0.85

Ahora, aplicamos el Teorema de Bayes:

P(T|C^c) = \frac{P(C^c|T)P(T)}{P(C^c)}

P(T|C^c) = \frac{(0.25)(0.25)}{0.359}

P(T|C^c) = \frac{0.0625}{0.359} \approx 0.1741

c) De las recomendaciones correctas del género de ciencia ficción, el usuario queda satisfecho con la elección de la película en el

55\%

de las ocasiones. ¿Qué probabilidad hay de que la película sea de ciencia ficción, esté recomendada correctamente y el usuario haya quedado satisfecho?

Queremos calcular $P(CF \cap C \cap S)$ . Se nos da la probabilidad condicional $P(S|C \cap CF) = 0.55$ . Sabemos que:

P(S|C \cap CF) = \frac{P(CF \cap C \cap S)}{P(CF \cap C)}

De aquí podemos despejar $P(CF \cap C \cap S)$ :

P(CF \cap C \cap S) = P(S|C \cap CF) \cdot P(CF \cap C)

Primero, calculamos $P(CF \cap C)$ :

P(CF \cap C) = P(C|CF)P(CF)

P(CF \cap C) = (0.70)(0.62) = 0.434

Ahora, sustituimos en la ecuación para $P(CF \cap C \cap S)$ :

P(CF \cap C \cap S) = (0.55)(0.434)

P(CF \cap C \cap S) = 0.2387

T5: Probabilidad

Teorema de la probabilidad total y de Bayes

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

4

En una casa con trastero viven tres personas y cada una tiene un llavero con las llaves de la casa. El primer llavero contiene 7 llaves, el segundo 8 y el tercero 5. En cada uno de los llaveros hay una única llave que abre el trastero. Otra persona necesita abrir el trastero y, para ello, selecciona un llavero al azar y, de este, elige una llave aleatoriamente e intenta abrirlo. Calcule la probabilidad de que: a) No haya acertado con la llave seleccionada. b) El llavero sea el tercero y la llave abra el trastero. c) Sabiendo que la llave elegida abre el trastero, esta pertenezca al primer o al tercer llavero. d) Si la llave no abre el trastero, esta no pertenezca al primer llavero.

Probabilidad condicionadaTeorema de BayesDiagrama de árbol

Definimos los sucesos principales para resolver el problema basándonos en la elección del llavero y el resultado de intentar abrir el trastero:

L_1: \text{Seleccionar el primer llavero (7 llaves)} \\ L_2: \text{Seleccionar el segundo llavero (8 llaves)} \\ L_3: \text{Seleccionar el tercero llavero (5 llaves)} \\ A: \text{La llave seleccionada abre el trastero} \\ \bar{A}: \text{La llave seleccionada no abre el trastero}

Dado que el llavero se elige al azar, las probabilidades a priori son iguales para cada uno. Las probabilidades condicionadas de abrir el trastero según el llavero elegido son:

P(L_1) = P(L_2) = P(L_3) = \frac{1}{3} \\ P(A|L_1) = \frac{1}{7}, \quad P(A|L_2) = \frac{1}{8}, \quad P(A|L_3) = \frac{1}{5} \\ P(\bar{A}|L_1) = \frac{6}{7}, \quad P(\bar{A}|L_2) = \frac{7}{8}, \quad P(\bar{A}|L_3) = \frac{4}{5}

a) Para calcular la probabilidad de que no haya acertado con la llave seleccionada, aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total para el suceso complementario:

P(\bar{A}) = P(L_1) \cdot P(\bar{A}|L_1) + P(L_2) \cdot P(\bar{A}|L_2) + P(L_3) \cdot P(\bar{A}|L_3) \\ P(\bar{A}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{8} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} \\ P(\bar{A}) = \frac{1}{3} \left( \frac{6}{7} + \frac{7}{8} + \frac{4}{5} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{240 + 245 + 224}{280} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{709}{280} \right) = \frac{709}{840} \\ \mathbf{P(\bar{A}) \approx 0.8440}

b) La probabilidad de que el llavero sea el tercero y la llave abra el trastero se corresponde con la intersección de ambos sucesos:

P(L_3 \cap A) = P(L_3) \cdot P(A|L_3) \\ P(L_3 \cap A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15} \\ \mathbf{P(L_3 \cap A) \approx 0.0667}

c) Para hallar la probabilidad de que la llave pertenezca al primer o tercer llavero sabiendo que abre el trastero, usamos el Teorema de Bayes. Primero calculamos la probabilidad total de abrirlo:

P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{709}{840} = \frac{131}{840} \\ P(L_1 \cup L_3 | A) = \frac{P((L_1 \cup L_3) \cap A)}{P(A)} = \frac{P(L_1 \cap A) + P(L_3 \cap A)}{P(A)} \\ P(L_1 \cup L_3 | A) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}}{\frac{131}{840}} = \frac{\frac{1}{21} + \frac{1}{15}}{\frac{131}{840}} = \frac{\frac{12}{105}}{\frac{131}{840}} = \frac{\frac{4}{35}}{\frac{131}{840}} = \frac{96}{131} \\ \mathbf{P(L_1 \cup L_3 | A) \approx 0.7328}

d) Si la llave no abre el trastero, queremos calcular la probabilidad de que esta no pertenezca al primer llavero. Esto equivale a que pertenezca al segundo o al tercero:

P(\bar{L_1} | \bar{A}) = \frac{P(\bar{L_1} \cap \bar{A})}{P(\bar{A})} = \frac{P(L_2 \cap \bar{A}) + P(L_3 \cap \bar{A})}{P(\bar{A})} \\ P(\bar{L_1} | \bar{A}) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{8} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5}}{\frac{709}{840}} = \frac{\frac{1}{3} \left( \frac{35 + 32}{40} \right)}{\frac{709}{840}} = \frac{\frac{67}{120}}{\frac{709}{840}} = \frac{67 \cdot 7}{709} = \frac{469}{709} \\ \mathbf{P(\bar{L_1} | \bar{A}) \approx 0.6615}

T5: Probabilidad

Probabilidad condicional y Teorema de Bayes

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

5

En cierta localidad el $30\%$ de los habitantes profesan la religión $A$ y el $50\%$ profesan otras religiones diferentes de $A$ . De los que profesan la religión $A$ el $40\%$ son mujeres. De las mujeres el $25\%$ profesa la religión $A$ . Se elige un habitante al azar de esa localidad. Calcule la probabilidad de que:

a) No profese ninguna religión.b) Sea hombre.c) Solo verifique uno de los siguientes sucesos: "profesa la religión

A

"; "es mujer".

Probabilidad totalSucesos independientesTeorema de Bayes

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El habitante profesa la religión A. $O$ : El habitante profesa otras religiones diferentes de A. $N$ : El habitante no profesa ninguna religión. $M$ : El habitante es mujer. $H$ : El habitante es hombre.A partir de los datos proporcionados, tenemos las siguientes probabilidades:

P(A) = 0.30

P(O) = 0.50

P(M|A) = 0.40

P(A|M) = 0.25

a) Calcule la probabilidad de que no profese ninguna religión.

Los sucesos $A$ , $O$ y $N$ forman una partición del espacio muestral, por lo que la suma de sus probabilidades debe ser 1.

P(A) + P(O) + P(N) = 1

0.30 + 0.50 + P(N) = 1

0.80 + P(N) = 1

P(N) = 1 - 0.80 = 0.20

b) Calcule la probabilidad de que sea hombre.

Primero, calculamos la probabilidad de la intersección $P(M \cap A)$ usando la definición de probabilidad condicional $P(M|A) = \frac{P(M \cap A)}{P(A)}$ :

P(M \cap A) = P(M|A) \cdot P(A) = 0.40 \cdot 0.30 = 0.12

Ahora, usamos la probabilidad condicional $P(A|M) = \frac{P(M \cap A)}{P(M)}$ para encontrar $P(M)$ :

P(M) = \frac{P(M \cap A)}{P(A|M)} = \frac{0.12}{0.25} = 0.48

Dado que $H$ y $M$ son sucesos complementarios (ser hombre o ser mujer), la probabilidad de que sea hombre es:

P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0.48 = 0.52

c) Calcule la probabilidad de que solo verifique uno de los siguientes sucesos: 'profesa la religión A'; 'es mujer'.

Esto corresponde a la probabilidad de la diferencia simétrica entre los sucesos $A$ y $M$ , $P(A \Delta M)$ . Podemos calcularlo de dos maneras.Método 1: Usando la fórmula $P(A \Delta M) = P(A \cup M) - P(A \cap M)$ .Primero, calculamos $P(A \cup M)$ :

P(A \cup M) = P(A) + P(M) - P(A \cap M)

P(A \cup M) = 0.30 + 0.48 - 0.12

P(A \cup M) = 0.78 - 0.12 = 0.66

Ahora, calculamos $P(A \Delta M)$ :

P(A \Delta M) = P(A \cup M) - P(A \cap M) = 0.66 - 0.12 = 0.54

Método 2: Usando la fórmula $P(A \Delta M) = P(A \cap M^c) + P(A^c \cap M)$ .Calculamos $P(A \cap M^c)$ (profesa la religión A y no es mujer):

P(A \cap M^c) = P(A) - P(A \cap M) = 0.30 - 0.12 = 0.18

Calculamos $P(A^c \cap M)$ (no profesa la religión A y es mujer):

P(A^c \cap M) = P(M) - P(A \cap M) = 0.48 - 0.12 = 0.36

Finalmente, sumamos estas probabilidades:

P(A \Delta M) = 0.18 + 0.36 = 0.54

T5: Probabilidad

Teorema de la probabilidad total

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

6

En una empresa, el $30\%$ de los empleados ejercen de economistas y el $25\%$ ejercen de abogados. El $75\%$ de los economistas y el $60\%$ de los abogados ocupan puestos directivos, mientras que, de los empleados que no ejercen ni de economistas ni de abogados, el $15\%$ ocupa un puesto directivo. Seleccionado un empleado al azar de esta empresa, calcule la probabilidad de que:

a) No ocupe un puesto directivo.b) Ejerza de economista sabiendo que ocupa un puesto directivo.

Arbol de probabilidadProbabilidad condicionada

Definimos los siguientes sucesos: $E$ : El empleado es economista. $A$ : El empleado es abogado. $N$ : El empleado no es economista ni abogado. $D$ : El empleado ocupa un puesto directivo. $D'$ : El empleado no ocupa un puesto directivo.A partir de la información proporcionada, tenemos las siguientes probabilidades:

P(E) = 0.30

P(A) = 0.25

La probabilidad de que un empleado no sea ni economista ni abogado es:

P(N) = 1 - P(E) - P(A) = 1 - 0.30 - 0.25 = 0.45

Las probabilidades condicionadas de ocupar un puesto directivo son:

P(D|E) = 0.75

P(D|A) = 0.60

P(D|N) = 0.15

a) No ocupe un puesto directivo.

Para calcular la probabilidad de que un empleado no ocupe un puesto directivo, primero calculamos la probabilidad de que sí ocupe un puesto directivo, utilizando el Teorema de la Probabilidad Total:

P(D) = P(D|E) \cdot P(E) + P(D|A) \cdot P(A) + P(D|N) \cdot P(N)

P(D) = (0.75)(0.30) + (0.60)(0.25) + (0.15)(0.45)

P(D) = 0.225 + 0.15 + 0.0675

P(D) = 0.4425

Ahora, la probabilidad de que un empleado no ocupe un puesto directivo es:

P(D') = 1 - P(D) = 1 - 0.4425 = 0.5575

b) Ejerza de economista sabiendo que ocupa un puesto directivo.

Para calcular esta probabilidad, utilizamos el Teorema de Bayes:

P(E|D) = \frac{P(D|E) \cdot P(E)}{P(D)}

P(E|D) = \frac{(0.75)(0.30)}{0.4425}

P(E|D) = \frac{0.225}{0.4425}

P(E|D) \approx 0.5085

La fracción simplificada es:

P(E|D) = \frac{2250}{4425} = \frac{90}{177} = \frac{30}{59}

T5: Probabilidad

Probabilidad compuesta y condicionada

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

5

BLOQUE C

Un grupo de 15 amigas se van a pasar un fin de semana a una casa rural. Al llegar reparten las tareas: 3 irán al mercado, 2 a comprar leña y el resto se quedarán en la casa. Para realizar el reparto de las tareas se introducen 15 papeletas en una urna de las que 3 tienen la palabra “mercado”, 2 la palabra “leña” y el resto la palabra “casa”. Cada una coge una papeleta de forma ordenada y sin reposición. Calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Las dos primeras papeletas extraídas tienen escrita la palabra “mercado”.b) Las dos primeras papeletas extraídas no tienen escrita la palabra “casa”.c) Si la segunda papeleta extraída tiene escrita “leña”, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también tenga escrita “leña”?

ProbabilidadSin reposiciónSucesos dependientes+1

Tenemos un total de 15 papeletas, distribuidas de la siguiente manera:- 3 papeletas con la palabra "mercado" (M).- 2 papeletas con la palabra "leña" (L).- $15 - 3 - 2 = 10$ papeletas con la palabra "casa" (C).Las papeletas se extraen de forma ordenada y sin reposición.

a) Las dos primeras papeletas extraídas tienen escrita la palabra “mercado”.

Sea $M_1$ el suceso de que la primera papeleta sea "mercado" y $M_2$ el suceso de que la segunda papeleta sea "mercado".La probabilidad de que la primera papeleta sea "mercado" es:

P(M_1) = \frac{3}{15}

Dado que la primera papeleta fue "mercado" y no hay reposición, quedan 14 papeletas en total y 2 de ellas son "mercado". La probabilidad de que la segunda sea "mercado" dado que la primera fue "mercado" es:

P(M_2 | M_1) = \frac{2}{14}

La probabilidad de que ambas sean "mercado" es el producto de estas probabilidades:

P(M_1 \cap M_2) = P(M_1) \cdot P(M_2 | M_1) = \frac{3}{15} \cdot \frac{2}{14} = \frac{6}{210} = \frac{1}{35}

b) Las dos primeras papeletas extraídas no tienen escrita la palabra “casa”.

Sea $NC_1$ el suceso de que la primera papeleta no sea "casa" y $NC_2$ el suceso de que la segunda papeleta no sea "casa".El número de papeletas que no son "casa" es la suma de las de "mercado" y "leña": $3 + 2 = 5$ papeletas.La probabilidad de que la primera papeleta no sea "casa" es:

P(NC_1) = \frac{5}{15}

Dado que la primera papeleta no fue "casa" y no hay reposición, quedan 14 papeletas en total y 4 de ellas no son "casa" (pues se extrajo una de las 5 iniciales). La probabilidad de que la segunda tampoco sea "casa" dado que la primera no lo fue es:

P(NC_2 | NC_1) = \frac{4}{14}

La probabilidad de que las dos primeras no sean "casa" es:

P(NC_1 \cap NC_2) = P(NC_1) \cdot P(NC_2 | NC_1) = \frac{5}{15} \cdot \frac{4}{14} = \frac{20}{210} = \frac{2}{21}

c) Si la segunda papeleta extraída tiene escrita “leña”, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también tenga escrita “leña”?

Sea $L_1$ el suceso de que la primera papeleta sea "leña" y $L_2$ el suceso de que la segunda papeleta sea "leña".Se nos pide calcular la probabilidad condicional $P(L_1 | L_2)$ . Usamos la fórmula de la probabilidad condicional:

P(L_1 | L_2) = \frac{P(L_1 \cap L_2)}{P(L_2)}

Primero, calculamos $P(L_1 \cap L_2)$ :

P(L_1 \cap L_2) = P(L_1) \cdot P(L_2 | L_1)

La probabilidad de que la primera sea "leña" es $P(L_1) = \frac{2}{15}$ .Si la primera fue "leña", queda 1 papeleta de "leña" y un total de 14 papeletas. La probabilidad de que la segunda también sea "leña" es $P(L_2 | L_1) = \frac{1}{14}$ .Entonces:

P(L_1 \cap L_2) = \frac{2}{15} \cdot \frac{1}{14} = \frac{2}{210} = \frac{1}{105}

Ahora, calculamos $P(L_2)$ . La probabilidad de que la segunda papeleta sea "leña" se puede obtener por la probabilidad total, o por simetría, es la misma que la probabilidad de que la primera sea "leña".

P(L_2) = P(L_1) = \frac{2}{15}

Finalmente, sustituimos estos valores en la fórmula de la probabilidad condicional:

P(L_1 | L_2) = \frac{\frac{1}{105}}{\frac{2}{15}} = \frac{1}{105} \cdot \frac{15}{2} = \frac{15}{210} = \frac{1}{14}

T5: Probabilidad

Probabilidad total y Teorema de Bayes

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

6

Una empresa ha instalado 50 alarmas de las que 30 son de tipo básico y el resto de tipo superior. Se sabe que el 80% de todas las alarmas no presentan incidencias y que de las de tipo básico un 30% presentan alguna incidencia. Se elige al azar una de estas alarmas. Calcule la probabilidad de que:

a) Sea de tipo básico y no presente incidencias.b) No presente incidencias siendo de tipo superior.c) Teniendo incidencias sea de tipo básico.d) Sea de "tipo básico y tenga incidencias" o sea de "tipo superior y no tenga incidencias".

ProbabilidadProbabilidad condicionadaTeorema de Bayes+1

Definición de eventos y probabilidades iniciales

Sean los siguientes eventos:- $A$ : La alarma es de tipo básico.- $S$ : La alarma es de tipo superior.- $I$ : La alarma presenta incidencias.- $\bar{I}$ : La alarma no presenta incidencias.De los datos proporcionados, tenemos:- Hay 50 alarmas en total. 30 son de tipo básico y 20 de tipo superior.

P(A) = \frac{30}{50} = 0.6

P(S) = \frac{20}{50} = 0.4

- El 80% de todas las alarmas no presentan incidencias.

P(\bar{I}) = 0.8

- De las de tipo básico, un 30% presentan alguna incidencia.

P(I|A) = 0.3

Podemos deducir otras probabilidades:

P(I) = 1 - P(\bar{I}) = 1 - 0.8 = 0.2

P(\bar{I}|A) = 1 - P(I|A) = 1 - 0.3 = 0.7

a) Calcule la probabilidad de que sea de tipo básico y no presente incidencias.

Se pide calcular $P(A \cap \bar{I})$ . Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicional:

P(\bar{I}|A) = \frac{P(A \cap \bar{I})}{P(A)}

P(A \cap \bar{I}) = P(\bar{I}|A) \cdot P(A) = 0.7 \cdot 0.6 = 0.42

b) Calcule la probabilidad de que no presente incidencias siendo de tipo superior.

Se pide calcular $P(\bar{I}|S)$ . Primero, necesitamos $P(S \cap \bar{I})$ . Sabemos que:

P(\bar{I}) = P(A \cap \bar{I}) + P(S \cap \bar{I})

Despejamos $P(S \cap \bar{I})$ :

P(S \cap \bar{I}) = P(\bar{I}) - P(A \cap \bar{I}) = 0.8 - 0.42 = 0.38

Ahora podemos calcular $P(\bar{I}|S)$ :

P(\bar{I}|S) = \frac{P(S \cap \bar{I})}{P(S)} = \frac{0.38}{0.4} = 0.95

c) Calcule la probabilidad de que, teniendo incidencias, sea de tipo básico.

Se pide calcular $P(A|I)$ . Utilizamos el teorema de Bayes:

P(A|I) = \frac{P(I|A) \cdot P(A)}{P(I)}

P(A|I) = \frac{0.3 \cdot 0.6}{0.2} = \frac{0.18}{0.2} = 0.9

d) Calcule la probabilidad de que sea de "tipo básico y tenga incidencias" o sea de "tipo superior y no tenga incidencias".

Se pide calcular $P((A \cap I) \cup (S \cap \bar{I}))$ . Dado que los eventos $(A \cap I)$ y $(S \cap \bar{I})$ son mutuamente excluyentes, la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades individuales:

P((A \cap I) \cup (S \cap \bar{I})) = P(A \cap I) + P(S \cap \bar{I})

Primero calculamos $P(A \cap I)$ :

P(A \cap I) = P(I|A) \cdot P(A) = 0.3 \cdot 0.6 = 0.18

De la parte b), ya sabemos que $P(S \cap \bar{I}) = 0.38$ . Sumamos ambas probabilidades:

P((A \cap I) \cup (S \cap \bar{I})) = 0.18 + 0.38 = 0.56

T5: Probabilidad

Probabilidad condicionada

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

5

El 7% de los habitantes de una ciudad no tienen ni coche ni moto. De entre los que tienen coche el 36% tienen moto y de entre los que no tienen coche el 28% no tienen moto. Se elige al azar un habitante de esa ciudad:

a) Calcule la probabilidad de que solo tenga uno de los dos vehículos.b) Calcule la probabilidad de que al menos tenga uno de los dos vehículos.c) Si tiene coche, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga moto?d) ¿Son independientes los sucesos "tener coche" y "no tener moto"? ¿Son incompatibles?

ProbabilidadSucesos independientesSucesos incompatibles

Definimos los siguientes sucesos: $C$ : El habitante tiene coche. $\overline{C}$ : El habitante no tiene coche. $M$ : El habitante tiene moto. $\overline{M}$ : El habitante no tiene moto.A partir de los datos proporcionados, tenemos las siguientes probabilidades:

P(\overline{C} \cap \overline{M}) = 0.07

P(M|C) = 0.36

P(\overline{M}|\overline{C}) = 0.28

De $P(M|C) = 0.36$ , se deduce que $P(\overline{M}|C) = 1 - P(M|C) = 1 - 0.36 = 0.64$ .De $P(\overline{M}|\overline{C}) = 0.28$ , se deduce que $P(M|\overline{C}) = 1 - P(\overline{M}|\overline{C}) = 1 - 0.28 = 0.72$ .Usando la fórmula de probabilidad condicional $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , podemos calcular $P(\overline{C})$ :

P(\overline{M}|\overline{C}) = \frac{P(\overline{M} \cap \overline{C})}{P(\overline{C})} \implies 0.28 = \frac{0.07}{P(\overline{C})}

P(\overline{C}) = \frac{0.07}{0.28} = 0.25

Con $P(\overline{C}) = 0.25$ , podemos calcular $P(C)$ :

P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - 0.25 = 0.75

Ahora calculamos las probabilidades de las intersecciones:

P(M \cap C) = P(M|C) \cdot P(C) = 0.36 \cdot 0.75 = 0.27

P(\overline{M} \cap C) = P(\overline{M}|C) \cdot P(C) = 0.64 \cdot 0.75 = 0.48

P(M \cap \overline{C}) = P(M|\overline{C}) \cdot P(\overline{C}) = 0.72 \cdot 0.25 = 0.18

(La probabilidad $P(\overline{M} \cap \overline{C}) = 0.07$ ya la teníamos como dato inicial.)

a) Calcule la probabilidad de que solo tenga uno de los dos vehículos.

Se pide la probabilidad de tener coche y no moto, o tener moto y no coche: $P((C \cap \overline{M}) \cup (M \cap \overline{C}))$ .

P(\text{solo uno}) = P(C \cap \overline{M}) + P(M \cap \overline{C})

P(\text{solo uno}) = 0.48 + 0.18 = 0.66

b) Calcule la probabilidad de que al menos tenga uno de los dos vehículos.

Se pide $P(C \cup M)$ . Este suceso es el complemento del suceso "no tener ni coche ni moto" ( $P(\overline{C} \cap \overline{M})$ ).

P(C \cup M) = 1 - P(\overline{C} \cap \overline{M})

P(C \cup M) = 1 - 0.07 = 0.93

c) Si tiene coche, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga moto?

Se pide la probabilidad condicional $P(\overline{M}|C)$ .

P(\overline{M}|C) = \frac{P(\overline{M} \cap C)}{P(C)}

P(\overline{M}|C) = \frac{0.48}{0.75} = 0.64

d) ¿Son independientes los sucesos "tener coche" y "no tener moto"? ¿Son incompatibles?

Para que dos sucesos $A$ y $B$ sean independientes, se debe cumplir que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ o $P(A|B) = P(A)$ .Verificamos para los sucesos $C$ (tener coche) y $\overline{M}$ (no tener moto):

P(C \cap \overline{M}) = 0.48

P(C) = 0.75

Calculamos $P(\overline{M})$ :

P(\overline{M}) = P(\overline{M} \cap C) + P(\overline{M} \cap \overline{C}) = 0.48 + 0.07 = 0.55

P(C) \cdot P(\overline{M}) = 0.75 \cdot 0.55 = 0.4125

Dado que $P(C \cap \overline{M}) = 0.48 \neq 0.4125 = P(C) \cdot P(\overline{M})$ , los sucesos "tener coche" y "no tener moto" NO son independientes.Para que dos sucesos $A$ y $B$ sean incompatibles (o mutuamente excluyentes), se debe cumplir que $P(A \cap B) = 0$ .En este caso, $P(C \cap \overline{M}) = 0.48$ .Dado que $P(C \cap \overline{M}) = 0.48 \neq 0$ , los sucesos "tener coche" y "no tener moto" NO son incompatibles.

T5: Probabilidad

Teorema de Bayes y probabilidad total

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

6

Se ha realizado un estudio a personas que están teletrabajando actualmente. De estos, el 72% trabajan por cuenta ajena con contrato indefinido, el 11% lo hacen por cuenta ajena con contrato temporal y el resto trabajan por cuenta propia. El 87% de los que tienen contrato indefinido y el 86% de los que trabajan por cuenta propia piensan que el teletrabajo mejora la conciliación familiar. Además, este estudio ha revelado que el 12.51% de los trabajadores opinan que el teletrabajo no mejora la conciliación familiar. Seleccionado un teletrabajador al azar, determine la probabilidad de que:

a) Opine que el teletrabajo sí mejora la conciliación familiar sabiendo que tiene un contrato temporal.b) No esté trabajando por cuenta propia sabiendo que opina que el teletrabajo mejora la conciliación familiar.

Probabilidad totalTeorema de BayesÁrbol de probabilidad

Definimos los siguientes sucesos: $I$ : el teletrabajador trabaja por cuenta ajena con contrato indefinido. $T$ : el teletrabajador trabaja por cuenta ajena con contrato temporal. $P$ : el teletrabajador trabaja por cuenta propia. $M$ : el teletrabajador opina que el teletrabajo mejora la conciliación familiar. $M^c$ : el teletrabajador opina que el teletrabajo no mejora la conciliación familiar.A partir de los datos del problema, establecemos las siguientes probabilidades:

P(I) = 0.72

P(T) = 0.11

P(P) = 1 - P(I) - P(T) = 1 - 0.72 - 0.11 = 0.17

P(M | I) = 0.87

P(M | P) = 0.86

P(M^c) = 0.1251

De $P(M^c)$ , podemos obtener $P(M)$ :

P(M) = 1 - P(M^c) = 1 - 0.1251 = 0.8749

Utilizamos el teorema de la probabilidad total para encontrar $P(M | T)$ :

P(M) = P(M | I)P(I) + P(M | T)P(T) + P(M | P)P(P)

0.8749 = (0.87)(0.72) + P(M | T)(0.11) + (0.86)(0.17)

0.8749 = 0.6264 + 0.11 \cdot P(M | T) + 0.1462

0.8749 = 0.7726 + 0.11 \cdot P(M | T)

0.11 \cdot P(M | T) = 0.8749 - 0.7726

0.11 \cdot P(M | T) = 0.1023

P(M | T) = \frac{0.1023}{0.11} = 0.93

a) Opine que el teletrabajo sí mejora la conciliación familiar sabiendo que tiene un contrato temporal.

Nos piden calcular $P(M | T)$ . Según nuestros cálculos previos:

P(M | T) = 0.93

b) No esté trabajando por cuenta propia sabiendo que opina que el teletrabajo mejora la conciliación familiar.

Nos piden calcular $P(P^c | M)$ . Usamos la definición de probabilidad condicionada:

P(P^c | M) = \frac{P(P^c \cap M)}{P(M)}

Sabemos que $P(M) = 0.8749$ .Para calcular $P(P^c \cap M)$ , podemos usar que $P^c = I \cup T$ (ya que los eventos $I$ , $T$ y $P$ son mutuamente excluyentes y forman una partición del espacio muestral).

P(P^c \cap M) = P((I \cup T) \cap M) = P((I \cap M) \cup (T \cap M))

Dado que $I$ y $T$ son sucesos disjuntos, $(I \cap M)$ y $(T \cap M)$ también lo son. Por tanto:

P(P^c \cap M) = P(I \cap M) + P(T \cap M)

Calculamos $P(I \cap M)$ y $P(T \cap M)$ :

P(I \cap M) = P(M | I)P(I) = (0.87)(0.72) = 0.6264

P(T \cap M) = P(M | T)P(T) = (0.93)(0.11) = 0.1023

P(P^c \cap M) = 0.6264 + 0.1023 = 0.7287

Finalmente, calculamos $P(P^c | M)$ :

P(P^c | M) = \frac{0.7287}{0.8749} \approx 0.8329

T5: Probabilidad

Probabilidad condicionada

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

5

EJERCICIO 5

Una tienda vende ropa de tallas $M, L$ y $XL$ . Se sabe que el $65\%$ de sus clientes son mujeres. El $50\%$ de las mujeres que compran ropa en esa tienda usan la talla $M$ y el $10 \%$ la talla $XL$ . De los hombres, el $40\%$ usan la talla $L$ y el $45\%$ la $XL$ .

a) ¿Qué porcentaje de mujeres que compran ropa en esa tienda no usan la talla

XL

?b) Halle el porcentaje de clientes que no usan la talla

L

.c) De los clientes que usan la talla

M

, ¿qué porcentaje son mujeres?

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad total

Definición de eventos y probabilidades:

Sean los siguientes eventos: $M$ : el cliente es mujer. $H$ : el cliente es hombre. $TM$ : el cliente usa la talla M. $TL$ : el cliente usa la talla L. $TXL$ : el cliente usa la talla XL.Datos proporcionados:

P(M) = 0.65

P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0.65 = 0.35

Probabilidades condicionales para mujeres:

P(TM | M) = 0.50

P(TXL | M) = 0.10

P(TL | M) = 1 - P(TM | M) - P(TXL | M) = 1 - 0.50 - 0.10 = 0.40

Probabilidades condicionales para hombres:

P(TL | H) = 0.40

P(TXL | H) = 0.45

P(TM | H) = 1 - P(TL | H) - P(TXL | H) = 1 - 0.40 - 0.45 = 0.15

a) ¿Qué porcentaje de mujeres que compran ropa en esa tienda no usan la talla

XL

?

Se pide $P(TXL^c | M)$ , donde $TXL^c$ es el evento de no usar la talla XL. Sabemos que $P(TXL^c | M) = 1 - P(TXL | M)$ .

P(TXL^c | M) = 1 - 0.10 = 0.90

El porcentaje de mujeres que no usan la talla XL es del $90\%$ .

b) Halle el porcentaje de clientes que no usan la talla

L

.

Se pide $P(TL^c)$ . Primero calculamos $P(TL)$ utilizando la Ley de Probabilidad Total:

P(TL) = P(TL | M) \cdot P(M) + P(TL | H) \cdot P(H)

P(TL) = (0.40)(0.65) + (0.40)(0.35)

P(TL) = 0.26 + 0.14 = 0.40

Ahora calculamos $P(TL^c)$ :

P(TL^c) = 1 - P(TL) = 1 - 0.40 = 0.60

El porcentaje de clientes que no usan la talla L es del $60\%$ .

c) De los clientes que usan la talla

M

, ¿qué porcentaje son mujeres?

Se pide $P(M | TM)$ . Aplicamos el Teorema de Bayes:

P(M | TM) = \frac{P(TM | M) \cdot P(M)}{P(TM)}

Primero calculamos $P(TM)$ utilizando la Ley de Probabilidad Total:

P(TM) = P(TM | M) \cdot P(M) + P(TM | H) \cdot P(H)

P(TM) = (0.50)(0.65) + (0.15)(0.35)

P(TM) = 0.325 + 0.0525 = 0.3775

Ahora sustituimos en la fórmula de Bayes:

P(M | TM) = \frac{0.325}{0.3775} \approx 0.8610

El porcentaje de clientes que usan la talla M y son mujeres es aproximadamente del $86.10\%$ .

T5: Probabilidad

Propiedades de la probabilidad

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

6

EJERCICIO 6

El $75\%$ de los estudiantes de un centro aprueba la asignatura $A$ y un $55\%$ aprueba la asignatura $B$ . Además, un $35\%$ del total de estudiantes aprueba ambas. Elegido un estudiante al azar de este centro, calcule las siguientes probabilidades:

a) No apruebe

B

sabiendo que ha aprobado

A

.b) Aprueba alguna de estas asignaturas.c) No apruebe ni

A

ni

B

.d) Haya aprobado

A

si se sabe que ha aprobado alguna de estas dos asignaturas.e) Estudie si los sucesos “aprobar

A

” y “aprobar

B

” son independientes.

Probabilidad de la uniónProbabilidad condicionadaIndependencia de sucesos

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El estudiante aprueba la asignatura $A$ . $B$ : El estudiante aprueba la asignatura $B$ .Las probabilidades dadas son:

P(A) = 0.75

P(B) = 0.55

P(A \cap B) = 0.35

a) No apruebe

B

sabiendo que ha aprobado

A

.

Se pide calcular $P(B^c | A)$ . Usamos la fórmula de probabilidad condicionada:

P(B^c | A) = \frac{P(B^c \cap A)}{P(A)}

Sabemos que $P(B^c \cap A) = P(A) - P(A \cap B)$ . Sustituimos los valores:

P(B^c | A) = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.75 - 0.35}{0.75} = \frac{0.40}{0.75} = \frac{40}{75} = \frac{8}{15}

b) Aprueba alguna de estas asignaturas.

Se pide calcular $P(A \cup B)$ . Usamos la fórmula para la unión de sucesos:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Sustituimos los valores:

P(A \cup B) = 0.75 + 0.55 - 0.35 = 1.30 - 0.35 = 0.95

c) No apruebe ni

A

ni

B

.

Se pide calcular $P(A^c \cap B^c)$ . Por las Leyes de De Morgan, sabemos que $P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c)$ . Por lo tanto:

P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)

Sustituimos el valor de $P(A \cup B)$ calculado en el apartado anterior:

P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.95 = 0.05

d) Haya aprobado

A

si se sabe que ha aprobado alguna de estas dos asignaturas.

Se pide calcular $P(A | A \cup B)$ . Usamos la fórmula de probabilidad condicionada:

P(A | A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}

Dado que el suceso $A$ está contenido en el suceso $A \cup B$ , la intersección $A \cap (A \cup B)$ es simplemente $A$ . Así, la expresión se simplifica a:

P(A | A \cup B) = \frac{P(A)}{P(A \cup B)}

Sustituimos los valores de $P(A)$ y $P(A \cup B)$ :

P(A | A \cup B) = \frac{0.75}{0.95} = \frac{75}{95} = \frac{15}{19}

e) Estudie si los sucesos “aprobar

A

” y “aprobar

B

” son independientes.

Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . Calculamos el producto de las probabilidades individuales:

P(A) \cdot P(B) = 0.75 \cdot 0.55 = 0.4125

Comparamos este valor con la probabilidad de la intersección dada:

P(A \cap B) = 0.35

Dado que $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ ( $0.35 \neq 0.4125$ ), los sucesos "aprobar $A$ " y "aprobar $B$ " no son independientes.

T5: Probabilidad

Probabilidad condicional y sucesos

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

5

En una encuesta realizada en una librería se ha determinado que el 45% de sus clientes compran novelas históricas, mientras que el 40% no compra novelas de fantasía. Además, de los clientes que compran novelas de fantasía, sólo el 30% compran también novelas históricas. Elegido un cliente al azar, calcule la probabilidad de que:

a) Compre novelas históricas y de fantasía.b) No compre novelas históricas y tampoco de fantasía.c) Compre una novela de fantasía, sabiendo que no ha comprado ninguna novela histórica.

ProbabilidadTeorema de BayesSucesos

Definimos los siguientes sucesos: $H$ : El cliente compra novelas históricas. $F$ : El cliente compra novelas de fantasía.A partir del enunciado, tenemos las siguientes probabilidades:

P(H) = 0.45

P(F') = 0.40 \implies P(F) = 1 - P(F') = 1 - 0.40 = 0.60

P(H|F) = 0.30

a) Compre novelas históricas y de fantasía.

Se nos pide calcular la probabilidad $P(H \cap F)$ . Utilizaremos la definición de probabilidad condicional:

P(H|F) = \frac{P(H \cap F)}{P(F)}

Despejando $P(H \cap F)$ :

P(H \cap F) = P(H|F) \cdot P(F)

P(H \cap F) = 0.30 \cdot 0.60

P(H \cap F) = 0.18

b) No compre novelas históricas y tampoco de fantasía.

Se nos pide calcular la probabilidad $P(H' \cap F')$ . Por las Leyes de De Morgan, sabemos que $P(H' \cap F') = P((H \cup F)')$ . Por lo tanto, $P(H' \cap F') = 1 - P(H \cup F)$ . Primero, calculamos $P(H \cup F)$ :

P(H \cup F) = P(H) + P(F) - P(H \cap F)

P(H \cup F) = 0.45 + 0.60 - 0.18

P(H \cup F) = 1.05 - 0.18

P(H \cup F) = 0.87

Ahora podemos calcular $P(H' \cap F')$ :

P(H' \cap F') = 1 - P(H \cup F)

P(H' \cap F') = 1 - 0.87

P(H' \cap F') = 0.13

c) Compre una novela de fantasía, sabiendo que no ha comprado ninguna novela histórica.

Se nos pide calcular la probabilidad condicional $P(F|H')$ . Usamos la definición de probabilidad condicional:

P(F|H') = \frac{P(F \cap H')}{P(H')}

Primero, calculamos $P(H')$ :

P(H') = 1 - P(H) = 1 - 0.45 = 0.55

Luego, calculamos $P(F \cap H')$ . Sabemos que $P(F) = P(F \cap H) + P(F \cap H')$ . Por lo tanto:

P(F \cap H') = P(F) - P(F \cap H)

Dado que $P(F \cap H)$ es lo mismo que $P(H \cap F)$ , que calculamos en el apartado a) como $0.18$ :

P(F \cap H') = 0.60 - 0.18

P(F \cap H') = 0.42

Finalmente, calculamos $P(F|H')$ :

P(F|H') = \frac{0.42}{0.55}

P(F|H') \approx 0.7636

T5: Probabilidad

Teorema de la probabilidad total y de Bayes

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

6

Una fábrica dispone de 3 máquinas $A, B$ y $C$ para la fabricación de una cierta pieza. El 25% de las piezas son fabricadas por la máquina $A$ , el 35% por $B$ y el resto por $C$ . Tras un estudio se determina que el 2.05% del total de las piezas fabricadas son defectuosas y que el 1% de las piezas fabricadas por $B$ son defectuosas.

a) Se selecciona una pieza al azar y resulta no ser defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que fuera fabricada por la máquina

B

?b) Si

A

y

C

tienen la misma probabilidad de fabricar una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que una pieza sea fabricada por

A

sabiendo que es defectuosa?

Probabilidad TotalTeorema de BayesControl de calidad

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : la pieza es fabricada por la máquina A. $B$ : la pieza es fabricada por la máquina B. $C$ : la pieza es fabricada por la máquina C. $D$ : la pieza es defectuosa. $D'$ : la pieza no es defectuosa.A partir del enunciado, tenemos las siguientes probabilidades:

P(A) = 0.25

P(B) = 0.35

P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - 0.25 - 0.35 = 0.40

P(D) = 0.0205

P(D|B) = 0.01

a) Se nos pide calcular la probabilidad de que la pieza fuera fabricada por la máquina B, sabiendo que no es defectuosa, es decir,

P(B|D')

.

Primero calculamos la probabilidad de que una pieza no sea defectuosa, dado que ha sido fabricada por B, $P(D'|B)$ , y la probabilidad de que una pieza no sea defectuosa, $P(D')$ :

P(D'|B) = 1 - P(D|B) = 1 - 0.01 = 0.99

P(D') = 1 - P(D) = 1 - 0.0205 = 0.9795

Ahora aplicamos el Teorema de Bayes:

P(B|D') = \frac{P(D'|B) \cdot P(B)}{P(D')}

P(B|D') = \frac{0.99 \cdot 0.35}{0.9795}

P(B|D') = \frac{0.3465}{0.9795} = \frac{3465}{9795} = \frac{231}{653}

b) Se nos pide calcular la probabilidad de que la pieza haya sido fabricada por A, sabiendo que es defectuosa, es decir,

P(A|D)

.

Sabemos que $P(D|A) = P(D|C)$ . Sea $x = P(D|A) = P(D|C)$ . Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total para $P(D)$ :

P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C)

0.0205 = x \cdot 0.25 + 0.01 \cdot 0.35 + x \cdot 0.40

0.0205 = 0.25x + 0.0035 + 0.40x

0.0205 - 0.0035 = 0.65x

0.0170 = 0.65x

x = \frac{0.0170}{0.65} = \frac{170}{6500} = \frac{17}{650}

Por lo tanto, $P(D|A) = \frac{17}{650}$ .Ahora, aplicamos el Teorema de Bayes para calcular $P(A|D)$ :

P(A|D) = \frac{P(D|A) \cdot P(A)}{P(D)}

P(A|D) = \frac{\left(\frac{17}{650}\right) \cdot 0.25}{0.0205}

P(A|D) = \frac{\frac{17}{650} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{205}{10000}}

P(A|D) = \frac{\frac{17}{2600}}{\frac{41}{2000}}

P(A|D) = \frac{17}{2600} \cdot \frac{2000}{41}

P(A|D) = \frac{17 \cdot 2000}{2600 \cdot 41} = \frac{17 \cdot 20}{26 \cdot 41} = \frac{17 \cdot 10}{13 \cdot 41} = \frac{170}{533}

T5: Probabilidad

Probabilidad condicionada y tablas de contingencia

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

5

BLOQUE C

Una agencia ha realizado un estudio acerca de la siniestralidad de los vehículos de una región. Se ha dividido a los conductores en dos grupos: jóvenes los menores de $30$ años y sénior el resto de conductores. Asimismo, también se ha dividido a los vehículos en dos grupos: nuevos los que tienen menos de $5$ años de antigüedad y viejos el resto de vehículos. De los $54$ siniestros registrados, en $19$ de ellos el vehículo implicado era nuevo y en $29$ los conductores eran jóvenes. Finalmente, $21$ de los siniestros se dieron con vehículos viejos y conductores jóvenes. Se escoge uno de estos siniestros al azar.

a) Calcule la probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo viejo.b) Calcule la probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo.c) Determine razonadamente si la siguiente afirmación es cierta: "Los siniestros de este estudio menos probables son aquellos en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo".

ProbabilidadProbabilidad condicionadaTablas de contingencia

Definimos los siguientes eventos:- J: El conductor es joven (menor de $30$ años).- S: El conductor es sénior (mayor o igual de $30$ años).- N: El vehículo es nuevo (menor de $5$ años de antigüedad).- V: El vehículo es viejo (mayor o igual de $5$ años de antigüedad).Datos proporcionados:Total de siniestros = $54$

P(N) = \frac{19}{54} \implies \text{Número de siniestros con vehículo nuevo} = 19

P(J) = \frac{29}{54} \implies \text{Número de siniestros con conductor joven} = 29

P(V \cap J) = \frac{21}{54} \implies \text{Número de siniestros con vehículo viejo y conductor joven} = 21

A partir de estos datos, podemos completar una tabla de contingencia con el número de siniestros:

Número de siniestros con vehículo viejo (V): $54 - 19 = 35$
Número de siniestros con conductor sénior (S): $54 - 29 = 25$
Número de siniestros con vehículo nuevo y conductor joven (N $\cap$ J): Número total de jóvenes - Número de jóvenes con vehículo viejo = $29 - 21 = 8$
Número de siniestros con vehículo nuevo y conductor sénior (N $\cap$ S): Número total de vehículos nuevos - Número de jóvenes con vehículo nuevo = $19 - 8 = 11$
Número de siniestros con vehículo viejo y conductor sénior (V $\cap$ S): Número total de vehículos viejos - Número de jóvenes con vehículo viejo = $35 - 21 = 14$ Tabla de contingencia con el número de siniestros: | | Joven (J) | Sénior (S) | Total | |-------------|-----------|------------|------------| | Nuevo (N) | 8 | 11 | 19 | | Viejo (V) | 21 | 14 | 35 | | Total | 29 | 25 | 54 |

a) Calcule la probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo viejo.

Esta probabilidad corresponde a $P(S \cap V)$ . A partir de la tabla, el número de siniestros con conductor sénior y vehículo viejo es $14$ .

P(S \cap V) = \frac{\text{Número de (S \cap V)}}{\text{Total de siniestros}} = \frac{14}{54} = \frac{7}{27}

b) Calcule la probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo.

Esta es una probabilidad condicional, $P(J|V)$ . Se calcula como $P(J|V) = \frac{P(J \cap V)}{P(V)}$ . También podemos usar los números de la tabla directamente para la fórmula equivalente: $P(J|V) = \frac{\text{Número de (J \cap V)}}{\text{Número de (V)}}$ .El número de siniestros con conductor joven y vehículo viejo es $21$ .El número total de siniestros con vehículo viejo es $35$ .

P(J|V) = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}

c) Determine razonadamente si la siguiente afirmación es cierta: "Los siniestros de este estudio menos probables son aquellos en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo".

Para determinar la veracidad de la afirmación, calculamos las probabilidades de todas las combinaciones posibles de conductor y vehículo:

P(J \cap N) = \frac{8}{54}

P(J \cap V) = \frac{21}{54}

P(S \cap N) = \frac{11}{54}

P(S \cap V) = \frac{14}{54}

Comparando los numeradores, el valor más pequeño es $8$ . Por lo tanto, la combinación menos probable es aquella en la que el conductor es joven y el vehículo es nuevo ( $P(J \cap N) = \frac{8}{54}$ ).La afirmación establece que los siniestros menos probables son aquellos en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo, lo cual corresponde a $P(S \cap N) = \frac{11}{54}$ .Dado que $\frac{8}{54} < \frac{11}{54}$ , la afirmación es falsa.

T5: Probabilidad

Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayes

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

6

Un grupo de turistas programa una visita a la Geoda de Pulpí. El $42\%$ de los turistas del grupo proceden de Andalucía, el $32\%$ de otras comunidades autónomas y el resto del extranjero. Son mayores de edad el $65\%$ de los visitantes que proceden de Andalucía y el $75\%$ de los que proceden de otras comunidades autónomas. Son menores de edad el $20\%$ de los visitantes extranjeros. Elegido un turista de este grupo al azar, halle la probabilidad de que:

a) Sea mayor de edad.b) Proceda de Andalucía y sea menor de edad.c) Sea extranjero sabiendo que es menor de edad.

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad total

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El turista procede de Andalucía. $C$ : El turista procede de otras comunidades autónomas. $E$ : El turista procede del extranjero. $M$ : El turista es mayor de edad. $m$ : El turista es menor de edad.Las probabilidades iniciales son:

P(A) = 0.42

P(C) = 0.32

P(E) = 1 - P(A) - P(C) = 1 - 0.42 - 0.32 = 0.26

Las probabilidades condicionadas dadas son:

P(M|A) = 0.65 \implies P(m|A) = 1 - 0.65 = 0.35

P(M|C) = 0.75 \implies P(m|C) = 1 - 0.75 = 0.25

P(m|E) = 0.20 \implies P(M|E) = 1 - 0.20 = 0.80

a) Sea mayor de edad.

Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total para calcular $P(M)$ :

P(M) = P(M|A)P(A) + P(M|C)P(C) + P(M|E)P(E)

P(M) = (0.65)(0.42) + (0.75)(0.32) + (0.80)(0.26)

P(M) = 0.273 + 0.24 + 0.208

P(M) = 0.721

b) Proceda de Andalucía y sea menor de edad.

Buscamos la probabilidad conjunta $P(A \cap m)$ :

P(A \cap m) = P(m|A)P(A)

P(A \cap m) = (0.35)(0.42)

P(A \cap m) = 0.147

c) Sea extranjero sabiendo que es menor de edad.

Buscamos la probabilidad condicionada $P(E|m)$ . Primero calculamos $P(m)$ , la probabilidad de ser menor de edad. Podemos usar $P(m) = 1 - P(M)$ o el Teorema de la Probabilidad Total para $P(m)$ .

P(m) = 1 - P(M) = 1 - 0.721 = 0.279

Ahora aplicamos el Teorema de Bayes:

P(E|m) = \frac{P(m|E)P(E)}{P(m)}

P(E|m) = \frac{(0.20)(0.26)}{0.279}

P(E|m) = \frac{0.052}{0.279}

P(E|m) \approx 0.1864