T5: Probabilidad · Probabilidad condicional y sucesos — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Probabilidad condicional y sucesos

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

En una encuesta realizada en una librería se ha determinado que el 45% de sus clientes compran novelas históricas, mientras que el 40% no compra novelas de fantasía. Además, de los clientes que compran novelas de fantasía, sólo el 30% compran también novelas históricas. Elegido un cliente al azar, calcule la probabilidad de que:

a) Compre novelas históricas y de fantasía.b) No compre novelas históricas y tampoco de fantasía.c) Compre una novela de fantasía, sabiendo que no ha comprado ninguna novela histórica.

ProbabilidadTeorema de BayesSucesos

Definimos los siguientes sucesos: $H$ : El cliente compra novelas históricas. $F$ : El cliente compra novelas de fantasía.A partir del enunciado, tenemos las siguientes probabilidades:

P(H) = 0.45

P(F') = 0.40 \implies P(F) = 1 - P(F') = 1 - 0.40 = 0.60

P(H|F) = 0.30

a) Compre novelas históricas y de fantasía.

Se nos pide calcular la probabilidad $P(H \cap F)$ . Utilizaremos la definición de probabilidad condicional:

P(H|F) = \frac{P(H \cap F)}{P(F)}

Despejando $P(H \cap F)$ :

P(H \cap F) = P(H|F) \cdot P(F)

P(H \cap F) = 0.30 \cdot 0.60

P(H \cap F) = 0.18

b) No compre novelas históricas y tampoco de fantasía.

Se nos pide calcular la probabilidad $P(H' \cap F')$ . Por las Leyes de De Morgan, sabemos que $P(H' \cap F') = P((H \cup F)')$ . Por lo tanto, $P(H' \cap F') = 1 - P(H \cup F)$ . Primero, calculamos $P(H \cup F)$ :

P(H \cup F) = P(H) + P(F) - P(H \cap F)

P(H \cup F) = 0.45 + 0.60 - 0.18

P(H \cup F) = 1.05 - 0.18

P(H \cup F) = 0.87

Ahora podemos calcular $P(H' \cap F')$ :

P(H' \cap F') = 1 - P(H \cup F)

P(H' \cap F') = 1 - 0.87

P(H' \cap F') = 0.13

c) Compre una novela de fantasía, sabiendo que no ha comprado ninguna novela histórica.

Se nos pide calcular la probabilidad condicional $P(F|H')$ . Usamos la definición de probabilidad condicional:

P(F|H') = \frac{P(F \cap H')}{P(H')}

Primero, calculamos $P(H')$ :

P(H') = 1 - P(H) = 1 - 0.45 = 0.55

Luego, calculamos $P(F \cap H')$ . Sabemos que $P(F) = P(F \cap H) + P(F \cap H')$ . Por lo tanto:

P(F \cap H') = P(F) - P(F \cap H)

Dado que $P(F \cap H)$ es lo mismo que $P(H \cap F)$ , que calculamos en el apartado a) como $0.18$ :

P(F \cap H') = 0.60 - 0.18

P(F \cap H') = 0.42

Finalmente, calculamos $P(F|H')$ :

P(F|H') = \frac{0.42}{0.55}

P(F|H') \approx 0.7636