T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Probabilidad condicionada

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

EJERCICIO 5

Una tienda vende ropa de tallas $M, L$ y $XL$ . Se sabe que el $65\%$ de sus clientes son mujeres. El $50\%$ de las mujeres que compran ropa en esa tienda usan la talla $M$ y el $10 \%$ la talla $XL$ . De los hombres, el $40\%$ usan la talla $L$ y el $45\%$ la $XL$ .

a) ¿Qué porcentaje de mujeres que compran ropa en esa tienda no usan la talla

XL

?b) Halle el porcentaje de clientes que no usan la talla

L

.c) De los clientes que usan la talla

M

, ¿qué porcentaje son mujeres?

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad total

Definición de eventos y probabilidades:

Sean los siguientes eventos: $M$ : el cliente es mujer. $H$ : el cliente es hombre. $TM$ : el cliente usa la talla M. $TL$ : el cliente usa la talla L. $TXL$ : el cliente usa la talla XL.Datos proporcionados:

P(M) = 0.65

P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0.65 = 0.35

Probabilidades condicionales para mujeres:

P(TM | M) = 0.50

P(TXL | M) = 0.10

P(TL | M) = 1 - P(TM | M) - P(TXL | M) = 1 - 0.50 - 0.10 = 0.40

Probabilidades condicionales para hombres:

P(TL | H) = 0.40

P(TXL | H) = 0.45

P(TM | H) = 1 - P(TL | H) - P(TXL | H) = 1 - 0.40 - 0.45 = 0.15

a) ¿Qué porcentaje de mujeres que compran ropa en esa tienda no usan la talla

XL

Se pide $P(TXL^c | M)$ , donde $TXL^c$ es el evento de no usar la talla XL. Sabemos que $P(TXL^c | M) = 1 - P(TXL | M)$ .

P(TXL^c | M) = 1 - 0.10 = 0.90

El porcentaje de mujeres que no usan la talla XL es del $90\%$ .

b) Halle el porcentaje de clientes que no usan la talla

L

Se pide $P(TL^c)$ . Primero calculamos $P(TL)$ utilizando la Ley de Probabilidad Total:

P(TL) = P(TL | M) \cdot P(M) + P(TL | H) \cdot P(H)

P(TL) = (0.40)(0.65) + (0.40)(0.35)

P(TL) = 0.26 + 0.14 = 0.40

Ahora calculamos $P(TL^c)$ :

P(TL^c) = 1 - P(TL) = 1 - 0.40 = 0.60

El porcentaje de clientes que no usan la talla L es del $60\%$ .

c) De los clientes que usan la talla

M

, ¿qué porcentaje son mujeres?

Se pide $P(M | TM)$ . Aplicamos el Teorema de Bayes:

P(M | TM) = \frac{P(TM | M) \cdot P(M)}{P(TM)}

Primero calculamos $P(TM)$ utilizando la Ley de Probabilidad Total:

P(TM) = P(TM | M) \cdot P(M) + P(TM | H) \cdot P(H)

P(TM) = (0.50)(0.65) + (0.15)(0.35)

P(TM) = 0.325 + 0.0525 = 0.3775

Ahora sustituimos en la fórmula de Bayes:

P(M | TM) = \frac{0.325}{0.3775} \approx 0.8610

El porcentaje de clientes que usan la talla M y son mujeres es aproximadamente del $86.10\%$ .