T5: Probabilidad · Probabilidad total y Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Probabilidad total y Teorema de Bayes

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

Una empresa ha instalado 50 alarmas de las que 30 son de tipo básico y el resto de tipo superior. Se sabe que el 80% de todas las alarmas no presentan incidencias y que de las de tipo básico un 30% presentan alguna incidencia. Se elige al azar una de estas alarmas. Calcule la probabilidad de que:

a) Sea de tipo básico y no presente incidencias.b) No presente incidencias siendo de tipo superior.c) Teniendo incidencias sea de tipo básico.d) Sea de "tipo básico y tenga incidencias" o sea de "tipo superior y no tenga incidencias".

ProbabilidadProbabilidad condicionadaTeorema de Bayes+1

Definición de eventos y probabilidades iniciales

Sean los siguientes eventos:- $A$ : La alarma es de tipo básico.- $S$ : La alarma es de tipo superior.- $I$ : La alarma presenta incidencias.- $\bar{I}$ : La alarma no presenta incidencias.De los datos proporcionados, tenemos:- Hay 50 alarmas en total. 30 son de tipo básico y 20 de tipo superior.

P(A) = \frac{30}{50} = 0.6

P(S) = \frac{20}{50} = 0.4

- El 80% de todas las alarmas no presentan incidencias.

P(\bar{I}) = 0.8

- De las de tipo básico, un 30% presentan alguna incidencia.

P(I|A) = 0.3

Podemos deducir otras probabilidades:

P(I) = 1 - P(\bar{I}) = 1 - 0.8 = 0.2

P(\bar{I}|A) = 1 - P(I|A) = 1 - 0.3 = 0.7

a) Calcule la probabilidad de que sea de tipo básico y no presente incidencias.

Se pide calcular $P(A \cap \bar{I})$ . Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicional:

P(\bar{I}|A) = \frac{P(A \cap \bar{I})}{P(A)}

P(A \cap \bar{I}) = P(\bar{I}|A) \cdot P(A) = 0.7 \cdot 0.6 = 0.42

b) Calcule la probabilidad de que no presente incidencias siendo de tipo superior.

Se pide calcular $P(\bar{I}|S)$ . Primero, necesitamos $P(S \cap \bar{I})$ . Sabemos que:

P(\bar{I}) = P(A \cap \bar{I}) + P(S \cap \bar{I})

Despejamos $P(S \cap \bar{I})$ :

P(S \cap \bar{I}) = P(\bar{I}) - P(A \cap \bar{I}) = 0.8 - 0.42 = 0.38

Ahora podemos calcular $P(\bar{I}|S)$ :

P(\bar{I}|S) = \frac{P(S \cap \bar{I})}{P(S)} = \frac{0.38}{0.4} = 0.95

c) Calcule la probabilidad de que, teniendo incidencias, sea de tipo básico.

Se pide calcular $P(A|I)$ . Utilizamos el teorema de Bayes:

P(A|I) = \frac{P(I|A) \cdot P(A)}{P(I)}

P(A|I) = \frac{0.3 \cdot 0.6}{0.2} = \frac{0.18}{0.2} = 0.9

d) Calcule la probabilidad de que sea de "tipo básico y tenga incidencias" o sea de "tipo superior y no tenga incidencias".

Se pide calcular $P((A \cap I) \cup (S \cap \bar{I}))$ . Dado que los eventos $(A \cap I)$ y $(S \cap \bar{I})$ son mutuamente excluyentes, la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades individuales:

P((A \cap I) \cup (S \cap \bar{I})) = P(A \cap I) + P(S \cap \bar{I})

Primero calculamos $P(A \cap I)$ :

P(A \cap I) = P(I|A) \cdot P(A) = 0.3 \cdot 0.6 = 0.18

De la parte b), ya sabemos que $P(S \cap \bar{I}) = 0.38$ . Sumamos ambas probabilidades:

P((A \cap I) \cup (S \cap \bar{I})) = 0.18 + 0.38 = 0.56