T5: Probabilidad · Probabilidad condicional y Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Probabilidad condicional y Teorema de Bayes

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

En cierta localidad el $30\%$ de los habitantes profesan la religión $A$ y el $50\%$ profesan otras religiones diferentes de $A$ . De los que profesan la religión $A$ el $40\%$ son mujeres. De las mujeres el $25\%$ profesa la religión $A$ . Se elige un habitante al azar de esa localidad. Calcule la probabilidad de que:

a) No profese ninguna religión.b) Sea hombre.c) Solo verifique uno de los siguientes sucesos: "profesa la religión

A

"; "es mujer".

Probabilidad totalSucesos independientesTeorema de Bayes

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El habitante profesa la religión A. $O$ : El habitante profesa otras religiones diferentes de A. $N$ : El habitante no profesa ninguna religión. $M$ : El habitante es mujer. $H$ : El habitante es hombre.A partir de los datos proporcionados, tenemos las siguientes probabilidades:

P(A) = 0.30

P(O) = 0.50

P(M|A) = 0.40

P(A|M) = 0.25

a) Calcule la probabilidad de que no profese ninguna religión.

Los sucesos $A$ , $O$ y $N$ forman una partición del espacio muestral, por lo que la suma de sus probabilidades debe ser 1.

P(A) + P(O) + P(N) = 1

0.30 + 0.50 + P(N) = 1

0.80 + P(N) = 1

P(N) = 1 - 0.80 = 0.20

b) Calcule la probabilidad de que sea hombre.

Primero, calculamos la probabilidad de la intersección $P(M \cap A)$ usando la definición de probabilidad condicional $P(M|A) = \frac{P(M \cap A)}{P(A)}$ :

P(M \cap A) = P(M|A) \cdot P(A) = 0.40 \cdot 0.30 = 0.12

Ahora, usamos la probabilidad condicional $P(A|M) = \frac{P(M \cap A)}{P(M)}$ para encontrar $P(M)$ :

P(M) = \frac{P(M \cap A)}{P(A|M)} = \frac{0.12}{0.25} = 0.48

Dado que $H$ y $M$ son sucesos complementarios (ser hombre o ser mujer), la probabilidad de que sea hombre es:

P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0.48 = 0.52

c) Calcule la probabilidad de que solo verifique uno de los siguientes sucesos: 'profesa la religión A'; 'es mujer'.

Esto corresponde a la probabilidad de la diferencia simétrica entre los sucesos $A$ y $M$ , $P(A \Delta M)$ . Podemos calcularlo de dos maneras.Método 1: Usando la fórmula $P(A \Delta M) = P(A \cup M) - P(A \cap M)$ .Primero, calculamos $P(A \cup M)$ :

P(A \cup M) = P(A) + P(M) - P(A \cap M)

P(A \cup M) = 0.30 + 0.48 - 0.12

P(A \cup M) = 0.78 - 0.12 = 0.66

Ahora, calculamos $P(A \Delta M)$ :

P(A \Delta M) = P(A \cup M) - P(A \cap M) = 0.66 - 0.12 = 0.54

Método 2: Usando la fórmula $P(A \Delta M) = P(A \cap M^c) + P(A^c \cap M)$ .Calculamos $P(A \cap M^c)$ (profesa la religión A y no es mujer):

P(A \cap M^c) = P(A) - P(A \cap M) = 0.30 - 0.12 = 0.18

Calculamos $P(A^c \cap M)$ (no profesa la religión A y es mujer):

P(A^c \cap M) = P(M) - P(A \cap M) = 0.48 - 0.12 = 0.36

Finalmente, sumamos estas probabilidades:

P(A \Delta M) = 0.18 + 0.36 = 0.54