T5: Probabilidad · Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayes

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

Un grupo de turistas programa una visita a la Geoda de Pulpí. El $42\%$ de los turistas del grupo proceden de Andalucía, el $32\%$ de otras comunidades autónomas y el resto del extranjero. Son mayores de edad el $65\%$ de los visitantes que proceden de Andalucía y el $75\%$ de los que proceden de otras comunidades autónomas. Son menores de edad el $20\%$ de los visitantes extranjeros. Elegido un turista de este grupo al azar, halle la probabilidad de que:

a) Sea mayor de edad.b) Proceda de Andalucía y sea menor de edad.c) Sea extranjero sabiendo que es menor de edad.

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad total

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El turista procede de Andalucía. $C$ : El turista procede de otras comunidades autónomas. $E$ : El turista procede del extranjero. $M$ : El turista es mayor de edad. $m$ : El turista es menor de edad.Las probabilidades iniciales son:

P(A) = 0.42

P(C) = 0.32

P(E) = 1 - P(A) - P(C) = 1 - 0.42 - 0.32 = 0.26

Las probabilidades condicionadas dadas son:

P(M|A) = 0.65 \implies P(m|A) = 1 - 0.65 = 0.35

P(M|C) = 0.75 \implies P(m|C) = 1 - 0.75 = 0.25

P(m|E) = 0.20 \implies P(M|E) = 1 - 0.20 = 0.80

a) Sea mayor de edad.

Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total para calcular $P(M)$ :

P(M) = P(M|A)P(A) + P(M|C)P(C) + P(M|E)P(E)

P(M) = (0.65)(0.42) + (0.75)(0.32) + (0.80)(0.26)

P(M) = 0.273 + 0.24 + 0.208

P(M) = 0.721

b) Proceda de Andalucía y sea menor de edad.

Buscamos la probabilidad conjunta $P(A \cap m)$ :

P(A \cap m) = P(m|A)P(A)

P(A \cap m) = (0.35)(0.42)

P(A \cap m) = 0.147

c) Sea extranjero sabiendo que es menor de edad.

Buscamos la probabilidad condicionada $P(E|m)$ . Primero calculamos $P(m)$ , la probabilidad de ser menor de edad. Podemos usar $P(m) = 1 - P(M)$ o el Teorema de la Probabilidad Total para $P(m)$ .

P(m) = 1 - P(M) = 1 - 0.721 = 0.279

Ahora aplicamos el Teorema de Bayes:

P(E|m) = \frac{P(m|E)P(E)}{P(m)}

P(E|m) = \frac{(0.20)(0.26)}{0.279}

P(E|m) = \frac{0.052}{0.279}

P(E|m) \approx 0.1864