T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

En un estudio sobre la presencia de mujeres en las empresas tecnológicas se observa que el $20 \%$ de los operarios, el $40 \%$ de los ingenieros y el $30 \%$ de los directivos son mujeres. Se sabe que en estas empresas el $20 \%$ de las plantillas son directivos, el $35 \%$ son ingenieros y el resto son operarios. Se elige un trabajador al azar de una de estas empresas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un operario y sea mujer?b) Si el trabajador elegido no es un operario, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?c) Si el trabajador elegido es hombre, ¿a qué colectivo es más probable que pertenezca?

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad total

Definimos los siguientes sucesos: $O$ : El trabajador es operario. $I$ : El trabajador es ingeniero. $D$ : El trabajador es directivo. $M$ : El trabajador es mujer. $H$ : El trabajador es hombre.Las probabilidades dadas son:

P(M|O) = 0.20 \Rightarrow P(H|O) = 1 - 0.20 = 0.80

P(M|I) = 0.40 \Rightarrow P(H|I) = 1 - 0.40 = 0.60

P(M|D) = 0.30 \Rightarrow P(H|D) = 1 - 0.30 = 0.70

P(D) = 0.20

P(I) = 0.35

La probabilidad de que sea operario es $P(O) = 1 - P(D) - P(I) = 1 - 0.20 - 0.35 = 0.45$ .

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un operario y sea mujer?

Queremos calcular $P(O^c \cap M)$ . El suceso "no ser operario" ( $O^c$ ) significa ser ingeniero ( $I$ ) o directivo ( $D$ ). Por lo tanto, $O^c = I \cup D$ . Así, la probabilidad es:

P(O^c \cap M) = P((I \cup D) \cap M)

Dado que los sucesos $I$ y $D$ son mutuamente excluyentes, $(I \cap M)$ y $(D \cap M)$ también lo son. Por lo tanto:

P(O^c \cap M) = P(I \cap M) + P(D \cap M)

Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$ :

P(I \cap M) = P(M|I) \cdot P(I) = 0.40 \cdot 0.35 = 0.14

P(D \cap M) = P(M|D) \cdot P(D) = 0.30 \cdot 0.20 = 0.06

Entonces:

P(O^c \cap M) = 0.14 + 0.06 = 0.20

b) Si el trabajador elegido no es un operario, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Queremos calcular la probabilidad condicionada $P(M|O^c)$ . Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ :

P(M|O^c) = \frac{P(M \cap O^c)}{P(O^c)}

Del apartado a), sabemos que $P(M \cap O^c) = 0.20$ .La probabilidad de no ser operario es $P(O^c) = P(I) + P(D) = 0.35 + 0.20 = 0.55$ . (También se puede calcular como $P(O^c) = 1 - P(O) = 1 - 0.45 = 0.55$ ).Sustituyendo los valores:

P(M|O^c) = \frac{0.20}{0.55} = \frac{20}{55} = \frac{4}{11} \approx 0.3636

c) Si el trabajador elegido es hombre, ¿a qué colectivo es más probable que pertenezca?

Necesitamos calcular y comparar $P(O|H)$ , $P(I|H)$ y $P(D|H)$ .Primero, calculamos la probabilidad total de que un trabajador sea hombre, $P(H)$ .

P(H) = P(H \cap O) + P(H \cap I) + P(H \cap D)

P(H \cap O) = P(H|O) \cdot P(O) = 0.80 \cdot 0.45 = 0.36

P(H \cap I) = P(H|I) \cdot P(I) = 0.60 \cdot 0.35 = 0.21

P(H \cap D) = P(H|D) \cdot P(D) = 0.70 \cdot 0.20 = 0.14

P(H) = 0.36 + 0.21 + 0.14 = 0.71

Ahora, aplicamos el Teorema de Bayes para calcular las probabilidades condicionadas:

P(O|H) = \frac{P(H|O) \cdot P(O)}{P(H)} = \frac{0.36}{0.71} \approx 0.5070

P(I|H) = \frac{P(H|I) \cdot P(I)}{P(H)} = \frac{0.21}{0.71} \approx 0.2958

P(D|H) = \frac{P(H|D) \cdot P(D)}{P(H)} = \frac{0.14}{0.71} \approx 0.1972

Comparando las probabilidades, observamos que $P(O|H) \approx 0.5070$ es la mayor.Por lo tanto, si el trabajador elegido es hombre, es más probable que pertenezca al colectivo de operarios.