T5: Probabilidad · Probabilidad condicional — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Probabilidad condicional

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

EJERCICIO 5

El $20\%$ de los estudiantes de danza de una localidad andaluza están matriculados en la escuela $A$ y el resto en la $B$ . En estas escuelas se practica danza clásica y moderna y cada estudiante solo se puede matricular en una de estas dos especialidades. De los matriculados en $A$ , el $70\%$ practica danza clásica y el resto danza moderna. Se sabe también que el $32\%$ de los estudiantes de danza son de la escuela $B$ y practican danza clásica. Elegido al azar un estudiante de danza de la localidad, calcule la probabilidad de que:

a) Practique danza clásica.b) Practique danza moderna si es de la escuela

B

.c) Estudie en la escuela

B

si resulta ser un estudiante de danza moderna.d) Sea de la escuela

A

, practique danza clásica y realice un Máster, sabiendo que el

80\%

de los estudiantes de danza clásica de la escuela

A

realiza un Máster.

ProbabilidadTeorema de BayesSucesos independientes

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El estudiante está matriculado en la escuela $A$ . $B$ : El estudiante está matriculado en la escuela $B$ . $C$ : El estudiante practica danza clásica. $M$ : El estudiante practica danza moderna. $Mas$ : El estudiante realiza un Máster.A partir del enunciado, tenemos las siguientes probabilidades:

P(A) = 0.20 \Rightarrow P(B) = 1 - P(A) = 0.80

P(C|A) = 0.70 \Rightarrow P(M|A) = 1 - P(C|A) = 0.30

P(B \cap C) = 0.32

Calculamos las probabilidades de las intersecciones:

P(A \cap C) = P(C|A) \cdot P(A) = 0.70 \cdot 0.20 = 0.14

P(A \cap M) = P(M|A) \cdot P(A) = 0.30 \cdot 0.20 = 0.06

Para la escuela $B$ , sabiendo $P(B \cap C) = 0.32$ y $P(B) = 0.80$ , podemos calcular $P(C|B)$ :

P(C|B) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)} = \frac{0.32}{0.80} = 0.40

Y, por lo tanto, $P(M|B)$ :

P(M|B) = 1 - P(C|B) = 1 - 0.40 = 0.60

Finalmente, calculamos $P(B \cap M)$ :

P(B \cap M) = P(M|B) \cdot P(B) = 0.60 \cdot 0.80 = 0.48

Resumiendo las probabilidades de las intersecciones:

P(A \cap C) = 0.14

P(A \cap M) = 0.06

P(B \cap C) = 0.32

P(B \cap M) = 0.48

La suma total es $0.14 + 0.06 + 0.32 + 0.48 = 1.00$ , lo cual es correcto.

a) Practique danza clásica.

Se pide calcular $P(C)$ . Aplicamos el teorema de la probabilidad total:

P(C) = P(C \cap A) + P(C \cap B)

P(C) = 0.14 + 0.32 = 0.46

b) Practique danza moderna si es de la escuela

B

Se pide calcular $P(M|B)$ . Este valor ya lo hemos calculado previamente:

P(M|B) = \frac{P(B \cap M)}{P(B)} = \frac{0.48}{0.80} = 0.60

c) Estudie en la escuela

B

si resulta ser un estudiante de danza moderna.

Se pide calcular $P(B|M)$ . Para ello, primero necesitamos $P(M)$ :

P(M) = P(A \cap M) + P(B \cap M) = 0.06 + 0.48 = 0.54

Ahora aplicamos la definición de probabilidad condicionada:

P(B|M) = \frac{P(B \cap M)}{P(M)} = \frac{0.48}{0.54} = \frac{8}{9} \approx 0.8889

d) Sea de la escuela

A

, practique danza clásica y realice un Máster, sabiendo que el

80\%

de los estudiantes de danza clásica de la escuela

A

realiza un Máster.

Se pide calcular $P(A \cap C \cap Mas)$ . Sabemos que el $80\%$ de los estudiantes de danza clásica de la escuela $A$ realiza un Máster, lo que se traduce como $P(Mas | (A \cap C)) = 0.80$ .Aplicamos la definición de probabilidad condicionada:

P(A \cap C \cap Mas) = P(Mas | (A \cap C)) \cdot P(A \cap C)

Ya calculamos $P(A \cap C) = 0.14$ .

P(A \cap C \cap Mas) = 0.80 \cdot 0.14 = 0.112