T5: Probabilidad · Probabilidad condicional y Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Probabilidad condicional y Teorema de Bayes

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

EJERCICIO 4

Una empresa de tecnología fabrica tres modelos de teléfonos móviles: Básico, Intermedio y Premium. Cada modelo puede estar fabricado con uno de los siguientes tipos de pantalla: $A$ o $B$ . El $20\%$ de los móviles fabricados por esta empresa son del modelo Básico, el $45\%$ son del Intermedio y el resto son Premium. Se sabe que el $80\%$ de los móviles fabricados del modelo Básico tienen una pantalla del tipo $A$ , mientras que en el modelo Premium solo un $5\%$ dispone de esta pantalla. Finalmente, el $53\%$ de los teléfonos producidos tienen pantalla del tipo $A$ . Se selecciona un teléfono al azar de la línea de producción. Determine la probabilidad de que:

a) Tenga una pantalla del tipo

A

sabiendo que es del modelo Intermedio.b) Sea del modelo Intermedio sabiendo que tiene pantalla del tipo

A

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad total

Definimos los siguientes sucesos: $B$ : El móvil es del modelo Básico. $I$ : El móvil es del modelo Intermedio. $P$ : El móvil es del modelo Premium. $A$ : El móvil tiene pantalla del tipo A.Las probabilidades dadas son:

P(B) = 0.20

P(I) = 0.45

El resto son Premium, por lo tanto:

P(P) = 1 - P(B) - P(I) = 1 - 0.20 - 0.45 = 0.35

También se conocen las siguientes probabilidades condicionales y la probabilidad total de pantalla tipo A:

P(A|B) = 0.80

P(A|P) = 0.05

P(A) = 0.53

a) Tenga una pantalla del tipo

A

sabiendo que es del modelo Intermedio.

Debemos calcular $P(A|I)$ . Para ello, utilizamos la Ley de Probabilidad Total para $P(A)$ :

P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|I)P(I) + P(A|P)P(P)

Sustituimos los valores conocidos en la fórmula:

0.53 = (0.80)(0.20) + P(A|I)(0.45) + (0.05)(0.35)

0.53 = 0.16 + 0.45 \cdot P(A|I) + 0.0175

0.53 = 0.1775 + 0.45 \cdot P(A|I)

0.53 - 0.1775 = 0.45 \cdot P(A|I)

0.3525 = 0.45 \cdot P(A|I)

P(A|I) = \frac{0.3525}{0.45} = \frac{3525}{4500} = \frac{47}{60}

La probabilidad de que un móvil tenga una pantalla del tipo $A$ sabiendo que es del modelo Intermedio es $P(A|I) = \frac{47}{60} \approx 0.7833$ .

b) Sea del modelo Intermedio sabiendo que tiene pantalla del tipo

A

Debemos calcular $P(I|A)$ . Aplicamos el Teorema de Bayes:

P(I|A) = \frac{P(A|I)P(I)}{P(A)}

Sustituimos los valores ya calculados y conocidos:

P(I|A) = \frac{\left(\frac{47}{60}\right) (0.45)}{0.53}

P(I|A) = \frac{\frac{47}{60} \cdot \frac{45}{100}}{\frac{53}{100}}

P(I|A) = \frac{47 \cdot 45}{60 \cdot 53}

P(I|A) = \frac{2115}{3180}

Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por 15:

P(I|A) = \frac{2115 \div 15}{3180 \div 15} = \frac{141}{212}

La probabilidad de que el móvil sea del modelo Intermedio sabiendo que tiene pantalla del tipo $A$ es $P(I|A) = \frac{141}{212} \approx 0.6651$ .