T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada y tablas de contingencia — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Probabilidad condicionada y tablas de contingencia

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

BLOQUE C

Una agencia ha realizado un estudio acerca de la siniestralidad de los vehículos de una región. Se ha dividido a los conductores en dos grupos: jóvenes los menores de $30$ años y sénior el resto de conductores. Asimismo, también se ha dividido a los vehículos en dos grupos: nuevos los que tienen menos de $5$ años de antigüedad y viejos el resto de vehículos. De los $54$ siniestros registrados, en $19$ de ellos el vehículo implicado era nuevo y en $29$ los conductores eran jóvenes. Finalmente, $21$ de los siniestros se dieron con vehículos viejos y conductores jóvenes. Se escoge uno de estos siniestros al azar.

a) Calcule la probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo viejo.b) Calcule la probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo.c) Determine razonadamente si la siguiente afirmación es cierta: "Los siniestros de este estudio menos probables son aquellos en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo".

ProbabilidadProbabilidad condicionadaTablas de contingencia

Definimos los siguientes eventos:- J: El conductor es joven (menor de $30$ años).- S: El conductor es sénior (mayor o igual de $30$ años).- N: El vehículo es nuevo (menor de $5$ años de antigüedad).- V: El vehículo es viejo (mayor o igual de $5$ años de antigüedad).Datos proporcionados:Total de siniestros = $54$

P(N) = \frac{19}{54} \implies \text{Número de siniestros con vehículo nuevo} = 19

P(J) = \frac{29}{54} \implies \text{Número de siniestros con conductor joven} = 29

P(V \cap J) = \frac{21}{54} \implies \text{Número de siniestros con vehículo viejo y conductor joven} = 21

A partir de estos datos, podemos completar una tabla de contingencia con el número de siniestros:

Número de siniestros con vehículo viejo (V): $54 - 19 = 35$
Número de siniestros con conductor sénior (S): $54 - 29 = 25$
Número de siniestros con vehículo nuevo y conductor joven (N $\cap$ J): Número total de jóvenes - Número de jóvenes con vehículo viejo = $29 - 21 = 8$
Número de siniestros con vehículo nuevo y conductor sénior (N $\cap$ S): Número total de vehículos nuevos - Número de jóvenes con vehículo nuevo = $19 - 8 = 11$
Número de siniestros con vehículo viejo y conductor sénior (V $\cap$ S): Número total de vehículos viejos - Número de jóvenes con vehículo viejo = $35 - 21 = 14$ Tabla de contingencia con el número de siniestros: | | Joven (J) | Sénior (S) | Total | |-------------|-----------|------------|------------| | Nuevo (N) | 8 | 11 | 19 | | Viejo (V) | 21 | 14 | 35 | | Total | 29 | 25 | 54 |

a) Calcule la probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo viejo.

Esta probabilidad corresponde a $P(S \cap V)$ . A partir de la tabla, el número de siniestros con conductor sénior y vehículo viejo es $14$ .

P(S \cap V) = \frac{\text{Número de (S \cap V)}}{\text{Total de siniestros}} = \frac{14}{54} = \frac{7}{27}

b) Calcule la probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo.

Esta es una probabilidad condicional, $P(J|V)$ . Se calcula como $P(J|V) = \frac{P(J \cap V)}{P(V)}$ . También podemos usar los números de la tabla directamente para la fórmula equivalente: $P(J|V) = \frac{\text{Número de (J \cap V)}}{\text{Número de (V)}}$ .El número de siniestros con conductor joven y vehículo viejo es $21$ .El número total de siniestros con vehículo viejo es $35$ .

P(J|V) = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}

c) Determine razonadamente si la siguiente afirmación es cierta: "Los siniestros de este estudio menos probables son aquellos en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo".

Para determinar la veracidad de la afirmación, calculamos las probabilidades de todas las combinaciones posibles de conductor y vehículo:

P(J \cap N) = \frac{8}{54}

P(J \cap V) = \frac{21}{54}

P(S \cap N) = \frac{11}{54}

P(S \cap V) = \frac{14}{54}

Comparando los numeradores, el valor más pequeño es $8$ . Por lo tanto, la combinación menos probable es aquella en la que el conductor es joven y el vehículo es nuevo ( $P(J \cap N) = \frac{8}{54}$ ).La afirmación establece que los siniestros menos probables son aquellos en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo, lo cual corresponde a $P(S \cap N) = \frac{11}{54}$ .Dado que $\frac{8}{54} < \frac{11}{54}$ , la afirmación es falsa.