T5: Probabilidad · Teorema de la probabilidad total y Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Teorema de la probabilidad total y Bayes

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

Un nuevo servicio de streaming utiliza un algoritmo para recomendar películas a sus usuarios en función de las películas vistas anteriormente. Como la plataforma es de reciente creación, solo tiene disponibles tres géneros: ciencia ficción, terror y musicales. El $62\%$ de las películas disponibles son de ciencia ficción, la cuarta parte son de terror y el resto musicales. De las películas de ciencia ficción, el algoritmo hace una recomendación correcta en el $70\%$ de las ocasiones, de las de terror, el $75\%$ de las veces y de los musicales, el $15\%$ . Un usuario selecciona al azar una película de su lista de recomendaciones:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el algoritmo haya hecho una recomendación correcta?b) Si no ha sido recomendada correctamente, ¿qué probabilidad hay de que la película sea de terror?c) De las recomendaciones correctas del género de ciencia ficción, el usuario queda satisfecho con la elección de la película en el

55\%

de las ocasiones. ¿Qué probabilidad hay de que la película sea de ciencia ficción, esté recomendada correctamente y el usuario haya quedado satisfecho?

ProbabilidadProbabilidad TotalTeorema de Bayes

Definimos los siguientes sucesos:- $CF$ : La película es de ciencia ficción.- $T$ : La película es de terror.- $M$ : La película es musical.- $C$ : El algoritmo hace una recomendación correcta.- $S$ : El usuario queda satisfecho con la elección de la película.A partir de la información proporcionada, tenemos las siguientes probabilidades:

P(CF) = 0.62

P(T) = \frac{1}{4} = 0.25

P(M) = 1 - P(CF) - P(T) = 1 - 0.62 - 0.25 = 0.13

P(C|CF) = 0.70

P(C|T) = 0.75

P(C|M) = 0.15

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el algoritmo haya hecho una recomendación correcta?

Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total para calcular $P(C)$ :

P(C) = P(C|CF)P(CF) + P(C|T)P(T) + P(C|M)P(M)

P(C) = (0.70)(0.62) + (0.75)(0.25) + (0.15)(0.13)

P(C) = 0.434 + 0.1875 + 0.0195

P(C) = 0.641

b) Si no ha sido recomendada correctamente, ¿qué probabilidad hay de que la película sea de terror?

Queremos calcular $P(T|C^c)$ . Primero, necesitamos $P(C^c)$ , la probabilidad de que la recomendación no sea correcta.

P(C^c) = 1 - P(C) = 1 - 0.641 = 0.359

Las probabilidades de que la recomendación no sea correcta para cada género son:

P(C^c|CF) = 1 - P(C|CF) = 1 - 0.70 = 0.30

P(C^c|T) = 1 - P(C|T) = 1 - 0.75 = 0.25

P(C^c|M) = 1 - P(C|M) = 1 - 0.15 = 0.85

Ahora, aplicamos el Teorema de Bayes:

P(T|C^c) = \frac{P(C^c|T)P(T)}{P(C^c)}

P(T|C^c) = \frac{(0.25)(0.25)}{0.359}

P(T|C^c) = \frac{0.0625}{0.359} \approx 0.1741

c) De las recomendaciones correctas del género de ciencia ficción, el usuario queda satisfecho con la elección de la película en el

55\%

de las ocasiones. ¿Qué probabilidad hay de que la película sea de ciencia ficción, esté recomendada correctamente y el usuario haya quedado satisfecho?

Queremos calcular $P(CF \cap C \cap S)$ . Se nos da la probabilidad condicional $P(S|C \cap CF) = 0.55$ . Sabemos que:

P(S|C \cap CF) = \frac{P(CF \cap C \cap S)}{P(CF \cap C)}

De aquí podemos despejar $P(CF \cap C \cap S)$ :

P(CF \cap C \cap S) = P(S|C \cap CF) \cdot P(CF \cap C)

Primero, calculamos $P(CF \cap C)$ :

P(CF \cap C) = P(C|CF)P(CF)

P(CF \cap C) = (0.70)(0.62) = 0.434

Ahora, sustituimos en la ecuación para $P(CF \cap C \cap S)$ :

P(CF \cap C \cap S) = (0.55)(0.434)

P(CF \cap C \cap S) = 0.2387