Tenemos que encontrar el valor de $t$ para el cual $f(t) = 5931.10$. Probaremos con ambas ramas de la función.Caso 1: $0 \le t \le 1$

Este valor de $t=3.7244$ no está en el intervalo $0 \le t \le 1$, por lo que esta rama no es aplicable.Caso 2: $t > 1$

Aplicamos logaritmos para despejar $t$:

Este valor de $t=3.5$ está en el intervalo $t > 1$. Por lo tanto, el tiempo que debe mantener invertido el dinero es $3.5$ años.

Para calcular los intereses entre el año $t_1=2$ y el año $t_2=4$, ambos valores de $t$ son mayores que $1$, por lo que utilizamos la segunda rama de la función: $f(t) = 5000 \cdot 1.05^t$.Calculamos $f(4)$:

Calculamos $f(2)$:

Los intereses son $I = f(4) - f(2)$:

Los intereses obtenidos entre el año 2 y el año 4 son $565.03 \,\text{euros}$.

Cada una de las ramas de $f(t)$ es continua en su dominio de definición: $5000 \cdot (1 + 0.05t)$ es un polinomio (función lineal) y $5000 \cdot 1.05^t$ es una función exponencial. Ambas son continuas en todos los números reales.Debemos estudiar la continuidad en el punto de unión de las ramas, $t=1$.1. Valor de la función en $t=1$:

2. Límites laterales en $t=1$:

Como $f(1) = \lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1^+} f(t)$, la función $f(t)$ es continua en $t=1$.Por lo tanto, la función $f(t)$ es continua para $t \ge 0$.

Calculamos la derivada de cada rama:

Ahora estudiamos la derivabilidad en el punto de unión $t=1$ calculando las derivadas laterales:Derivada por la izquierda en $t=1$:

Derivada por la derecha en $t=1$:

Usando el valor de $\ln(1.05) \approx 0.04879$:

Dado que $f'(1^-) = 250 \ne f'(1^+) \approx 256.1475$, la función $f(t)$ no es derivable en $t=1$.La función es derivable en $(0, 1) \cup (1, \infty)$.

Estudiamos el signo de la primera derivada $f'(t)$:Para $0 < t < 1$:

Como $f'(t) = 250 > 0$, la función es estrictamente creciente en el intervalo $(0, 1)$.Para $t > 1$:

Dado que $5000 > 0$, $1.05^t > 0$ para todo $t$, y $\ln(1.05) > 0$ (porque $1.05 > 1$), entonces $f'(t) > 0$.Por lo tanto, la función es estrictamente creciente en el intervalo $(1, \infty)$.Al ser la función continua en $t=1$ y estrictamente creciente en ambos intervalos adyacentes, concluimos que la función $f(t)$ es estrictamente creciente para todo $t \ge 0$.

Para esbozar la gráfica, consideramos los siguientes puntos y comportamientos:* Punto inicial: $f(0) = 5000 \cdot (1 + 0.05 \cdot 0) = 5000$. La gráfica comienza en $(0, 5000)$.* Punto de unión: $f(1) = 5250$. La gráfica pasa por $(1, 5250)$.* Para $0 \le t \le 1$: la función es lineal y creciente. Une el punto $(0, 5000)$ con $(1, 5250)$ con una línea recta.* Para $t > 1$: la función es exponencial y creciente. A partir del punto $(1, 5250)$, la gráfica sigue aumentando, pero con una curvatura hacia arriba (crecimiento acelerado).* La gráfica será continua en $t=1$, pero no "suave" (tendrá un "pico" o "esquina") debido a la no derivabilidad en ese punto.