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T2: Sistemas de ecuaciones lineales
Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones
Problema
2025 · Extraordinaria · Suplente
1
Examen

En una empresa de diseño gráfico, tres personas empleadas, Ana, Bruno y Carla, trabajan en un proyecto conjunto.

a) Se sabe que Ana ha dedicado un tercio del total de horas que ha necesitado el proyecto. Además, la suma de las horas trabajadas por Ana y Bruno excede en 6 horas a las que ha dedicado Carla, quien a su vez ha trabajado 4 horas más que Bruno. ¿Cuántas horas ha trabajado cada persona involucrada en el proyecto?b) Si la empresa paga 25  euros25 \text{ \,\text{euros}} por cada hora de trabajo en el proyecto y de seguros sociales el 23.60%23.60 \% del salario, ¿cuánto tiene que abonar la empresa para pagar los costes de este proyecto?
Sistemas de ecuacionesProblemas económicosÁlgebra
a) Definimos las horas trabajadas por cada persona:

Sea AA el número de horas trabajadas por Ana.Sea BB el número de horas trabajadas por Bruno.Sea CC el número de horas trabajadas por Carla.Traducimos las condiciones dadas en el enunciado a un sistema de ecuaciones:1. Ana ha dedicado un tercio del total de horas del proyecto: A=rac13(A+B+C)A = rac{1}{3}(A+B+C) 2. La suma de las horas de Ana y Bruno excede en 6 a las de Carla: A+B=C+6A + B = C + 6 3. Carla ha trabajado 4 horas más que Bruno: C=B+4C = B + 4 Resolvemos el sistema de ecuaciones:Sustituimos la ecuación (3) en la ecuación (2):

A+B=(B+4)+6A + B = (B + 4) + 6
A+B=B+10A + B = B + 10
A=10A = 10

Ana ha trabajado 10 horas.Ahora, sustituimos el valor de AA en la ecuación (1):

10=13(10+B+C)10 = \frac{1}{3}(10+B+C)
30=10+B+C30 = 10+B+C
20=B+C(4)20 = B+C \quad (4)

Tenemos un nuevo sistema con las ecuaciones (3) y (4):

{C=B+420=B+C\begin{cases} C = B + 4 \\ 20 = B + C \end{cases}

Sustituimos la ecuación (3) en la ecuación (4):

20=B+(B+4)20 = B + (B + 4)
20=2B+420 = 2B + 4
16=2B16 = 2B
B=8B = 8

Bruno ha trabajado 8 horas.Finalmente, sustituimos el valor de BB en la ecuación (3) para encontrar CC:

C=8+4C = 8 + 4
C=12C = 12

Carla ha trabajado 12 horas.Por lo tanto, Ana ha trabajado 10 horas, Bruno ha trabajado 8 horas y Carla ha trabajado 12 horas.

b) Calculamos el coste total del proyecto para la empresa.

El total de horas trabajadas en el proyecto es la suma de las horas de cada persona:

Total de horas=A+B+C=10+8+12=30 horas\text{Total de horas} = A + B + C = 10 + 8 + 12 = 30 \text{ horas}

El salario por hora es de 25  euros25 \text{ \,\text{euros}}. Calculamos el salario total:

Salario total=30 horas×25  euros/hora=750  euros\text{Salario total} = 30 \text{ horas} \times 25 \text{ \,\text{euros}/hora} = 750 \text{ \,\text{euros}}

Los seguros sociales representan el 23.60%23.60 \% del salario. Calculamos el coste de los seguros sociales:

Coste seguros sociales=0.2360×750  euros=177  euros\text{Coste seguros sociales} = 0.2360 \times 750 \text{ \,\text{euros}} = 177 \text{ \,\text{euros}}

El coste total para la empresa es la suma del salario total y el coste de los seguros sociales:

Coste total empresa=Salario total+Coste seguros sociales\text{Coste total empresa} = \text{Salario total} + \text{Coste seguros sociales}
Coste total empresa=750  euros+177  euros=927  euros\text{Coste total empresa} = 750 \text{ \,\text{euros}} + 177 \text{ \,\text{euros}} = 927 \text{ \,\text{euros}}

La empresa tiene que abonar 927  euros927 \text{ \,\text{euros}} para pagar los costes de este proyecto.