Funciones — Matemáticas CCSS II PEvAU Andalucía

Funciones exponenciales y cálculo

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

3

EJERCICIO 3

El Cesio 137 es un elemento radioactivo que se usa, entre otros, para tratamientos de radioterapia. La cantidad (en $mg$ ) de Cesio 137 que queda en el lugar de almacenamiento, transcurrido un número de años $t$ , viene dada por la función:

f(t) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} ; t \geq 0

a) Calcule los años que deben pasar para que la cantidad de Cesio 137 que quede en el almacén sea la mitad de la que había al inicio.b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f

, en el punto de abscisa

t = 10

.c) Indique si la función tiene asíntotas horizontales y verticales. En caso afirmativo, calcúlelas.

Función exponencialDerivadasRecta tangente+1

a) Calcule los años que deben pasar para que la cantidad de Cesio 137 que quede en el almacén sea la mitad de la que había al inicio.

La cantidad inicial de Cesio 137 se obtiene evaluando la función en $t=0$ :

f(0) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{0}{30}} = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 10 \cdot 1 = 10 \text{ mg}

Queremos encontrar el tiempo $t$ para el cual la cantidad de Cesio 137 sea la mitad de la inicial, es decir, $\frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ mg}$ . Igualamos la función a 5:

10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = 5

Dividimos por 10:

\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = \frac{5}{10}

\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = \frac{1}{2}

Dado que las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales:

\frac{t}{30} = 1

t = 30

Deben pasar 30 años para que la cantidad de Cesio 137 se reduzca a la mitad de la inicial.

b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f

, en el punto de abscisa

t = 10

.

La ecuación de la recta tangente en un punto $t_0$ es $y - f(t_0) = f'(t_0)(t - t_0)$ . Primero, calculamos $f(10)$ :

f(10) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10}{30}} = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}} = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{2}}

Ahora, calculamos la derivada de la función $f(t)$ . Usaremos la regla de derivación para funciones exponenciales $a^{g(t)}$ : $\frac{d}{dt}(a^{g(t)}) = a^{g(t)} \cdot \ln(a) \cdot g'(t)$ .

f'(t) = 10 \cdot \frac{d}{dt} \left[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} \right]

f'(t) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{30}

Simplificamos $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(1) - \ln(2) = -\ln(2)$ :

f'(t) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} \cdot (-\ln(2)) \cdot \frac{1}{30}

f'(t) = -\frac{\ln(2)}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}

Evaluamos $f'(t)$ en $t=10$ :

f'(10) = -\frac{\ln(2)}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10}{30}} = -\frac{\ln(2)}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}

f'(10) = -\frac{\ln(2)}{3 \sqrt[3]{2}}

Ahora, sustituimos $f(10)$ y $f'(10)$ en la ecuación de la recta tangente:

y - \frac{10}{\sqrt[3]{2}} = -\frac{\ln(2)}{3 \sqrt[3]{2}} (t - 10)

La ecuación de la recta tangente es:

y = -\frac{\ln(2)}{3 \sqrt[3]{2}} (t - 10) + \frac{10}{\sqrt[3]{2}}

c) Indique si la función tiene asíntotas horizontales y verticales. En caso afirmativo, calcúlelas.

Asíntotas verticales:La función $f(t) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}$ es una función exponencial continua definida para $t \geq 0$ . No presenta puntos de discontinuidad ni valores donde el denominador se anule (no tiene denominador) o argumentos de logaritmos se hagan cero o negativos. Por lo tanto, no tiene asíntotas verticales.Asíntotas horizontales:Las asíntotas horizontales se buscan calculando el límite de la función cuando $t \to \infty$ . Dado que el dominio es $t \geq 0$ , solo consideramos $t \to \infty$ .

\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{t \to \infty} 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}

A medida que $t \to \infty$ , el exponente $\frac{t}{30} \to \infty$ . Como la base de la potencia es $\frac{1}{2}$ (que está entre 0 y 1), la potencia tiende a 0:

\lim_{t \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = 0

Por lo tanto:

\lim_{t \to \infty} f(t) = 10 \cdot 0 = 0

La función tiene una asíntota horizontal en $y=0$ (el eje $t$ ) cuando $t \to \infty$ .

T4: Funciones

Análisis de funciones racionales y aplicaciones

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

3

Un grupo de emprendedores valora crear una empresa y, para ello, ha encargado un estudio de mercado en el que se estima que los beneficios para los próximos $10$ años, en millones de euros, vendrán dados por la función:

B(t) = \frac{3t}{t+2} - 1; \quad 0 \le t \le 10

donde $t$ representa los años transcurridos desde la apertura de la empresa.

a) ¿En qué intervalo de tiempo la empresa no tendrá beneficios?b) ¿En qué momento se alcanza el máximo beneficio y a cuánto asciende su valor?c) ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que la empresa obtenga un beneficio de

800\,000\text{ \,\text{euros}}

?d) Si la función de beneficios se mantuviera y transcurrieran los años de manera indefinida, ¿A que valor tendería el beneficio de la empresa?

Funciones racionalesOptimizaciónEconomía+1

a) Para determinar en qué intervalo de tiempo la empresa no tendrá beneficios, debemos encontrar los valores de

t

para los cuales

B(t) \le 0

. Dado que

t

representa los años y

0 \le t \le 10

,

t

debe ser no negativo.

B(t) = \frac{3t}{t+2} - 1 \le 0

\frac{3t - (t+2)}{t+2} \le 0

\frac{2t - 2}{t+2} \le 0

Analizamos la desigualdad. El denominador $t+2$ es siempre positivo para $t \ge 0$ . Por lo tanto, el signo de la expresión depende únicamente del numerador.

2t - 2 \le 0

2t \le 2

t \le 1

Considerando el dominio de la función $0 \le t \le 10$ , el intervalo de tiempo en el que la empresa no tendrá beneficios es $0 \le t \le 1$ .

b) Para encontrar el momento en que se alcanza el máximo beneficio, calculamos la derivada de la función

B(t)

y estudiamos su signo.

B(t) = \frac{3t}{t+2} - 1

B'(t) = \frac{3(t+2) - 3t(1)}{(t+2)^2} - 0

B'(t) = \frac{3t+6 - 3t}{(t+2)^2}

B'(t) = \frac{6}{(t+2)^2}

Para $0 \le t \le 10$ , el denominador $(t+2)^2$ es siempre positivo. Como el numerador es $6$ (positivo), $B'(t) > 0$ para todo $t$ en el dominio. Esto significa que la función de beneficios $B(t)$ es estrictamente creciente en el intervalo $[0, 10]$ . Por lo tanto, el máximo beneficio se alcanza en el valor máximo de $t$ dentro del dominio, que es $t=10$ años.El valor del beneficio máximo es:

B(10) = \frac{3(10)}{10+2} - 1 = \frac{30}{12} - 1 = \frac{5}{2} - 1 = 2.5 - 1 = 1.5

El máximo beneficio se alcanza a los $10$ años y asciende a $1.5$ millones de euros.

c) Para que la empresa obtenga un beneficio de

800\,000\text{ \,\text{euros}}

, el valor de

B(t)

debe ser

0.8

millones de euros.

B(t) = \frac{3t}{t+2} - 1 = 0.8

\frac{3t}{t+2} = 1.8

3t = 1.8(t+2)

3t = 1.8t + 3.6

3t - 1.8t = 3.6

1.2t = 3.6

t = \frac{3.6}{1.2}

t = 3

Para que la empresa obtenga un beneficio de $800\,000\text{ \,\text{euros}}$ , han de pasar $3$ años.

d) Si la función de beneficios se mantuviera y transcurrieran los años de manera indefinida, debemos calcular el límite de

B(t)

cuando

t \to \infty

.

\lim_{t \to \infty} B(t) = \lim_{t \to \infty} \left( \frac{3t}{t+2} - 1 \right)

Primero, evaluamos el límite de la fracción principal. Dividimos el numerador y el denominador por la mayor potencia de $t$ :

\lim_{t \to \infty} \frac{3t}{t+2} = \lim_{t \to \infty} \frac{\frac{3t}{t}}{\frac{t}{t} + \frac{2}{t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{3}{1 + \frac{2}{t}}

Cuando $t \to \infty$ , el término $\frac{2}{t} \to 0$ . Por lo tanto:

\lim_{t \to \infty} \frac{3}{1 + \frac{2}{t}} = \frac{3}{1 + 0} = 3

Ahora, sustituimos este resultado en la expresión original de $B(t)$ :

\lim_{t \to \infty} B(t) = 3 - 1 = 2

El beneficio de la empresa tendería a $2$ millones de euros.

T4: Funciones

Cálculo diferencial e integral

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

4

Las ventas de un producto (en miles de euros), en los $6$ primeros años desde que se lanzó una campaña de publicidad, evolucionan de acuerdo con la siguiente función:

V(t) = 4t^3 - 24t^2 + 36t + 100; \quad 0 \le t \le 6

siendo $t$ el tiempo transcurrido en años.

a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de las ventas a lo largo de los

6

años. Calcule los extremos.b) Represente gráficamente la función

V

.c) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de

V

, la recta

t = 6

y los ejes de coordenadas.

PolinomiosDerivadasIntegrales+2

a) Estudio del crecimiento y decrecimiento de las ventas y cálculo de los extremos.

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, obtenemos la primera derivada de la función $V(t)$ :

V(t) = 4t^3 - 24t^2 + 36t + 100

V'(t) = 12t^2 - 48t + 36

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

12t^2 - 48t + 36 = 0

Dividimos por 12:

t^2 - 4t + 3 = 0

Factorizando o usando la fórmula cuadrática, obtenemos:

(t-1)(t-3) = 0

Los puntos críticos son $t=1$ y $t=3$ . Ambos se encuentran dentro del intervalo de estudio $[0, 6]$ .Estudiamos el signo de $V'(t)$ en los intervalos determinados por los puntos críticos y los extremos del dominio:Para $t \in [0, 1)$ (tomamos $t=0.5$ ):

V'(0.5) = 12(0.5)^2 - 48(0.5) + 36 = 12(0.25) - 24 + 36 = 3 - 24 + 36 = 15 > 0

Las ventas crecen en el intervalo $[0, 1)$ .Para $t \in (1, 3)$ (tomamos $t=2$ ):

V'(2) = 12(2)^2 - 48(2) + 36 = 48 - 96 + 36 = -12 < 0

Las ventas decrecen en el intervalo $(1, 3)$ .Para $t \in (3, 6]$ (tomamos $t=4$ ):

V'(4) = 12(4)^2 - 48(4) + 36 = 192 - 192 + 36 = 36 > 0

Las ventas crecen en el intervalo $(3, 6]$ .En resumen, las ventas crecen en $[0, 1) \cup (3, 6]$ y decrecen en $(1, 3)$ .Calculamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo para encontrar los extremos locales y absolutos:

V(0) = 4(0)^3 - 24(0)^2 + 36(0) + 100 = 100

V(1) = 4(1)^3 - 24(1)^2 + 36(1) + 100 = 4 - 24 + 36 + 100 = 116

V(3) = 4(3)^3 - 24(3)^2 + 36(3) + 100 = 108 - 216 + 108 + 100 = 100

V(6) = 4(6)^3 - 24(6)^2 + 36(6) + 100 = 4(216) - 24(36) + 216 + 100 = 864 - 864 + 216 + 100 = 316

Los extremos son:\begin{itemize} \item Máximo local en $t=1$ con un valor de ventas de $V(1) = 116$ miles de euros. \item Mínimo local en $t=3$ con un valor de ventas de $V(3) = 100$ miles de euros. \item El máximo absoluto en el intervalo $[0, 6]$ es $V(6) = 316$ miles de euros. \item El mínimo absoluto en el intervalo $[0, 6]$ es $V(0) = V(3) = 100$ miles de euros. \end{itemize}

b) Representación gráfica de la función

V

.

Para representar gráficamente la función $V(t)$ , utilizamos los puntos clave calculados en el apartado anterior y la información de crecimiento y decrecimiento:\begin{itemize} \item Punto inicial: $(0, V(0)) = (0, 100)$ \item Máximo local: $(1, V(1)) = (1, 116)$ \item Mínimo local: $(3, V(3)) = (3, 100)$ \item Punto final: $(6, V(6)) = (6, 316)$ \end{itemize} La gráfica empieza en $(0, 100)$ , sube hasta el máximo local en $(1, 116)$ , baja hasta el mínimo local en $(3, 100)$ y vuelve a subir hasta el punto final $(6, 316)$ . La curva es suave y continua, característica de una función polinómica cúbica.

c) Cálculo del área de la región limitada por la gráfica de

V

, la recta

t = 6

y los ejes de coordenadas.

El área de la región limitada por la gráfica de $V$ , la recta $t=6$ y los ejes de coordenadas (es decir, $t=0$ y $V=0$ ) se calcula mediante la integral definida de $V(t)$ desde $t=0$ hasta $t=6$ . Dado que el valor mínimo de $V(t)$ en el intervalo $[0, 6]$ es $100$ (en $t=0$ y $t=3$ ), la función es siempre positiva, por lo que el área es simplemente la integral.

\text{Área} = \int_{0}^{6} (4t^3 - 24t^2 + 36t + 100) dt

Calculamos la integral indefinida:

\int (4t^3 - 24t^2 + 36t + 100) dt = 4\frac{t^4}{4} - 24\frac{t^3}{3} + 36\frac{t^2}{2} + 100t + C

= t^4 - 8t^3 + 18t^2 + 100t + C

Ahora evaluamos la integral definida en los límites de integración, aplicando la Regla de Barrow:

\text{Área} = [t^4 - 8t^3 + 18t^2 + 100t]_{0}^{6}

\text{Área} = (6^4 - 8 \cdot 6^3 + 18 \cdot 6^2 + 100 \cdot 6) - (0^4 - 8 \cdot 0^3 + 18 \cdot 0^2 + 100 \cdot 0)

\text{Área} = (1296 - 8 \cdot 216 + 18 \cdot 36 + 600) - (0)

\text{Área} = (1296 - 1728 + 648 + 600)

\text{Área} = 2544 - 1728

\text{Área} = 816

El área de la región es de $816$ unidades de área. Considerando las unidades del problema (miles de euros y años), el área representa $816$ miles de euros $\cdot$ año.

T4: Funciones

Funciones definidas a trozos y aplicaciones económicas

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

3

BLOQUE B - EJERCICIO 3

Trinidad, una persona ahorradora, deposita $5000 \,\text{euros}$ en un fondo de inversión y el capital final que obtiene cuando transcurren $t$ años viene dado por la siguiente función:

f(t) = \begin{cases} 5000 \cdot (1 + 0.05t) & 0 \le t \le 1 \\ 5000 \cdot 1.05^t & t > 1 \end{cases}

a) ¿Cuánto tiempo debe mantener invertido el dinero si el capital final que se obtiene es de

5931.10 \,\text{euros}

?b) Calcule los intereses que obtiene Trinidad entre el año 2 y el año 4, si se conoce que los intereses que genera esta inversión entre el año

t_1

y el año

t_2

vienen dados por

I = f(t_2) - f(t_1)

.c) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función

f

.d) Estudie la monotonía de la función

f

y esboce su gráfica.

ContinuidadDerivabilidadMonotonía+1

a) ¿Cuánto tiempo debe mantener invertido el dinero si el capital final que se obtiene es de

5931.10 \,\text{euros}

?

Tenemos que encontrar el valor de $t$ para el cual $f(t) = 5931.10$ . Probaremos con ambas ramas de la función.Caso 1: $0 \le t \le 1$

5000 \cdot (1 + 0.05t) = 5931.10

1 + 0.05t = \frac{5931.10}{5000}

1 + 0.05t = 1.18622

0.05t = 0.18622

t = \frac{0.18622}{0.05} = 3.7244

Este valor de $t=3.7244$ no está en el intervalo $0 \le t \le 1$ , por lo que esta rama no es aplicable.Caso 2: $t > 1$

5000 \cdot 1.05^t = 5931.10

1.05^t = \frac{5931.10}{5000}

1.05^t = 1.18622

Aplicamos logaritmos para despejar $t$ :

t \cdot \ln(1.05) = \ln(1.18622)

t = \frac{\ln(1.18622)}{\ln(1.05)} \approx \frac{0.17079}{0.04879} \approx 3.5

Este valor de $t=3.5$ está en el intervalo $t > 1$ . Por lo tanto, el tiempo que debe mantener invertido el dinero es $3.5$ años.

b) Calcule los intereses que obtiene Trinidad entre el año 2 y el año 4, si se conoce que los intereses que genera esta inversión entre el año

t_1

y el año

t_2

vienen dados por

I = f(t_2) - f(t_1)

.

Para calcular los intereses entre el año $t_1=2$ y el año $t_2=4$ , ambos valores de $t$ son mayores que $1$ , por lo que utilizamos la segunda rama de la función: $f(t) = 5000 \cdot 1.05^t$ .Calculamos $f(4)$ :

f(4) = 5000 \cdot 1.05^4 = 5000 \cdot 1.21550625 = 6077.53125

Calculamos $f(2)$ :

f(2) = 5000 \cdot 1.05^2 = 5000 \cdot 1.1025 = 5512.5

Los intereses son $I = f(4) - f(2)$ :

I = 6077.53125 - 5512.5 = 565.03125

Los intereses obtenidos entre el año 2 y el año 4 son $565.03 \,\text{euros}$ .

c) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función

f

.

Continuidad

Cada una de las ramas de $f(t)$ es continua en su dominio de definición: $5000 \cdot (1 + 0.05t)$ es un polinomio (función lineal) y $5000 \cdot 1.05^t$ es una función exponencial. Ambas son continuas en todos los números reales.Debemos estudiar la continuidad en el punto de unión de las ramas, $t=1$ .1. Valor de la función en $t=1$ :

f(1) = 5000 \cdot (1 + 0.05 \cdot 1) = 5000 \cdot 1.05 = 5250

2. Límites laterales en $t=1$ :

\lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1^-} 5000 \cdot (1 + 0.05t) = 5000 \cdot (1 + 0.05) = 5250

\lim_{t \to 1^+} f(t) = \lim_{t \to 1^+} 5000 \cdot 1.05^t = 5000 \cdot 1.05^1 = 5250

Como $f(1) = \lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1^+} f(t)$ , la función $f(t)$ es continua en $t=1$ .Por lo tanto, la función $f(t)$ es continua para $t \ge 0$ .

Derivabilidad

Calculamos la derivada de cada rama:

f'(t) = \begin{cases} \frac{d}{dt}(5000 + 250t) & 0 < t < 1 \\ \frac{d}{dt}(5000 \cdot 1.05^t) & t > 1 \end{cases}

f'(t) = \begin{cases} 250 & 0 < t < 1 \\ 5000 \cdot 1.05^t \cdot \ln(1.05) & t > 1 \end{cases}

Ahora estudiamos la derivabilidad en el punto de unión $t=1$ calculando las derivadas laterales:Derivada por la izquierda en $t=1$ :

f'(1^-) = 250

Derivada por la derecha en $t=1$ :

f'(1^+) = 5000 \cdot 1.05^1 \cdot \ln(1.05) = 5250 \cdot \ln(1.05)

Usando el valor de $\ln(1.05) \approx 0.04879$ :

f'(1^+) \approx 5250 \cdot 0.04879 \approx 256.1475

Dado que $f'(1^-) = 250 \ne f'(1^+) \approx 256.1475$ , la función $f(t)$ no es derivable en $t=1$ .La función es derivable en $(0, 1) \cup (1, \infty)$ .

d) Estudie la monotonía de la función

f

y esboce su gráfica.

Monotonía

Estudiamos el signo de la primera derivada $f'(t)$ :Para $0 < t < 1$ :

f'(t) = 250

Como $f'(t) = 250 > 0$ , la función es estrictamente creciente en el intervalo $(0, 1)$ .Para $t > 1$ :

f'(t) = 5000 \cdot 1.05^t \cdot \ln(1.05)

Dado que $5000 > 0$ , $1.05^t > 0$ para todo $t$ , y $\ln(1.05) > 0$ (porque $1.05 > 1$ ), entonces $f'(t) > 0$ .Por lo tanto, la función es estrictamente creciente en el intervalo $(1, \infty)$ .Al ser la función continua en $t=1$ y estrictamente creciente en ambos intervalos adyacentes, concluimos que la función $f(t)$ es estrictamente creciente para todo $t \ge 0$ .

Esbozo de la gráfica

Para esbozar la gráfica, consideramos los siguientes puntos y comportamientos:* Punto inicial: $f(0) = 5000 \cdot (1 + 0.05 \cdot 0) = 5000$ . La gráfica comienza en $(0, 5000)$ .* Punto de unión: $f(1) = 5250$ . La gráfica pasa por $(1, 5250)$ .* Para $0 \le t \le 1$ : la función es lineal y creciente. Une el punto $(0, 5000)$ con $(1, 5250)$ con una línea recta.* Para $t > 1$ : la función es exponencial y creciente. A partir del punto $(1, 5250)$ , la gráfica sigue aumentando, pero con una curvatura hacia arriba (crecimiento acelerado).* La gráfica será continua en $t=1$ , pero no "suave" (tendrá un "pico" o "esquina") debido a la no derivabilidad en ese punto.

T4: Funciones

Optimización y cálculo de derivadas

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

3

a) El índice de audiencia de un programa de radio se puede modelizar por una función del tipo:

f(t) = at^2 + bt + c, \quad t \in [0, 60]

donde

t

es el tiempo medido en minutos y

a, b, c \in \mathbb{R}

. Se sabe que cuando comienza el programa el índice de audiencia es 20 puntos y que a los 40 minutos se alcanza el máximo índice de audiencia, que es 36 puntos. Determine

a, b

y

c

y represente gráficamente la función obtenida.b) Calcule la derivada de las siguientes funciones:

g(x) = \ln\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right) \quad \quad h(x) = (2x - 1)e^{x^2 - x}

DerivadasModelizaciónFunciones polinómicas

a) Determinación de

a, b

y

c

:

La función del índice de audiencia es $f(t) = at^2 + bt + c$ .Sabemos que cuando comienza el programa ( $t=0$ ), el índice de audiencia es 20 puntos. Por lo tanto, $f(0) = 20$ :

f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 20 \implies c = 20

La función ahora es $f(t) = at^2 + bt + 20$ . También sabemos que a los 40 minutos se alcanza el máximo índice de audiencia, que es 36 puntos. Esto significa que $f(40) = 36$ y que la derivada en ese punto es cero, $f'(40) = 0$ .Primero, calculamos la derivada de $f(t)$ :

f'(t) = 2at + b

Aplicamos la condición $f'(40) = 0$ :

f'(40) = 2a(40) + b = 0 \implies 80a + b = 0 \implies b = -80a

Ahora aplicamos la condición $f(40) = 36$ :

f(40) = a(40)^2 + b(40) + 20 = 36

Sustituimos $b = -80a$ en la ecuación anterior:

1600a + 40(-80a) + 20 = 36

1600a - 3200a + 20 = 36

-1600a = 16

a = \frac{16}{-1600} = -0.01

Con el valor de $a$ , calculamos $b$ :

b = -80a = -80(-0.01) = 0.8

Por lo tanto, los valores de los coeficientes son:

a = -0.01, \quad b = 0.8, \quad c = 20

La función obtenida es:

f(t) = -0.01t^2 + 0.8t + 20, \quad t \in [0, 60]

Representación gráfica de la función:La función es una parábola que se abre hacia abajo (porque $a < 0$ ). Los puntos clave para la representación en el intervalo $[0, 60]$ son:1. El punto inicial: $f(0) = 20$ . Coordenada $(0, 20)$ . 2. El máximo: a $t=40$ minutos, $f(40) = 36$ . Coordenada $(40, 36)$ . 3. El punto final del intervalo: $t=60$ minutos.

f(60) = -0.01(60)^2 + 0.8(60) + 20

f(60) = -0.01(3600) + 48 + 20

f(60) = -36 + 48 + 20 = 32

Coordenada $(60, 32)$ . La gráfica es una parábola con vértice en $(40, 36)$ , que pasa por $(0, 20)$ y $(60, 32)$ . Se eleva desde $t=0$ hasta $t=40$ y luego desciende suavemente hasta $t=60$ .

b) Cálculo de las derivadas de las siguientes funciones:

Para $g(x) = \ln\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right)$ :Primero, usamos las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión:

g(x) = \ln(x^2 - 1) - \ln(x^2 + 1)

Ahora, derivamos usando la regla de la cadena, donde $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ :

g'(x) = \frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{2x}{x^2 + 1}

Combinamos los términos en una sola fracción:

g'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)}{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}

g'(x) = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{x^4 - 1}

g'(x) = \frac{4x}{x^4 - 1}

Para $h(x) = (2x - 1)e^{x^2 - x}$ :Usamos la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$ , donde $u = 2x - 1$ y $v = e^{x^2 - x}$ .Calculamos las derivadas de $u$ y $v$ :

u = 2x - 1 \implies u' = 2

v = e^{x^2 - x}

Para $v'$ , usamos la regla de la cadena para la función exponencial, $(e^w)' = e^w \cdot w'$ :

w = x^2 - x \implies w' = 2x - 1

v' = e^{x^2 - x}(2x - 1)

Ahora aplicamos la regla del producto:

h'(x) = u'v + uv'

h'(x) = (2)e^{x^2 - x} + (2x - 1)e^{x^2 - x}(2x - 1)

Factorizamos $e^{x^2 - x}$ :

h'(x) = e^{x^2 - x} [2 + (2x - 1)^2]

Expandimos el término cuadrático:

(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1

Sustituimos y simplificamos:

h'(x) = e^{x^2 - x} [2 + 4x^2 - 4x + 1]

h'(x) = e^{x^2 - x} (4x^2 - 4x + 3)

T4: Funciones

Continuidad, derivabilidad e integración

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

4

Se considera la función

f(x) = \begin{cases} 10 + \frac{5x}{2} & x \le -2 \\ x^2 + 1 & -2 < x < 2 \\ 10 - \frac{5x}{2} & x \ge 2 \end{cases}

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de

f

en el punto de abscisa

x = -2

.b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f

con pendiente

-1

.c) Represente la región del plano acotada superiormente por la gráfica de

f

e inferiormente por el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.

Funciones a trozosContinuidadRecta tangente+1

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de

f

en el punto de abscisa

x = -2

.

Continuidad en $x = -2$

Para que $f(x)$ sea continua en $x = -2$ , se deben cumplir las siguientes condiciones:1. $f(-2)$ debe existir.

f(-2) = 10 + \frac{5(-2)}{2} = 10 - 5 = 5

2. Los límites laterales en $x = -2$ deben existir e ser iguales.

\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} \left(10 + \frac{5x}{2}\right) = 10 + \frac{5(-2)}{2} = 10 - 5 = 5

\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} (x^2 + 1) = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5

Dado que $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = 5$ , el límite de $f(x)$ cuando $x \to -2$ existe y es $5$ .3. El valor de la función en el punto debe ser igual al límite.

f(-2) = 5 = \lim_{x \to -2} f(x)

Por lo tanto, la función $f(x)$ es continua en $x = -2$ .

Derivabilidad en $x = -2$

Primero, calculamos la función derivada $f'(x)$ por tramos:

f'(x) = \begin{cases} \frac{5}{2} & x < -2 \\ 2x & -2 < x < 2 \\ -\frac{5}{2} & x > 2 \end{cases}

Para que $f(x)$ sea derivable en $x = -2$ , las derivadas laterales deben ser iguales:

f'(-2^-) = \frac{5}{2}

f'(-2^+) = 2(-2) = -4

Dado que $f'(-2^-) = \frac{5}{2}$ y $f'(-2^+) = -4$ , las derivadas laterales no son iguales ( $rac{5}{2} \ne -4$ ). Por lo tanto, la función $f(x)$ no es derivable en $x = -2$ .

b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f

con pendiente

-1

.

La pendiente de la recta tangente es $m = f'(x) = -1$ . Analizamos cada tramo de la función derivada:1. Para $x < -2$ : $f'(x) = \frac{5}{2}$ . Como $\frac{5}{2} \ne -1$ , no hay puntos de tangencia en este tramo.2. Para $-2 < x < 2$ : $f'(x) = 2x$ . Igualamos a $-1$ :

2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}

Este valor de $x = -\frac{1}{2}$ está en el intervalo $(-2, 2)$ , por lo que es un punto válido. Calculamos el valor de la función en este punto:

y = f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}

El punto de tangencia es $\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right)$ . La ecuación de la recta tangente es $y - y_0 = m(x - x_0)$ :

y - \frac{5}{4} = -1\left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)

y - \frac{5}{4} = -1\left(x + \frac{1}{2}\right)

y - \frac{5}{4} = -x - \frac{1}{2}

y = -x - \frac{1}{2} + \frac{5}{4}

y = -x - \frac{2}{4} + \frac{5}{4}

y = -x + \frac{3}{4}

3. Para $x > 2$ : $f'(x) = -\frac{5}{2}$ . Como $-\frac{5}{2} \ne -1$ , no hay puntos de tangencia en este tramo.La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ con pendiente $-1$ es $y = -x + \frac{3}{4}$ .

c) Represente la región del plano acotada superiormente por la gráfica de

f

e inferiormente por el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.

Representación de la región

Para representar la función, analizamos cada tramo y sus intersecciones con el eje X (es decir, cuando $f(x)=0$ ):1. Para $x \le -2$ : $f(x) = 10 + \frac{5x}{2}$ . Es una recta. Intersección con el eje X:

10 + \frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = -10 \implies 5x = -20 \implies x = -4

Puntos de interés: $(-4, 0)$ , y en $x=-2$ , $f(-2)=5$ , por lo que $(-2, 5)$ .2. Para $-2 < x < 2$ : $f(x) = x^2 + 1$ . Es una parábola con vértice en $(0,1)$ . Intersección con el eje X:

x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1

No tiene soluciones reales, lo que significa que este tramo de la parábola está siempre por encima del eje X. Puntos de interés: en $x=-2$ , $f(-2)=5$ ; en $x=2$ , $f(2)=5$ , por lo que $(-2, 5)$ , $(0,1)$ y $(2, 5)$ .3. Para $x \ge 2$ : $f(x) = 10 - \frac{5x}{2}$ . Es una recta. Intersección con el eje X:

10 - \frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = 10 \implies 5x = 20 \implies x = 4

Puntos de interés: $(4, 0)$ , y en $x=2$ , $f(2)=5$ , por lo que $(2, 5)$ .La región acotada se encuentra entre $x=-4$ y $x=4$ .

Cálculo del área

El área total $A$ se calcula como la suma de tres integrales definidas, correspondientes a cada tramo de la función:

A = \int_{-4}^{-2} \left(10 + \frac{5x}{2}\right) dx + \int_{-2}^{2} (x^2 + 1) dx + \int_{2}^{4} \left(10 - \frac{5x}{2}\right) dx

Calculamos la primera integral:

\int_{-4}^{-2} \left(10 + \frac{5x}{2}\right) dx = \left[10x + \frac{5x^2}{4}\right]_{-4}^{-2}

= \left(10(-2) + \frac{5(-2)^2}{4}\right) - \left(10(-4) + \frac{5(-4)^2}{4}\right)

= \left(-20 + \frac{20}{4}\right) - \left(-40 + \frac{80}{4}\right)

= (-20 + 5) - (-40 + 20) = -15 - (-20) = -15 + 20 = 5

Calculamos la segunda integral:

\int_{-2}^{2} (x^2 + 1) dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_{-2}^{2}

= \left(\frac{2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + (-2)\right)

= \left(\frac{8}{3} + 2\right) - \left(-\frac{8}{3} - 2\right)

= \frac{8}{3} + 2 + \frac{8}{3} + 2 = \frac{16}{3} + 4 = \frac{16 + 12}{3} = \frac{28}{3}

Calculamos la tercera integral:

\int_{2}^{4} \left(10 - \frac{5x}{2}\right) dx = \left[10x - \frac{5x^2}{4}\right]_{2}^{4}

= \left(10(4) - \frac{5(4)^2}{4}\right) - \left(10(2) - \frac{5(2)^2}{4}\right)

= \left(40 - \frac{80}{4}\right) - \left(20 - \frac{20}{4}\right)

= (40 - 20) - (20 - 5) = 20 - 15 = 5

Sumamos las áreas de los tres tramos:

A = 5 + \frac{28}{3} + 5 = 10 + \frac{28}{3} = \frac{30}{3} + \frac{28}{3} = \frac{58}{3}

El área de la región es $\frac{58}{3}$ unidades cuadradas.

T4: Funciones

Continuidad e integración (áreas)

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

3

a) Se considera la función:

f(x) = \begin{cases} a \cdot e^{x+1} & x \le -1 \\ x^2 - 2 & -1 < x < 2 \\ b \cdot \log(12 - x) & 2 \le x < 12 \end{cases}

siendo

a

y

b

números reales. Determine los valores de

a

y

b

para que la función

f

sea continua en su dominio.b) Represente el recinto acotado, limitado por la recta

y = -x + 3

y la parábola

y = -x^2 + 5

. Calcule el área del recinto.

Funciones definidas a trozosContinuidadCálculo de áreas+1

a) Determine los valores de

a

y

b

para que la función

f

sea continua en su dominio.

Para que la función $f(x)$ sea continua en su dominio, debe ser continua en los puntos de unión de sus tramos, es decir, en $x = -1$ y $x = 2$ .

Continuidad en $x = -1$

Para que $f(x)$ sea continua en $x = -1$ , los límites laterales y el valor de la función en ese punto deben ser iguales.

\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} a \cdot e^{x+1} = a \cdot e^{-1+1} = a \cdot e^0 = a

\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x^2 - 2) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1

f(-1) = a \cdot e^{-1+1} = a

Igualando los límites para la continuidad:

a = -1

Continuidad en $x = 2$

De manera similar, para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$ , los límites laterales y el valor de la función en ese punto deben ser iguales.

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 2) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} b \cdot \log(12 - x) = b \cdot \log(12 - 2) = b \cdot \log(10)

f(2) = b \cdot \log(12 - 2) = b \cdot \log(10)

Asumiendo que $\log$ denota el logaritmo en base 10 (práctica común en PEvAU para este contexto), entonces $\log(10) = 1$ . Igualando los límites:

2 = b \cdot \log(10)

2 = b \cdot 1

b = 2

Por lo tanto, los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua son $a = -1$ y $b = 2$ .

b) Represente el recinto acotado, limitado por la recta

y = -x + 3

y la parábola

y = -x^2 + 5

. Calcule el área del recinto.

Puntos de intersección

Para encontrar los puntos de intersección entre la recta $y_1 = -x + 3$ y la parábola $y_2 = -x^2 + 5$ , igualamos ambas ecuaciones:

-x + 3 = -x^2 + 5

x^2 - x - 2 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática factorizando o usando la fórmula general:

(x - 2)(x + 1) = 0

Esto nos da los puntos de intersección en $x = 2$ y $x = -1$ . Los valores de $y$ correspondientes son:

\text{Para } x = -1: y = -(-1) + 3 = 4 \implies (-1, 4)

\text{Para } x = 2: y = -(2) + 3 = 1 \implies (2, 1)

Representación del recinto acotado

La parábola $y = -x^2 + 5$ es una parábola que se abre hacia abajo con vértice en $(0, 5)$ . Intersecta al eje $y$ en $(0,5)$ y al eje $x$ en $x = \pm\sqrt{5}$ (aproximadamente $\pm 2.24$ ).La recta $y = -x + 3$ es una recta con pendiente negativa. Intersecta al eje $y$ en $(0, 3)$ y al eje $x$ en $(3, 0)$ .El recinto acotado está limitado por estas dos curvas entre $x = -1$ y $x = 2$ . Para determinar qué función está por encima, podemos probar un punto intermedio, por ejemplo $x = 0$ :

y_{\text{parábola}}(0) = -0^2 + 5 = 5

y_{\text{recta}}(0) = -0 + 3 = 3

Dado que $5 > 3$ , la parábola $y = -x^2 + 5$ se encuentra por encima de la recta $y = -x + 3$ en el intervalo $(-1, 2)$ .

Cálculo del área

El área del recinto se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones, de la que está por encima menos la que está por debajo, en el intervalo de los puntos de intersección.

A = \int_{-1}^{2} [(-x^2 + 5) - (-x + 3)] dx

A = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx

Ahora integramos:

A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2}

Evaluamos la expresión en los límites superior e inferior:

A = \left( -\frac{(2)^3}{3} + \frac{(2)^2}{2} + 2(2) \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right)

A = \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - \left( -\frac{-1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)

A = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)

A = \left( -\frac{8}{3} + 6 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)

A = \left( \frac{-8 + 18}{3} \right) - \left( \frac{2 + 3 - 12}{6} \right)

A = \left( \frac{10}{3} \right) - \left( \frac{-7}{6} \right)

A = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}

A = \frac{20}{6} + \frac{7}{6}

A = \frac{27}{6}

A = \frac{9}{2}

El área del recinto acotado es de $\frac{9}{2}$ unidades cuadradas.

T4: Funciones

Estudio de funciones y optimización

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

4

El nivel de concentración de un alumno universitario durante un examen viene dado por la siguiente función:

f(t) = \begin{cases} -t^2 + 2t + 10 & 0 \le t \le 2.5 \\ t^2 + at + b & 2.5 < t \le 5 \end{cases}

donde $t$ es el tiempo en horas y $a, b$ números reales.

a) ¿Con qué nivel de concentración el alumno comienza el examen? Determine los valores de

a

y

b

para que la función

f

sea continua y derivable en

t = 2.5

.b) Para

a = -8

y

b = 22.5

, esboce la gráfica de la función

f

, estudiando previamente la monotonía y calculando en qué momentos se alcanzan los niveles máximo y mínimo de concentración.

Funciones definidas a trozosContinuidadDerivabilidad+2

a) ¿Con qué nivel de concentración el alumno comienza el examen? Determine los valores de

a

y

b

para que la función

f

sea continua y derivable en

t = 2.5

.

El nivel de concentración al inicio del examen, $t=0$ , se obtiene evaluando la primera parte de la función $f(t)$ en $t=0$ :

f(0) = -(0)^2 + 2(0) + 10 = 10

El alumno comienza el examen con un nivel de concentración de 10.Para que la función $f(t)$ sea continua en $t=2.5$ , los límites laterales y el valor de la función en ese punto deben ser iguales:

\lim_{t \to 2.5^-} f(t) = f(2.5) = -(2.5)^2 + 2(2.5) + 10 = -6.25 + 5 + 10 = 8.75

\lim_{t \to 2.5^+} f(t) = (2.5)^2 + a(2.5) + b = 6.25 + 2.5a + b

Igualando los límites:

8.75 = 6.25 + 2.5a + b \quad \implies \quad 2.5a + b = 2.5 \quad (1)

Para que la función $f(t)$ sea derivable en $t=2.5$ , las derivadas laterales deben ser iguales.Primero, calculamos la función derivada $f'(t)$ :

f'(t) = \begin{cases} -2t + 2 & 0 \le t < 2.5 \\ 2t + a & 2.5 < t \le 5 \end{cases}

Ahora, igualamos las derivadas laterales en $t=2.5$ :

\lim_{t \to 2.5^-} f'(t) = -2(2.5) + 2 = -5 + 2 = -3

\lim_{t \to 2.5^+} f'(t) = 2(2.5) + a = 5 + a

Igualando las derivadas laterales:

-3 = 5 + a \quad \implies \quad a = -8

Sustituimos el valor de $a = -8$ en la ecuación (1):

2.5(-8) + b = 2.5 \quad \implies \quad -20 + b = 2.5 \quad \implies \quad b = 22.5

Por lo tanto, los valores son $a = -8$ y $b = 22.5$ .

b) Para

a = -8

y

b = 22.5

, esboce la gráfica de la función

f

, estudiando previamente la monotonía y calculando en qué momentos se alcanzan los niveles máximo y mínimo de concentración.

La función es:

f(t) = \begin{cases} -t^2 + 2t + 10 & 0 \le t \le 2.5 \\ t^2 - 8t + 22.5 & 2.5 < t \le 5 \end{cases}

La función derivada es:

f'(t) = \begin{cases} -2t + 2 & 0 \le t < 2.5 \\ 2t - 8 & 2.5 < t \le 5 \end{cases}

Estudio de la monotonía y extremos

Analizamos la primera parte de la función para $0 \le t < 2.5$ :

f'(t) = -2t + 2

Igualamos a cero para encontrar puntos críticos:

-2t + 2 = 0 \quad \implies \quad t = 1

Intervalo $(0, 1)$ : $f'(0.5) = -2(0.5) + 2 = 1 > 0$ , la función es creciente.Intervalo $(1, 2.5)$ : $f'(2) = -2(2) + 2 = -2 < 0$ , la función es decreciente.En $t=1$ hay un máximo local. El valor de la función en este punto es:

f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 10 = -1 + 2 + 10 = 11

Analizamos la segunda parte de la función para $2.5 < t \le 5$ :

f'(t) = 2t - 8

Igualamos a cero para encontrar puntos críticos:

2t - 8 = 0 \quad \implies \quad t = 4

Intervalo $(2.5, 4)$ : $f'(3) = 2(3) - 8 = -2 < 0$ , la función es decreciente.Intervalo $(4, 5)$ : $f'(4.5) = 2(4.5) - 8 = 1 > 0$ , la función es creciente.En $t=4$ hay un mínimo local. El valor de la función en este punto es:

f(4) = (4)^2 - 8(4) + 22.5 = 16 - 32 + 22.5 = 6.5

Cálculo de valores en los extremos del intervalo y en el punto de unión

Calculamos los valores de la función en los puntos relevantes:

f(0) = 10

f(1) = 11 \quad (máximo local)

f(2.5) = 8.75 \quad (punto de unión)

f(4) = 6.5 \quad (mínimo local)

f(5) = (5)^2 - 8(5) + 22.5 = 25 - 40 + 22.5 = 7.5

Niveles máximo y mínimo de concentración

Comparando todos los valores, el nivel máximo de concentración es 11, alcanzado en $t=1$ hora.El nivel mínimo de concentración es 6.5, alcanzado en $t=4$ horas.

Esbozo de la gráfica

La gráfica de la función $f(t)$ estará compuesta por dos parábolas. La primera, $f(t) = -t^2 + 2t + 10$ , es una parábola con concavidad hacia abajo (vértice en $t=1$ ). La segunda, $f(t) = t^2 - 8t + 22.5$ , es una parábola con concavidad hacia arriba (vértice en $t=4$ ). La continuidad y derivabilidad en $t=2.5$ asegura una transición suave entre ambas.Puntos clave para el esbozo:- Punto inicial: $(0, 10)$ - Máximo absoluto: $(1, 11)$ - Punto de unión: $(2.5, 8.75)$ - Mínimo absoluto: $(4, 6.5)$ - Punto final: $(5, 7.5)$

T4: Funciones

Análisis de funciones (crecimiento, curvatura, límites)

Análisis

2025 · Ordinaria · Titular

2

Un periódico digital ha publicado una noticia de última hora. El número de personas que han visto la noticia t horas después de su lanzamiento viene modelado por la función:

N(t) = 500\,000 \cdot (1 - e^{-0.2t}); \quad t > 0

a) Estudie la monotonía y curvatura de la función N. b) Represente gráficamente la función N y describa su tendencia a lo largo del tiempo. c) ¿Cuánto tiempo ha debido de pasar para que la noticia haya sido vista por 450 000 personas? d) La velocidad de difusión de la noticia (número de personas por hora que han visto la publicación) es N'(t). ¿Qué conclusión se obtiene al comparar N'(t) en los instantes t = 1 y t = 10?

Funciones exponencialesMonotoníaCurvatura+2

La función que modela el número de personas que ven la noticia es:

N(t) = 500\,000 \cdot (1 - e^{-0.2t}); \quad t > 0

a) Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada de la función respecto al tiempo:

N'(t) = 500\,000 \cdot (- e^{-0.2t}) \cdot (-0.2) = 100\,000 e^{-0.2t}

Dado que la función exponencial siempre es positiva para cualquier valor de t, y el coeficiente 100 000 también lo es, se cumple que:

N'(t) > 0 \quad \forall t > 0

Por lo tanto, la función N(t) es estrictamente creciente en todo su dominio. Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada:

N''(t) = 100\,000 \cdot (-0.2) e^{-0.2t} = -20\,000 e^{-0.2t}

Como la exponencial es positiva y el coeficiente es negativo:

N''(t) < 0 \quad \forall t > 0

Esto indica que la función es cóncava (o convexa hacia arriba) en todo su dominio. b) Para representar la función, observamos su comportamiento inicial y su límite al infinito:

N(0) = 500\,000 \cdot (1 - e^0) = 500\,000 \cdot (1 - 1) = 0

\lim_{t \to \infty} 500\,000 (1 - e^{-0.2t}) = 500\,000 (1 - 0) = 500\,000

La tendencia indica que el número de personas crece rápidamente al principio, pero la velocidad de crecimiento disminuye a medida que el número de espectadores se aproxima asintóticamente al límite de 500 000 personas. c) Para hallar el tiempo necesario para alcanzar 450 000 personas, resolvemos la ecuación:

450\,000 = 500\,000 (1 - e^{-0.2t})

\frac{450\,000}{500\,000} = 1 - e^{-0.2t} \implies 0.9 = 1 - e^{-0.2t}

e^{-0.2t} = 0.1 \implies -0.2t = \ln(0.1)

t = \frac{\ln(0.1)}{-0.2} \approx \frac{-2.3025}{-0.2} = 11.5127 \text{ h}

El tiempo transcurrido es de aproximadamente 11.51 horas. d) Evaluamos la velocidad de difusión N'(t) en los instantes solicitados:

N'(1) = 100\,000 e^{-0.2 \cdot 1} = 100\,000 e^{-0.2} \approx 81\,873.08 \text{ personas/hora}

N'(10) = 100\,000 e^{-0.2 \cdot 10} = 100\,000 e^{-2} \approx 13\,533.53 \text{ personas/hora}

Al comparar ambos resultados, se concluye que la velocidad de difusión de la noticia es mucho mayor en la primera hora que tras diez horas. Esto confirma que el impacto de la noticia es máximo al inicio y se va frenando drásticamente con el paso del tiempo, lo cual es coherente con la curvatura cóncava hallada en el apartado a.

T4: Funciones

Funciones a trozos y optimización

Análisis

2025 · Ordinaria · Titular

3

A un paciente con diabetes se le monitoriza durante un día completo, suministrándole un medicamento a mediodía para observar su reacción. La función que aproxima la cantidad de glucosa en sangre (mg/dl) del paciente, en cada instante t (horas), es:

f(t) = \begin{cases} \frac{5}{6} \left( \frac{t^3}{3} - 12t^2 + 108t + 108 \right) & 0 \le t \le 12 \\ t^2 - 40t + 546 & 12 < t \le 24 \end{cases}

a) Halle en qué periodos de tiempo el nivel de glucosa va aumentando. b) ¿En qué momentos del día el paciente tiene los niveles más alto y más bajo de glucosa en sangre y a cuánto ascienden? c) ¿En qué momentos, después del mediodía, el paciente tiene 155 mg/dl?

Funciones a trozosOptimizaciónCrecimiento y decrecimiento+1

Para determinar los periodos en los que el nivel de glucosa aumenta, debemos estudiar el signo de la primera derivada de la función f(t) en cada uno de sus tramos.

f'(t) = \begin{cases} \frac{5}{6} (t^2 - 24t + 108) & 0 < t < 12 \\ 2t - 40 & 12 < t < 24 \end{cases}

Analizamos el primer tramo (0 a 12 horas). Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

t^2 - 24t + 108 = 0 \implies t = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{2} = \frac{24 \pm 12}{2} \implies t_1 = 6, \, t_2 = 18

Como solo el valor t = 6 pertenece al intervalo [0, 12], evaluamos el signo de la derivada antes y después de este punto. Para t < 6 la derivada es positiva y para t > 6 es negativa. Por tanto, la glucosa aumenta en el intervalo (0, 6).Analizamos el segundo tramo (12 a 24 horas). Igualamos la derivada a cero:

2t - 40 = 0 \implies t = 20

Para t < 20 la derivada es negativa y para t > 20 es positiva. Por tanto, la glucosa aumenta en el intervalo (20, 24). En resumen, los periodos de aumento son:

t \in (0, 6) \cup (20, 24)

Para encontrar los niveles máximo y mínimo absoluto, evaluamos la función en los puntos críticos hallados (t = 6, t = 20), en los extremos del dominio (t = 0, t = 24) y comprobamos la continuidad en t = 12.

f(0) = \frac{5}{6}(108) = 90 \, \text{mg/dl}

f(6) = \frac{5}{6} \left( \frac{6^3}{3} - 12(6^2) + 108(6) + 108 \right) = \frac{5}{6}(72 - 432 + 648 + 108) = 330 \, \text{mg/dl}

f(12) = \frac{5}{6} \left( \frac{12^3}{3} - 12(12^2) + 108(12) + 108 \right) = 210 \, \text{mg/dl}

f(20) = 20^2 - 40(20) + 546 = 400 - 800 + 546 = 146 \, \text{mg/dl}

f(24) = 24^2 - 40(24) + 546 = 576 - 960 + 546 = 162 \, \text{mg/dl}

Comparando los valores, el paciente alcanza el nivel máximo a las 6:00 h con 330 mg/dl y el nivel mínimo a las 0:00 h con 90 mg/dl.Para el apartado c, buscamos cuándo el nivel es de 155 mg/dl en el periodo posterior al mediodía (t > 12), usando la segunda expresión de la función:

t^2 - 40t + 546 = 155 \implies t^2 - 40t + 391 = 0

t = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4(1)(391)}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1564}}{2} = \frac{40 \pm 6}{2}

Obtenemos dos valores: t = 17 y t = 23. Ambos están dentro del intervalo permitido (12, 24]. Por tanto, el paciente tiene 155 mg/dl a las 17:00 h y a las 23:00 h.En conclusión: a) Los niveles aumentan de 0:00 a 6:00 y de 20:00 a 24:00. b) El nivel máximo es 330 \text{ mg/dl} a las 06:00 y el mínimo es 90 \text{ mg/dl} a las 00:00. c) Los momentos son las 17:00 y las 23:00.

T4: Funciones

Continuidad y derivabilidad

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

3

Se considera la función

f(x) = \begin{cases} x^2 + ax - 1 & si & x \le 1 \\ \frac{b}{x} & si & 1 < x \le 3 \\ \frac{x-1}{3} & si & x > 3 \end{cases}

con $a$ y $b$ números reales.

a) Determine los valores de

a

y

b

para que

f

sea continua. Para dichos valores, estudie la derivabilidad de

f

.b) Para

a = 5

y

b = 2

, represente el recinto limitado por la gráfica de

f

, las rectas

x = 2

,

x = 4

y el eje OX. Calcule su área.

ContinuidadDerivabilidadCálculo de áreas+1

a) Determine los valores de

a

y

b

para que

f

sea continua. Para dichos valores, estudie la derivabilidad de

f

.

Para que la función $f(x)$ sea continua, debe serlo en los puntos donde cambia de definición, es decir, en $x=1$ y en $x=3$ . Además, las funciones parciales son continuas en sus respectivos dominios.Condición de continuidad en $x=1$ : Los límites laterales y el valor de la función deben coincidir.

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax - 1) = 1^2 + a(1) - 1 = a

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{b}{x} = \frac{b}{1} = b

f(1) = 1^2 + a(1) - 1 = a

Para que sea continua en $x=1$ , se debe cumplir $a = b$ .Condición de continuidad en $x=3$ : Los límites laterales y el valor de la función deben coincidir.

\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{b}{x} = \frac{b}{3}

\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{x-1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}

f(3) = \frac{b}{3}

Para que sea continua en $x=3$ , se debe cumplir $\frac{b}{3} = \frac{2}{3}$ , lo que implica $b=2$ .Sustituyendo $b=2$ en $a=b$ , obtenemos $a=2$ .Por lo tanto, para que $f(x)$ sea continua, los valores deben ser $a=2$ y $b=2$ .Estudio de la derivabilidad para $a=2$ y $b=2$ :La función es:

f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x - 1 & si & x \le 1 \\ \frac{2}{x} & si & 1 < x \le 3 \\ \frac{x-1}{3} & si & x > 3 \end{cases}

Calculamos la derivada de cada trozo:

f'(x) = \begin{cases} 2x + 2 & si & x < 1 \\ -\frac{2}{x^2} & si & 1 < x < 3 \\ \frac{1}{3} & si & x > 3 \end{cases}

Estudiamos la derivabilidad en $x=1$ :

f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (2x+2) = 2(1)+2 = 4

f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} \left(-\frac{2}{x^2}\right) = -\frac{2}{1^2} = -2

Como $f'(1^-) \ne f'(1^+)$ , la función no es derivable en $x=1$ .Estudiamos la derivabilidad en $x=3$ :

f'(3^-) = \lim_{x \to 3^-} \left(-\frac{2}{x^2}\right) = -\frac{2}{3^2} = -\frac{2}{9}

f'(3^+) = \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

Como $f'(3^-) \ne f'(3^+)$ , la función no es derivable en $x=3$ .En resumen, para $a=2$ y $b=2$ , la función $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ pero no es derivable en $x=1$ ni en $x=3$ .

b) Para

a = 5

y

b = 2

, represente el recinto limitado por la gráfica de

f

, las rectas

x = 2

,

x = 4

y el eje OX. Calcule su área.

Con $a=5$ y $b=2$ , la función es:

f(x) = \begin{cases} x^2 + 5x - 1 & si & x \le 1 \\ \frac{2}{x} & si & 1 < x \le 3 \\ \frac{x-1}{3} & si & x > 3 \end{cases}

El recinto está limitado por $f(x)$ , las rectas verticales $x=2$ y $x=4$ , y el eje OX ( $y=0$ ). El intervalo de integración es $[2, 4]$ .Observamos qué tramos de la función se utilizan en este intervalo:* Para $x \in [2, 3]$ , $f(x) = \frac{2}{x}$ .* Para $x \in [3, 4]$ , $f(x) = \frac{x-1}{3}$ .Verificamos que la función es positiva en este intervalo. Para $x \in [2, 3]$ , $\frac{2}{x} > 0$ . Para $x \in [3, 4]$ , $\frac{x-1}{3} > 0$ . Por lo tanto, el área se calcula directamente mediante la integral de la función en el intervalo $[2, 4]$ .La representación del recinto sería el área bajo la curva de $f(x)$ desde $x=2$ hasta $x=4$ , y por encima del eje OX. Los puntos clave en la gráfica son:

f(2) = \frac{2}{2} = 1

f(3) = \frac{2}{3}

f(4) = \frac{4-1}{3} = \frac{3}{3} = 1

La curva $y=\frac{2}{x}$ es una hipérbola decreciente en $[2,3]$ y la curva $y=\frac{x-1}{3}$ es una recta creciente en $[3,4]$ .Calculamos el área como la suma de dos integrales:

\text{Área} = \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{3} \frac{2}{x} \, dx + \int_{3}^{4} \frac{x-1}{3} \, dx

Calculamos la primera integral:

\int_{2}^{3} \frac{2}{x} \, dx = [2 \ln|x|]_{2}^{3} = 2 \ln(3) - 2 \ln(2) = 2(\ln(3) - \ln(2)) = 2 \ln\left(\frac{3}{2}\right)

Calculamos la segunda integral:

\int_{3}^{4} \frac{x-1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int_{3}^{4} (x-1) \, dx = \frac{1}{3} \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{3}^{4}

= \frac{1}{3} \left[\left(\frac{4^2}{2} - 4\right) - \left(\frac{3^2}{2} - 3\right)\right]

= \frac{1}{3} \left[\left(8 - 4\right) - \left(\frac{9}{2} - 3\right)\right]

= \frac{1}{3} \left[4 - \left(\frac{9-6}{2}\right)\right]

= \frac{1}{3} \left[4 - \frac{3}{2}\right] = \frac{1}{3} \left[\frac{8-3}{2}\right] = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{6}

Sumando ambas partes para obtener el área total:

\text{Área} = 2 \ln\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{5}{6} \text{ u}^2

T4: Funciones

Estudio completo de una función y áreas

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

4

Se considera la función

f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + x + 1 & si & x \le 2 \\ \frac{1}{x-1} & si & x > 2 \end{cases}

a) Estudie la continuidad, derivabilidad y monotonía de

f

. Represente gráficamente dicha función.b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de

f

, las rectas

x = 0

,

x = 4

y el eje OX.

ContinuidadMonotoníaCálculo de áreas+1

a) Estudie la continuidad, derivabilidad y monotonía de

f

. Represente gráficamente dicha función.

Continuidad de $f(x)$

La función $f(x)$ está definida por dos expresiones que son continuas en sus respectivos dominios abiertos.Para $x < 2$ , $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1$ es un polinomio, por lo tanto, es continuo.Para $x > 2$ , $f(x) = \frac{1}{x-1}$ es una función racional. Su único punto de discontinuidad potencial es $x=1$ , el cual no está en el dominio $x > 2$ . Por lo tanto, es continua para $x > 2$ .Estudiamos la continuidad en el punto de unión $x = 2$ :

f(2) = -\frac{1}{2}(2)^2 + 2 + 1 = -2 + 2 + 1 = 1

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(-\frac{1}{2}x^2 + x + 1\right) = -\frac{1}{2}(2)^2 + 2 + 1 = 1

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left(\frac{1}{x-1}\right) = \frac{1}{2-1} = 1

Dado que $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$ , la función es continua en $x=2$ .Por lo tanto, $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ .

Derivabilidad de $f(x)$

Las derivadas de las expresiones en cada intervalo abierto son:

f'(x) = \begin{cases} -x + 1 & \text{si } x < 2 \\ -\frac{1}{(x-1)^2} & \text{si } x > 2 \end{cases}

Estudiamos la derivabilidad en el punto de unión $x = 2$ :

\lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^-} (-x + 1) = -2 + 1 = -1

\lim_{x \to 2^+} f'(x) = \lim_{x \to 2^+} \left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right) = -\frac{1}{(2-1)^2} = -1

Dado que las derivadas laterales son iguales, $f(x)$ es derivable en $x=2$ .Por lo tanto, $f(x)$ es derivable en todo $\mathbb{R}$ .

Monotonía de $f(x)$

Para estudiar la monotonía, analizamos el signo de la primera derivada $f'(x)$ .Para $x < 2$ , $f'(x) = -x + 1$ .Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos: $-x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ .Analizamos los intervalos $(-\infty, 1)$ y $(1, 2)$ :En $(-\infty, 1)$ , tomamos $x=0$ : $f'(0) = 1 > 0$ . Por lo tanto, $f(x)$ es creciente en $(-\infty, 1)$ .En $(1, 2)$ , tomamos $x=1.5$ : $f'(1.5) = -1.5 + 1 = -0.5 < 0$ . Por lo tanto, $f(x)$ es decreciente en $(1, 2)$ .En $x=1$ , hay un máximo relativo. El valor de la función en este punto es $f(1) = -\frac{1}{2}(1)^2 + 1 + 1 = 1.5$ .Para $x > 2$ , $f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}$ .Como $(x-1)^2 > 0$ para $x > 2$ , se tiene que $f'(x) < 0$ para $x > 2$ . Por lo tanto, $f(x)$ es decreciente en $(2, \infty)$ .Resumiendo la monotonía:Creciente en el intervalo $(-\infty, 1)$ .Decreciente en el intervalo $(1, \infty)$ .Máximo relativo en $x=1$ , con $f(1) = 1.5$ .

Representación gráfica de $f(x)$

Para $x \le 2$ , la función es una parábola $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1$ que se abre hacia abajo. Su vértice es $(1, 1.5)$ , que coincide con el máximo relativo. Corta el eje $Y$ en $(0, 1)$ y el eje $X$ en $x = 1 - \sqrt{3} \approx -0.73$ (para $x \le 2$ ).Para $x > 2$ , la función es $y = \frac{1}{x-1}$ . Es una hipérbola con asíntota horizontal $y=0$ . En el punto de unión, $f(2) = 1$ , lo que asegura la continuidad de la gráfica. A medida que $x$ aumenta, la función se acerca al eje $X$ por valores positivos.Puntos clave para la representación gráfica: $f(0) = 1$ $f(1) = 1.5$ (Vértice / Máximo) $f(2) = 1$ (Punto de unión) $f(3) = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2}$ $f(4) = \frac{1}{4-1} = \frac{1}{3}$

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de

f

, las rectas

x = 0

,

x = 4

y el eje OX.

Primero, comprobamos el signo de $f(x)$ en el intervalo $[0, 4]$ . Para $x \le 2$ , $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1$ . El vértice es $(1, 1.5)$ y el punto de corte con el eje $X$ relevante es $x = 1 - \sqrt{3} \approx -0.73$ . Dado que en $x=0$ , $f(0)=1 > 0$ , y el vértice es positivo, la parábola está por encima del eje $X$ en $[0, 2]$ .Para $x > 2$ , $f(x) = \frac{1}{x-1}$ . Para $x > 2$ , el denominador $x-1$ es positivo, por lo que $f(x) > 0$ en $(2, 4]$ .Así, la función $f(x)$ es no negativa en todo el intervalo $[0, 4]$ . El área se calcula como la integral definida de $f(x)$ en este intervalo.

\text{Área} = \int_0^4 f(x) dx

Dividimos la integral en dos partes debido a la definición a trozos de la función:

\text{Área} = \int_0^2 \left(-\frac{1}{2}x^2 + x + 1\right) dx + \int_2^4 \left(\frac{1}{x-1}\right) dx

Calculamos la primera integral:

\int_0^2 \left(-\frac{1}{2}x^2 + x + 1\right) dx = \left[-\frac{1}{2}\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x\right]_0^2

= \left[-\frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} + x\right]_0^2

= \left(-\frac{2^3}{6} + \frac{2^2}{2} + 2\right) - \left(-\frac{0^3}{6} + \frac{0^2}{2} + 0\right)

= \left(-\frac{8}{6} + \frac{4}{2} + 2\right) - (0)

= \left(-\frac{4}{3} + 2 + 2\right) = -\frac{4}{3} + 4 = \frac{-4 + 12}{3} = \frac{8}{3}

Calculamos la segunda integral:

\int_2^4 \left(\frac{1}{x-1}\right) dx = [\ln|x-1|]_2^4

= \ln|4-1| - \ln|2-1|

= \ln(3) - \ln(1)

= \ln(3) - 0 = \ln(3)

Sumando ambas partes obtenemos el área total:

\text{Área} = \frac{8}{3} + \ln(3) \text{ unidades cuadradas}

T4: Funciones

Análisis de funciones racionales

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

3

BLOQUE B

Se considera la función

f(x) = 1 - \frac{4}{3+x}

a) Halle el dominio de

f

y los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.b) Calcule las asíntotas de la función

f

.c) Obtenga los puntos donde la recta tangente a la gráfica de

f

tiene pendiente 1.d) Estudie la curvatura de la función

f

.

AnálisisFunciones racionalesAsíntotas+2

a) Halle el dominio de

f

y los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.

La función $f(x) = 1 - \frac{4}{3+x}$ es una función racional. El denominador no puede ser cero, por lo tanto:

3+x \neq 0 \implies x \neq -3

El dominio de la función es $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$ .Para los puntos de corte con los ejes de coordenadas:Corte con el eje Y (cuando $x=0$ ):

f(0) = 1 - \frac{4}{3+0} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}

El punto de corte con el eje Y es $(0, -1/3)$ .Corte con el eje X (cuando $f(x)=0$ ):

1 - \frac{4}{3+x} = 0 \implies 1 = \frac{4}{3+x} \implies 3+x = 4 \implies x = 1

El punto de corte con el eje X es $(1, 0)$ .

b) Calcule las asíntotas de la función

f

.

Asíntotas verticales (AV): Se buscan los valores de $x$ que anulan el denominador.

3+x=0 \implies x=-3

Calculamos los límites laterales para confirmar la asíntota vertical:

\lim_{x \to -3^+} \left(1 - \frac{4}{3+x}\right) = 1 - \frac{4}{0^+} = 1 - \infty = -\infty

\lim_{x \to -3^-} \left(1 - \frac{4}{3+x}\right) = 1 - \frac{4}{0^-} = 1 - (-\infty) = +\infty

Por lo tanto, la recta $x=-3$ es una asíntota vertical.Asíntotas horizontales (AH): Se calculan los límites de la función cuando $x \to \pm\infty$ .

\lim_{x \to \pm\infty} \left(1 - \frac{4}{3+x}\right) = 1 - 0 = 1

Por lo tanto, la recta $y=1$ es una asíntota horizontal.Asíntotas oblicuas (AO): Al existir asíntota horizontal, no hay asíntota oblicua.

c) Obtenga los puntos donde la recta tangente a la gráfica de

f

tiene pendiente 1.

La pendiente de la recta tangente en un punto viene dada por la primera derivada de la función. Primero, calculamos $f'(x)$ :

f(x) = 1 - 4(3+x)^{-1}

f'(x) = 0 - 4(-1)(3+x)^{-2}(1) = \frac{4}{(3+x)^2}

Ahora, igualamos la derivada a 1 para encontrar los valores de $x$ donde la pendiente es 1:

\frac{4}{(3+x)^2} = 1

(3+x)^2 = 4

3+x = \pm\sqrt{4}

3+x = \pm 2

Tenemos dos posibles valores para $x$ :

3+x = 2 \implies x = -1

3+x = -2 \implies x = -5

Ahora calculamos las coordenadas $y$ correspondientes a estos valores de $x$ :Para $x=-1$ :

f(-1) = 1 - \frac{4}{3+(-1)} = 1 - \frac{4}{2} = 1 - 2 = -1

El punto es $(-1, -1)$ .Para $x=-5$ :

f(-5) = 1 - \frac{4}{3+(-5)} = 1 - \frac{4}{-2} = 1 + 2 = 3

El punto es $(-5, 3)$ .

d) Estudie la curvatura de la función

f

.

Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada de la función.

f'(x) = 4(3+x)^{-2}

f''(x) = 4(-2)(3+x)^{-3}(1) = -8(3+x)^{-3} = \frac{-8}{(3+x)^3}

El signo de $f''(x)$ determina la curvatura. La segunda derivada nunca es cero. El signo depende del término $(3+x)^3$ en el denominador.Consideramos el punto $x=-3$ , donde la función no está definida.Si $x > -3 \implies 3+x > 0 \implies (3+x)^3 > 0$ :

f''(x) = \frac{-8}{\text{positivo}} < 0

En el intervalo $(-3, +\infty)$ , la función es cóncava hacia abajo (curvatura $\cap$ ).Si $x < -3 \implies 3+x < 0 \implies (3+x)^3 < 0$ :

f''(x) = \frac{-8}{\text{negativo}} > 0

En el intervalo $(-\infty, -3)$ , la función es cóncava hacia arriba (curvatura $\cup$ ). No hay puntos de inflexión ya que $x=-3$ no pertenece al dominio de la función.

T4: Funciones

Continuidad, derivabilidad e integración

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

4

Se considera la función

f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 2x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de

f

.b) Represente el recinto limitado por las rectas

y = 2x, x = -1, x = 1

y la gráfica de

f

. Calcule su área.

Funciones a trozosContinuidadDerivabilidad+2

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de

f

.

Continuidad

La función $f(x)$ está definida por polinomios en los intervalos $(-\infty, 2)$ y $[2, \infty)$ , que son funciones continuas en sus respectivos dominios. Por lo tanto, solo necesitamos estudiar la continuidad en el punto donde cambia la definición de la función, es decir, en $x = 2$ .Para que la función sea continua en $x = 2$ , se deben cumplir tres condiciones:1. La función debe estar definida en $x = 2$ :

f(2) = 2^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0

2. Los límites laterales deben existir y ser iguales:

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-x^2 + 2x) = -(2)^2 + 2(2) = -4 + 4 = 0

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 2x) = (2)^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0

Dado que ambos límites laterales son iguales a $0$ , el límite de $f(x)$ cuando $x \to 2$ existe y es $0$ .3. El valor de la función en el punto debe ser igual al límite:

\lim_{x \to 2} f(x) = 0 = f(2)

Como se cumplen las tres condiciones, la función $f(x)$ es continua en $x = 2$ . Por lo tanto, $f(x)$ es continua en todo su dominio, $x \in \mathbb{R}$ .

Derivabilidad

Primero, calculamos la derivada de cada rama de la función:

f'(x) = \begin{cases} -2x + 2 & \text{si } x < 2 \\ 2x - 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}

En los intervalos $(-\infty, 2)$ y $(2, \infty)$ , la función es derivable ya que sus derivadas son polinomios. Necesitamos estudiar la derivabilidad en el punto $x = 2$ . Para que $f(x)$ sea derivable en $x = 2$ , las derivadas laterales deben ser iguales (y la función debe ser continua en ese punto, lo cual ya hemos demostrado).1. Derivada por la izquierda en $x = 2$ :

f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^-} (-2x + 2) = -2(2) + 2 = -4 + 2 = -2

2. Derivada por la derecha en $x = 2$ :

f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} f'(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2

Dado que las derivadas laterales no son iguales ( $-2 \neq 2$ ), la función $f(x)$ no es derivable en $x = 2$ .En resumen, $f(x)$ es continua para todo $x \in \mathbb{R}$ y derivable para todo $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ .

b) Represente el recinto limitado por las rectas

y = 2x, x = -1, x = 1

y la gráfica de

f

. Calcule su área.

El recinto está limitado por las rectas verticales $x = -1$ y $x = 1$ , la recta $y = 2x$ y la gráfica de la función $f(x)$ .En el intervalo de integración $[-1, 1]$ , el valor de $x$ es menor que $2$ . Por lo tanto, la definición de $f(x)$ que debemos usar es $f(x) = -x^2 + 2x$ .Así, el recinto está acotado por $y = 2x$ , $y = -x^2 + 2x$ , $x = -1$ y $x = 1$ .Para calcular el área, necesitamos determinar qué función está por encima de la otra en el intervalo $[-1, 1]$ . Consideramos la diferencia entre las dos funciones:

(2x) - (-x^2 + 2x) = 2x + x^2 - 2x = x^2

Dado que $x^2 \ge 0$ para todo $x \in [-1, 1]$ , la recta $y = 2x$ está por encima o es igual a la gráfica de $f(x) = -x^2 + 2x$ en todo el intervalo. El único punto de contacto es $x=0$ .El área del recinto se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones:

A = \int_{-1}^{1} ( (2x) - (-x^2 + 2x) ) dx

A = \int_{-1}^{1} x^2 dx

Ahora procedemos a calcular la integral:

A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1}

A = \left( \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} \right)

A = \frac{1}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right)

A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}

A = \frac{2}{3}

El área del recinto es $\frac{2}{3}$ unidades cuadradas.

T4: Funciones

Estudio de funciones racionales

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

3

Dada la función

f(x) = \frac{2x - 6}{2 - x}

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de dicha función. Calcule sus asíntotas.b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la existencia de extremos relativos.c) Halle los puntos de corte con los ejes de coordenadas y represente gráficamente la función.

FuncionesContinuidadDerivabilidad+3

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de dicha función. Calcule sus asíntotas.

Continuidad y Derivabilidad

La función dada es $f(x) = \frac{2x - 6}{2 - x}$ . Es una función racional. El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos valores que anulan el denominador.

2 - x = 0 \implies x = 2

Por lo tanto, el dominio de la función es $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ . Una función racional es continua y derivable en todo su dominio.Continuidad: La función $f(x)$ es continua en $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ .Derivabilidad: La función $f(x)$ es derivable en $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ .Para estudiar la derivabilidad, calculamos la primera derivada de $f(x)$ usando la regla del cociente:

f'(x) = \frac{(2x - 6)'(2 - x) - (2x - 6)(2 - x)'}{(2 - x)^2} \\

f'(x) = \frac{2(2 - x) - (2x - 6)(-1)}{(2 - x)^2} \\

f'(x) = \frac{4 - 2x + 2x - 6}{(2 - x)^2} \\

f'(x) = \frac{-2}{(2 - x)^2}

Cálculo de Asíntotas

Asíntotas Verticales (AV): Ocurren en los puntos donde el denominador es cero y el numerador no lo es.

\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{2x - 6}{2 - x}

Cuando $x \to 2$ , el numerador tiende a $2(2) - 6 = -2$ , y el denominador tiende a $0$ . Esto indica una asíntota vertical en $x = 2$ .

\lim_{x \to 2^-} \frac{2x - 6}{2 - x} = \frac{-2}{0^+} = -\infty \\

\lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 6}{2 - x} = \frac{-2}{0^-} = +\infty

Asíntota Vertical: $x = 2$ .Asíntotas Horizontales (AH): Se calculan los límites de la función cuando $x \to \pm \infty$ .

\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x - 6}{2 - x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x/x - 6/x}{2/x - x/x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 - 6/x}{2/x - 1} = \frac{2 - 0}{0 - 1} = -2

Asíntota Horizontal: $y = -2$ .Asíntotas Oblicuas (AO): Al existir asíntota horizontal, no existen asíntotas oblicuas.

b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la existencia de extremos relativos.

Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, analizamos el signo de la primera derivada $f'(x) = \frac{-2}{(2 - x)^2}$ .El denominador $(2 - x)^2$ es siempre positivo para cualquier $x \neq 2$ . El numerador es $-2$ , que es siempre negativo.Por lo tanto, $f'(x) = \frac{\text{negativo}}{\text{positivo}} = \text{negativo}$ para todo $x \in D_f$ .Esto significa que $f'(x) < 0$ para $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ .Intervalos de crecimiento: La función no crece en ningún intervalo.Intervalos de decrecimiento: La función es decreciente en $(-\infty, 2)$ y en $(2, \infty)$ .Extremos Relativos: Para que existan extremos relativos, $f'(x)$ debería cambiar de signo o ser igual a cero. Dado que $f'(x)$ es siempre negativa y nunca se anula en su dominio, la función no tiene máximos ni mínimos relativos.

c) Halle los puntos de corte con los ejes de coordenadas y represente gráficamente la función.

Puntos de Corte con los Ejes

Corte con el eje OX (haciendo $y = 0$ ):

\frac{2x - 6}{2 - x} = 0 \implies 2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3

El punto de corte con el eje OX es $(3, 0)$ .Corte con el eje OY (haciendo $x = 0$ ):

f(0) = \frac{2(0) - 6}{2 - 0} = \frac{-6}{2} = -3

El punto de corte con el eje OY es $(0, -3)$ .

Representación Gráfica

Para representar gráficamente la función, se tienen en cuenta los siguientes elementos:- Asíntota Vertical: $x = 2$ - Asíntota Horizontal: $y = -2$ - Puntos de corte: $(3, 0)$ y $(0, -3)$ - La función es siempre decreciente en su dominio.Con esta información, podemos esbozar la gráfica. La función se aproxima a la asíntota vertical $x=2$ tendiendo a $-\infty$ por la izquierda y a $+\infty$ por la derecha. Se aproxima a la asíntota horizontal $y=-2$ tanto para $x \to -\infty$ como para $x \to +\infty$ . Pasa por los puntos $(0, -3)$ y $(3, 0)$ y es continuamente decreciente.

T4: Funciones

Funciones a trozos e integrales

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

4

Se considera la función

f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x + 3 & \text{si } x < 4 \\ 2x - 5 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}

a) Estudie su continuidad y derivabilidad.a) Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos.c) Represente la región del plano limitada por la gráfica de

f

, las rectas

x = 3

,

x = 5

y el eje de abscisas. Calcule su área.

Funciones a trozosCálculo integralÁreas+1

a) Estudio de la continuidad y derivabilidad.

La función $f(x)$ está definida a trozos. Cada trozo es una función polinómica, las cuales son continuas y derivables en todo su dominio. Por tanto, solo necesitamos estudiar la continuidad y derivabilidad en el punto de unión $x=4$ .

Continuidad en $x=4$:

Para que la función sea continua en $x=4$ , deben cumplirse las siguientes condiciones:

1. \; f(4) \text{ existe.}

2. \; \lim_{x \to 4} f(x) \text{ existe.}

3. \; \lim_{x \to 4} f(x) = f(4)

Calculamos $f(4)$ :

f(4) = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3

Calculamos los límites laterales:

\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} (-x^2 + 4x + 3) = -(4)^2 + 4(4) + 3 = -16 + 16 + 3 = 3

\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} (2x - 5) = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3

Dado que $f(4) = 3$ y los límites laterales son ambos $3$ , la función es continua en $x=4$ . Por lo tanto, $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ .

Derivabilidad en $x=4$:

Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada de cada trozo:

f'(x) = \begin{cases} -2x + 4 & \text{si } x < 4 \\ 2 & \text{si } x > 4 \end{cases}

Ahora, calculamos las derivadas laterales en $x=4$ :

f'_{-}(4) = \lim_{x \to 4^-} (-2x + 4) = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4

f'_{+}(4) = \lim_{x \to 4^+} (2) = 2

Como $f'_{-}(4) \neq f'_{+}(4)$ , la función no es derivable en $x=4$ . Por lo tanto, $f(x)$ es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{4\}$ .

b) Estudio de la monotonía y cálculo de los extremos relativos.

Para estudiar la monotonía, analizamos el signo de la derivada $f'(x)$ .

f'(x) = \begin{cases} -2x + 4 & \text{si } x < 4 \\ 2 & \text{si } x > 4 \end{cases}

Monotonía:

Consideramos los intervalos donde $f'(x)$ es positiva o negativa.Para $x < 4$ : $f'(x) = -2x + 4$ . Igualamos a cero para encontrar puntos críticos:

-2x + 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2

Evaluamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos $(-\infty, 2)$ y $(2, 4)$ :

\text{En } (-\infty, 2): \text{ Tomamos } x=0. \; f'(0) = -2(0) + 4 = 4 > 0 \implies f(x) \text{ es creciente.}

\text{En } (2, 4): \text{ Tomamos } x=3. \; f'(3) = -2(3) + 4 = -6 + 4 = -2 < 0 \implies f(x) \text{ es decreciente.}

Para $x > 4$ : $f'(x) = 2 > 0$ . Por lo tanto, $f(x)$ es creciente en $(4, +\infty)$ .Resumen de la monotonía:- $f(x)$ es creciente en $(-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$ .- $f(x)$ es decreciente en $(2, 4)$ .

Extremos relativos:

- En $x=2$ : La función cambia de creciente a decreciente, por lo tanto, hay un máximo relativo.

f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 3 = -4 + 8 + 3 = 7

El máximo relativo se encuentra en el punto $(2, 7)$ .- En $x=4$ : La función es continua. Cambia de decreciente a creciente (antes de $x=4$ decrece, después de $x=4$ crece), por lo tanto, hay un mínimo relativo.

f(4) = 3

El mínimo relativo se encuentra en el punto $(4, 3)$ .

c) Representación de la región y cálculo de su área.

La región está limitada por la gráfica de $f$ , las rectas verticales $x = 3$ y $x = 5$ , y el eje de abscisas ( $y=0$ ). Primero, verificamos que $f(x)$ se encuentra por encima del eje de abscisas en el intervalo $[3, 5]$ :

f(3) = -(3)^2 + 4(3) + 3 = -9 + 12 + 3 = 6 > 0

f(4) = 3 > 0

f(5) = 2(5) - 5 = 10 - 5 = 5 > 0

Dado que todos los valores son positivos en el intervalo, el área se calcula directamente mediante la integral de la función. Debido a que la función está definida a trozos, dividimos la integral en dos partes:

A = \int_3^5 f(x) dx = \int_3^4 (-x^2 + 4x + 3) dx + \int_4^5 (2x - 5) dx

Calculamos la primera integral:

\int_3^4 (-x^2 + 4x + 3) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x \right]_3^4

= \left( -\frac{4^3}{3} + 2(4^2) + 3(4) \right) - \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3^2) + 3(3) \right)

= \left( -\frac{64}{3} + 32 + 12 \right) - \left( -\frac{27}{3} + 18 + 9 \right)

= \left( -\frac{64}{3} + 44 \right) - \left( -9 + 27 \right)

= \left( \frac{-64 + 132}{3} \right) - 18

= \frac{68}{3} - \frac{54}{3} = \frac{14}{3}

Calculamos la segunda integral:

\int_4^5 (2x - 5) dx = \left[ x^2 - 5x \right]_4^5

= (5^2 - 5(5)) - (4^2 - 5(4))

= (25 - 25) - (16 - 20)

= 0 - (-4) = 4

Sumamos ambas áreas para obtener el área total:

A = \frac{14}{3} + 4 = \frac{14}{3} + \frac{12}{3} = \frac{26}{3}

El área de la región es de $\frac{26}{3}$ unidades cuadradas.

T4: Funciones

Integrales definidas y aplicaciones

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

3

EJERCICIO 3

Se desea analizar la evolución de la población de una localidad. Se conoce que la función $f$ aproxima el número de habitantes que tiene la población para cada tiempo $t$ , medido en meses, con $t \in [0, 60]$ . El crecimiento de esta población viene dado por la siguiente expresión:

f'(t) = 400 + 30\sqrt{t}

También se sabe que la población en la actualidad, $t = 0$ , es de $90000$ habitantes.

a) ¿Cuál será la población dentro de

9

meses?b) Calcule

\int_{9}^{16} f'(t)dt

e interprete el resultado.c) Si se entrega una ayuda de

150 \,\text{euros}

por cada nuevo habitante durante los tres primeros años, calcule la cuantía total aproximada de la ayuda que recibirá la localidad.

FuncionesDerivadaIntegral definida+1

La función que aproxima el número de habitantes, $f(t)$ , se obtiene integrando la expresión del crecimiento de la población $f'(t)$ . Primero, calculamos la función $f(t)$ :

f(t) = \int (400 + 30\sqrt{t}) dt = \int (400 + 30t^{1/2}) dt

f(t) = 400t + 30 \frac{t^{3/2}}{3/2} + C

f(t) = 400t + 20t^{3/2} + C

Utilizamos la condición inicial de que la población en $t=0$ es $90000$ habitantes para hallar la constante $C$ :

f(0) = 400(0) + 20(0)^{3/2} + C = 90000 \implies C = 90000

Por lo tanto, la función que aproxima el número de habitantes es:

f(t) = 400t + 20t^{3/2} + 90000

a) Para calcular la población dentro de

9

meses, evaluamos

f(9)

:

f(9) = 400(9) + 20(9)^{3/2} + 90000

f(9) = 3600 + 20(\sqrt{9})^3 + 90000

f(9) = 3600 + 20(3)^3 + 90000

f(9) = 3600 + 20(27) + 90000

f(9) = 3600 + 540 + 90000

f(9) = 94140

La población dentro de $9$ meses será de $94140$ habitantes.

b) Calculamos la integral

\int_{9}^{16} f'(t)dt

utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece que

\int_{a}^{b} f'(t)dt = f(b) - f(a)

:

\int_{9}^{16} f'(t)dt = f(16) - f(9)

Primero calculamos $f(16)$ :

f(16) = 400(16) + 20(16)^{3/2} + 90000

f(16) = 6400 + 20(\sqrt{16})^3 + 90000

f(16) = 6400 + 20(4)^3 + 90000

f(16) = 6400 + 20(64) + 90000

f(16) = 6400 + 1280 + 90000

f(16) = 97680

Ya habíamos calculado $f(9) = 94140$ . Ahora, calculamos la integral:

\int_{9}^{16} f'(t)dt = 97680 - 94140 = 3540

Interpretación del resultado: El valor de la integral, $3540$ , representa el aumento neto de la población entre los $9$ y los $16$ meses.

c) Para calcular la cuantía total aproximada de la ayuda, debemos determinar el número de nuevos habitantes durante los tres primeros años. Tres años equivalen a

3 \times 12 = 36

meses.

El número de nuevos habitantes es la diferencia entre la población en $t=36$ y la población inicial en $t=0$ , es decir, $f(36) - f(0)$ .Primero calculamos $f(36)$ :

f(36) = 400(36) + 20(36)^{3/2} + 90000

f(36) = 14400 + 20(\sqrt{36})^3 + 90000

f(36) = 14400 + 20(6)^3 + 90000

f(36) = 14400 + 20(216) + 90000

f(36) = 14400 + 4320 + 90000

f(36) = 108720

El número de nuevos habitantes es:

\text{Nuevos habitantes} = f(36) - f(0) = 108720 - 90000 = 18720

Dado que se entrega una ayuda de $150 \text{ \,\text{euros}}$ por cada nuevo habitante, la cuantía total de la ayuda será:

\text{Ayuda total} = 18720 \text{ habitantes} \times 150 \text{ \,\text{euros}/habitante} = 2808000 \text{ \,\text{euros}}

La cuantía total aproximada de la ayuda que recibirá la localidad es de $2808000 \text{ \,\text{euros}}$ .

T4: Funciones

Continuidad, derivabilidad e integración

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

4

EJERCICIO 4

Se considera la función

f(x) = \begin{cases} 3 + e^x & \text{si } x < 1 \\ x^2 + ax + 2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}

a) Determine el valor de

a

para que la función

f

sea continua en

\mathbb{R}

. Para ese valor de

a

, ¿es

f

derivable?b) Para

a = -3

, calcule la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

.c) Para

a = -3

, represente la región limitada por la gráfica de

f

, las rectas

x = 2

,

x = 4

y el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.

Funciones a trozosContinuidadDerivabilidad+2

a) Determine el valor de

a

para que la función

f

sea continua en

\mathbb{R}

. Para ese valor de

a

, ¿es

f

derivable?

Para que $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$ , debe ser continua en cada uno de sus tramos y, además, en el punto de unión $x=1$ . Los tramos $x < 1$ y $x \ge 1$ son funciones continuas (exponencial y polinómica, respectivamente).La continuidad en $x=1$ requiere que los límites laterales y el valor de la función en el punto sean iguales:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3 + e^x) = 3 + e^1 = 3 + e

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + ax + 2) = 1^2 + a(1) + 2 = 1 + a + 2 = 3 + a

f(1) = 1^2 + a(1) + 2 = 3 + a

Para que sea continua, los límites deben ser iguales:

3 + e = 3 + a \implies a = e

Ahora, comprobamos si la función es derivable para $a=e$ .La derivada de $f(x)$ es:

f'(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x < 1 \\ 2x + a & \text{si } x > 1 \end{cases}

Para $a=e$ , la derivada es:

f'(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x < 1 \\ 2x + e & \text{si } x > 1 \end{cases}

Evaluamos los límites de la derivada en $x=1$ :

\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^-} e^x = e^1 = e

\lim_{x \to 1^+} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x + e) = 2(1) + e = 2 + e

Dado que $e \ne 2 + e$ , la función no es derivable en $x=1$ . Por lo tanto, $f$ no es derivable en $\mathbb{R}$ para $a=e$ .

b) Para

a = -3

, calcule la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

.

Para $x=0$ , que es menor que 1, utilizamos la primera parte de la función: $f(x) = 3 + e^x$ .Primero, calculamos la coordenada $y$ del punto de tangencia:

f(0) = 3 + e^0 = 3 + 1 = 4

El punto de tangencia es $(0, 4)$ .Ahora, calculamos la derivada de la función para $x < 1$ :

f'(x) = e^x

La pendiente de la recta tangente en $x=0$ es:

m = f'(0) = e^0 = 1

La ecuación de la recta tangente es $y - y_0 = m(x - x_0)$ :

y - 4 = 1(x - 0)

y = x + 4

c) Para

a = -3

, represente la región limitada por la gráfica de

f

, las rectas

x = 2

,

x = 4

y el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.

Para $a = -3$ , la función es:

f(x) = \begin{cases} 3 + e^x & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 3x + 2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}

La región de interés está limitada por $x = 2$ y $x = 4$ . En este intervalo, $x \ge 1$ , por lo que usamos $f(x) = x^2 - 3x + 2$ .Determinamos los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de abscisas en el intervalo $[2,4]$ :

x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0

Las raíces son $x=1$ y $x=2$ . En el intervalo $[2,4]$ , la función $f(x)$ es no negativa ( $f(2)=0$ , y para $x>2$ , la parábola $x^2-3x+2$ abre hacia arriba, por lo que toma valores positivos). Por ejemplo, $f(3) = 3^2 - 3(3) + 2 = 2 > 0$ y $f(4) = 4^2 - 3(4) + 2 = 6 > 0$ .La región está limitada superiormente por la gráfica de $f(x) = x^2 - 3x + 2$ , inferiormente por el eje de abscisas ( $y=0$ ), y lateralmente por las rectas verticales $x=2$ y $x=4$ . Como $f(x) \ge 0$ en $[2,4]$ , el área se calcula mediante la integral definida:

\text{Área} = \int_2^4 (x^2 - 3x + 2) dx

Calculamos la integral indefinida:

\int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C

Evaluamos la integral definida:

\text{Área} = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_2^4

\text{Área} = \left( \frac{4^3}{3} - \frac{3(4^2)}{2} + 2(4) \right) - \left( \frac{2^3}{3} - \frac{3(2^2)}{2} + 2(2) \right)

\text{Área} = \left( \frac{64}{3} - \frac{3(16)}{2} + 8 \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{3(4)}{2} + 4 \right)

\text{Área} = \left( \frac{64}{3} - 24 + 8 \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 + 4 \right)

\text{Área} = \left( \frac{64}{3} - 16 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 \right)

\text{Área} = \left( \frac{64 - 48}{3} \right) - \left( \frac{8 - 6}{3} \right)

\text{Área} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}

El área de la región es $\frac{14}{3}$ unidades cuadradas.

T4: Funciones

Cálculo integral y áreas

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

3

La superficie de ampliación de un parque de atracciones, en decámetros cuadrados, coincide con el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 6x$ y $g(x) = \frac{x^2}{5}$ .

a) Represente gráficamente la superficie de ampliación del parque de atracciones.b) Si el coste para acondicionar el nuevo suelo es de 75 €/

m^2

, calcule el área de ampliación del parque y el coste total del acondicionamiento.

IntegralesÁreasFunciones cuadráticas

a) Represente gráficamente la superficie de ampliación del parque de atracciones.

Las funciones dadas son $f(x) = -x^2 + 6x$ y $g(x) = \frac{x^2}{5}$ . Ambas son parábolas. La función $f(x)$ es una parábola que se abre hacia abajo (coeficiente de $x^2$ negativo), y $g(x)$ es una parábola que se abre hacia arriba (coeficiente de $x^2$ positivo).Para determinar la región delimitada, primero encontramos los puntos de intersección igualando ambas funciones:

-x^2 + 6x = \frac{x^2}{5}

-5x^2 + 30x = x^2

6x^2 - 30x = 0

6x(x - 5) = 0

Los puntos de intersección ocurren en $x = 0$ y $x = 5$ . Los puntos son $(0, 0)$ y $(5, 5)$ , ya que $f(5) = -5^2 + 6(5) = -25 + 30 = 5$ y $g(5) = \frac{5^2}{5} = \frac{25}{5} = 5$ .Para determinar qué función está por encima de la otra en el intervalo $[0, 5]$ , podemos probar un valor intermedio, por ejemplo $x = 1$ :

f(1) = -1^2 + 6(1) = 5

g(1) = \frac{1^2}{5} = \frac{1}{5} = 0.2

Dado que $f(1) > g(1)$ , la función $f(x)$ se encuentra por encima de $g(x)$ en el intervalo $[0, 5]$ . La superficie de ampliación es la región comprendida entre ambas parábolas desde $x=0$ hasta $x=5$ . Gráficamente, se vería la parábola $f(x)$ abriéndose hacia abajo desde $(0,0)$ pasando por $(5,5)$ y la parábola $g(x)$ abriéndose hacia arriba desde $(0,0)$ pasando por $(5,5)$ , delimitando el área entre ellas.

b) Si el coste para acondicionar el nuevo suelo es de 75 €/

m^2

, calcule el área de ampliación del parque y el coste total del acondicionamiento.

El área de ampliación se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones en el intervalo de intersección, donde la función superior es $f(x)$ y la inferior es $g(x)$ :

\text{Área} = \int_{0}^{5} (f(x) - g(x)) dx

\text{Área} = \int_{0}^{5} ((-x^2 + 6x) - \frac{x^2}{5}) dx

\text{Área} = \int_{0}^{5} (-x^2 - \frac{x^2}{5} + 6x) dx

\text{Área} = \int_{0}^{5} (-\frac{5x^2}{5} - \frac{x^2}{5} + 6x) dx

\text{Área} = \int_{0}^{5} (-\frac{6}{5}x^2 + 6x) dx

Ahora, integramos:

\text{Área} = \left[ -\frac{6}{5} \frac{x^3}{3} + 6 \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{5}

\text{Área} = \left[ -\frac{2}{5}x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{5}

Evaluamos la integral en los límites:

\text{Área} = \left( -\frac{2}{5}(5)^3 + 3(5)^2 \right) - \left( -\frac{2}{5}(0)^3 + 3(0)^2 \right)

\text{Área} = \left( -\frac{2}{5}(125) + 3(25) \right) - (0)

\text{Área} = (-2 \cdot 25 + 75)

\text{Área} = -50 + 75 = 25

El área de ampliación del parque es de $25 \text{ dam}^2$ .Para calcular el coste total, primero convertimos el área de decámetros cuadrados ( $dam^2$ ) a metros cuadrados ( $m^2$ ), sabiendo que $1 \text{ dam} = 10 \text{ m}$ y, por tanto, $1 \text{ dam}^2 = (10 \text{ m})^2 = 100 \text{ m}^2$ :

\text{Área en m}^2 = 25 \text{ dam}^2 \times 100 \frac{\text{m}^2}{\text{dam}^2} = 2500 \text{ m}^2

Finalmente, calculamos el coste total multiplicando el área en metros cuadrados por el coste por metro cuadrado:

\text{Coste total} = 2500 \text{ m}^2 \times 75 \frac{\,\text{euros}}{\text{m}^2}

\text{Coste total} = 187500 \text{ \,\text{euros}}

El coste total del acondicionamiento es de $187500 \text{ \,\text{euros}}$ .

T4: Funciones

Continuidad, derivabilidad y áreas

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

4

Se consideran las funciones

f(x) = \begin{cases} 2 - x^2 & si & -1 \le x \le 1 \\ (x - 2)^2 & si & 1 < x \le 3 \end{cases} \quad ; \quad g(x) = 1 \quad si \quad -1 \le x \le 3

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de

f

y

g

en sus dominios.b) Represente el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y calcule su área.

ContinuidadDerivabilidadIntegrales+1

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de

f

y

g

en sus dominios.

Estudio de la función $f(x)$

La función $f(x)$ está definida a trozos en el dominio $[-1, 3]$ :

f(x) = \begin{cases} 2 - x^2 & si & -1 \le x \le 1 \\ (x - 2)^2 & si & 1 < x \le 3 \end{cases}

Continuidad de $f(x)$

Los trozos de la función $f(x)$ son polinomios, por lo que son continuos en sus respectivos intervalos abiertos. Solo es necesario estudiar la continuidad en el punto de unión, $x=1$ .Calculamos los límites laterales y el valor de la función en $x=1$ :

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2 - x^2) = 2 - (1)^2 = 1

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 2)^2 = (1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1

f(1) = 2 - (1)^2 = 1

Como los límites laterales y el valor de la función coinciden en $x=1$ ( $1=1=1$ ), la función $f(x)$ es continua en $x=1$ . Por lo tanto, $f(x)$ es continua en todo su dominio $[-1, 3]$ .

Derivabilidad de $f(x)$

Calculamos las derivadas de cada trozo:

f'(x) = \begin{cases} -2x & si & -1 < x < 1 \\ 2(x - 2) & si & 1 < x < 3 \end{cases}

Estudiamos la derivabilidad en el punto de unión $x=1$ .

\lim_{x \to 1^-} f'(x) = -2(1) = -2

\lim_{x \to 1^+} f'(x) = 2(1 - 2) = 2(-1) = -2

Como las derivadas laterales coinciden en $x=1$ ( $-2 = -2$ ), la función $f(x)$ es derivable en $x=1$ . Por lo tanto, $f(x)$ es derivable en el intervalo abierto $(-1, 3)$ .

Estudio de la función $g(x)$

La función $g(x)$ es $g(x) = 1$ para $-1 \le x \le 3$ .

Continuidad de $g(x)$

La función $g(x)$ es una función constante, que es un tipo de función polinómica. Por lo tanto, es continua en todo su dominio $[-1, 3]$ .

Derivabilidad de $g(x)$

La derivada de una función constante es cero.

g'(x) = 0 \quad si \quad -1 < x < 3

Por lo tanto, $g(x)$ es derivable en el intervalo abierto $(-1, 3)$ .

b) Represente el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y calcule su área.

Representación del recinto

La función $g(x) = 1$ es una recta horizontal.Para $f(x)$ :En $[-1, 1]$ , $f(x) = 2 - x^2$ es una parábola con vértice en $(0, 2)$ y pasa por $f(-1)=1$ y $f(1)=1$ . En este intervalo, $f(x) \ge g(x)$ .En $(1, 3]$ , $f(x) = (x - 2)^2$ es una parábola con vértice en $(2, 0)$ y pasa por $f(1)=1$ y $f(3)=1$ . En este intervalo, $g(x) \ge f(x)$ .Las funciones se intersecan en $x=-1, x=1, x=3$ . No se puede incluir una imagen aquí, pero la descripción permite visualizar el recinto.

Cálculo del área

El área total se divide en dos partes, una donde $f(x) \ge g(x)$ y otra donde $g(x) \ge f(x)$ .Área $A_1$ en el intervalo $[-1, 1]$ :

A_1 = \int_{-1}^{1} (f(x) - g(x)) dx = \int_{-1}^{1} ((2 - x^2) - 1) dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx

A_1 = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right)

A_1 = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}

Área $A_2$ en el intervalo $[1, 3]$ :

A_2 = \int_{1}^{3} (g(x) - f(x)) dx = \int_{1}^{3} (1 - (x - 2)^2) dx

A_2 = \int_{1}^{3} (1 - (x^2 - 4x + 4)) dx = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx

A_2 = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x\right]_{1}^{3}

A_2 = \left(-\frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3(3)\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + 2(1^2) - 3(1)\right)

A_2 = \left(-\frac{27}{3} + 18 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right)

A_2 = (-9 + 18 - 9) - \left(-\frac{1}{3} - 1\right) = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}

El área total del recinto es la suma de $A_1$ y $A_2$ :

A = A_1 + A_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \text{ unidades cuadradas}